2025年中考数学专项复习讲义专题09 统计与概率（解析版）

这是一份2025年中考数学专项复习讲义专题09 统计与概率（解析版），共51页。学案主要包含了项目背景，数据搜集与整理，数据分析与运用等内容，欢迎下载使用。
题型01 数据的收集与整理
题型02 数据分析
题型03 求概率
题型04 统计与概率综合
题型01
数据的收集与整理
1．（2025·江苏扬州·一模）下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批圆珠笔的使用寿命B．了解全国九年级学生身高的现状
C．考察人们保护海洋的意识D．了解全班同学的视力状况
【答案】D
【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】解：A．了解一批圆珠笔的使用寿命，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
B．了解全国九年级学生身高的现状，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
C．考查人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
D．了解全班同学的视力状况，适合全面调查，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（2025·广西南宁·一模）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．调查全市中学生每天体育锻炼时间
B．调查某款新能源汽车的抗撞击能力
C．调查神舟十九号飞船各零件是否合格
D．调查全市中学生视力情况
【答案】C
【分析】本题主要考查了普查和抽样调查．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可．
【详解】解：A、调查全市中学生每天体育锻炼时间，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意；
B、调查某款新能源汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意；
C、调查神舟十九号飞船各零件是否合格，最适合采用全面调查普查，本选项符合题意；
D、调查全市中学生视力情况，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意；
故选：C．
3．（2025·甘肃·一模）甘肃是一个非常适合旅游的地方，有着丰富的文旅资源．某校准备组织九年级学生进行研学旅行活动，周老师随机抽取了其中一些学生进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图所示的统计图（不完整）．下列说法错误的是（ ）
A．这次调查的样本容量是50
B．九年级500名学生中，估计想去莫高窟的学生大约有200人
C．被调查的学生中，想去麦积山石窟的人数最多
D．被调查的学生中，想去嘉峪关关城的学生有10人
【答案】C
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，正确读取统计图中的信息是解题的关键．
根据统计图中的信息逐项判断即可．
【详解】解：人，
这次调查的样本容量是50，
故选项A正确，不符合题意；
人，
九年级500名学生中，估计想去莫高窟的学生大约有200人，
故选项B正确，不符合题意；
，
被调查的学生中，想去莫高窟的人数最多，
故选项C错误，符合题意；
人，
被调查的学生中，想去嘉峪关关城的学生有10人，
故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
4．（2025·江苏盐城·一模）为了了解某市参加中考的67000名学生的身高情况，抽查了其中1800名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（ ）
A．1800名学生的身高情况是总体的一个样本
B．67000名学生的身高情况是总体
C．每名学生是总体的一个个体
D．样本容量是1800
【答案】C
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念进行逐项判断即可．
本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念，理解总体是指考查对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．解决此类问题的关键是明确考查的对象，总体、个体、样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
【详解】解：A、1800名学生的身高情况是总体的一个样本，正确，故本选项不符合题意；
B、67000名学生的身高情况是总体，正确，故本选项不符合题意；
C、每名学生的身高情况是总体的一个个体，原说法错误，故本选项符合题意；
D、样本容量是1800，正确，故本选项不符合题意；
故选：C
5．（2025·河北廊坊·一模）2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有60名，若该地区共有初中学生6000名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有 名．
【答案】1800
【分析】本题考查了利用样本估计总体，熟练掌握利用样本估计总体的方法是解题关键．利用该地区初中学生的总人数乘以知道上述传统文化知识的学生人数所占的百分比即可得．
【详解】解： （名）．
故答案为：1800．
6．（2025·山东临沂·一模）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：__________，__________；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是__________年级的学生；
(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】(1)，，七
(2)人
(3)八年级的总体水平好，理由见解析
【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【详解】（1）解： 把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71， 76， 79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知中位数分；
八年级的成绩的众数为，则
由于A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为85分，八年级中位数为87分，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：，，七；
（2）解：由题意可知，样本中七年级的优秀率是，八年级的优秀率是，
所以该校七八年级达到优秀等次的学生估计有；
（3）解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级的中位数大于七年级的中位数，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
7．（2025·河南濮阳·一模）在全球半导体竞争中，内存芯片领域是关键战场，国产内存的高良品率领先业界．质检部门抽查了甲、乙两家芯片制造企业的良品率（说明：良品率为合格，良品率为不合格），整理了最近批次的数据．分为组（良品率用表示）：
组、组、组、
组、组、组．
部分统计信息如下：
甲、乙制造厂批次芯片良品率统计表
甲制造厂被抽取的批芯片良品率频数分布直方图
乙制造厂被抽取的批芯片良品率扇形统计图
已知：
甲厂组的良品率数据为：，，，，；
乙厂组的良品率数据为：，，，，，．
根据以上信息解答下列问题：
(1)扇形统计图中，组数据对应的圆心角为_____度，表中的值为_____，的值为_____；
(2)对比甲、乙两厂的数据，判断哪家制造厂的芯片质量更高，并说明理由（至少两条）；
(3)年，甲厂共生产芯片万片，乙厂生产万片．估算两厂合格芯片总数．
【答案】(1)，，
(2)乙制造厂的芯片质量更高，理由见解析
(3)两厂合格芯片总数约为万件
【分析】（1）根据扇形统计图求出D组数据对应的圆心角，结合众数、中位数的概念即可求解；
（2）根据平均数和方差进行分析即可求解；
（3）用甲厂生产的合格芯片数量加上乙厂生产的合格芯片数量，即可求解．
【详解】（1）解：扇形统计图中，D组数据对应的圆心角为；
乙制造厂被抽取的批次芯片中：A组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次，
其中乙制造厂组的良品率中，良品率为的有个批次，故乙制造厂的批次芯片良品率的众数是；
结合频数分布直方图和甲制造厂组的良品率可得，甲制造厂的批次芯片良品率的中位数是；
故答案为：，，．
（2）解：乙制造厂的芯片质量更高，
理由：乙制造厂的平均数比甲制造厂高，乙制造厂的方差比甲制造厂小．
故乙制造厂的芯片质量更高．
（3）解：（万件）
故两厂合格芯片总数约为99.5万件．
【点睛】本题考查了求扇形统计图中的圆心角，求中位数，求众数，用平均数和方差做决策，样本估计总体等．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2025·山东临沂·一模）某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：
81 90 82 89 99 95 91 83 92 93
87 92 94 88 92 87 100 86 85 96
(1)请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图：
频数分布表：
(2)①这组数据的中位数是____________；
②分析数据分布的情况（写出一条即可）____________；
(3)若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．
【答案】(1)见解析
(2)①；②测试成绩分布在的较多（不唯一）；
(3)估计该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数约为480人．
【分析】（1）根据极差和组距，可以判断组数，确定分点后，列频数分布表进行统计即可；再将频数分布表中的数据用频数分布直方图表示出来，最后从图表中观察整体的情况，得出结论；
（2）①根据中位数的定义求解即可；
②根据频数分布直方图即可解答；
（3）用样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解：数据从小到大排列：81、82、83、85、86、87、87、88、89、90、91、92、92、92、93、94、95、96、99、100
最大值是100，最小值为81，极差为，若组距为5，则分为4组，
频数分布表
频数分布直方图，如图；
（2）解：①中位数是；
故答案为；
②测试成绩分布在的较多（不唯一）；
（3）解：（人），
答：估计该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数约为480人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，求中位数等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（2025·江苏徐州·一模）在“一盔一带”安全守护行动持续推进的背景下，某校小交警社团积极开展交通安全宣传及调研活动．从2025年2月5日起，连续6天，在每天同一时段，对某地区一个重要路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况展开了调查，并将获取的数据绘制成了如下图表．图1是2月5日—2月10日该路口骑乘人员头盔佩戴率折线统计图，图2是2025年2月9日该路口骑乘人员头盔佩戴情况的统计表：
2025年2月5日-10日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图
2025年2月9日骑乘人员头盔佩戴情况统计表
(1)______________；
(2)小明依据此次调查数据，认为2月10日该地区全天电动自行车骑乘人员头盔佩戴率约为．你是否认同他的观点？请说明理由．
(3)统计发现每天同一时段，该路口电动自行车骑乘人员平均约为人，小交警社团于2月11日在该路口同一时段给未佩戴头盔的电动自行车骑乘人员每人发放1份交通安全知识宣传单，根据以上统计信息，判断发放宣传单的份数可能是（ ）
A．180 B．126 C．92
【答案】(1)3
(2)不认同，理由见解析
(3)C
【分析】本题主要考查了折线统计图和统计表，样品所占百分比求样品总量，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）先根据题意求解2025年2月9日骑乘摩托车人员总人数，在减去戴头盔人数人即可求解．
（2）不认同，一个路口不能代表全区，数据比较少，不具有代表性．通过折线统计图中，摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔的百分比的变化情况，可以得出：电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行宣传，毕竟这5天，其佩戴的百分比增长速度较慢．
（3）由题意得2025年2月10日骑乘电动自行车头盔未佩戴率为，结合在2025年2月5日日骑乘电动自行车头盔未佩戴率逐步下降，骑乘电动自行车头盔未佩戴人数应小于：，即发放宣传单的份数小于，结合选项即可选出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：2025年2月9日骑乘摩托车人员戴头盔人数人，头盔佩戴率为，
∴2025年2月9日骑乘摩托车人员总人数为：（人），
∴2025年2月9日骑乘摩托车人员中不戴头盔人数为：（人），
∴，
故答案为：．
（2）解：不认同．
理由：该调查时对某地区一个重要路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行的调查，数据比较少，不具有代表性．
（3）解：由题意可得2025年2月10日骑乘电动自行车头盔佩戴率为，且在2025年2月5日日骑乘电动自行车头盔佩戴率逐步上升，
∴2025年2月10日骑乘电动自行车头盔未佩戴率为，在2025年2月5日日骑乘电动自行车头盔未佩戴率逐步下降．
∴2月11日，当该路口电动自行车骑乘人员平均约为人时，骑乘电动自行车头盔未佩戴人数应小于：，
∴发放宣传单的份数小于，
∴C选项符合要求，
故选：C．
10．（2024·辽宁·一模）实施“双减”政策后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“双减”前后参加校外学科补习班的情况进行了一次随机问卷调查（以下将参加校外学科补习班简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表和统计图1．
“双减”前后报班情况统计表（第一组）
“双减”前后报班情况统计图（ 第二组）

、整理描述
（1）根据表1，m 的值为 ，n的值为 ．
分析处理
（2）请你汇总统计表和图 1 中的数据，求出“双减”后报班数为 3 的学生人数所占的百分比．
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图 2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众数为 ．
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）
【答案】（1）300，6；
（2）“双减”后报班数为3个的学生人数占比；
（3）①1，0；
②该市城区学生“双减”后报班的人数大幅度下降，“双减”取得了显著成效．（答案不唯一，合理即可）
【分析】本题考查了中位数、众数、统计表等，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键．
（1）将统计表中“双减”前的数据相加可得m的值，然后用m减去“双减”后其它已知数据可得到n．
（2）用“双减”后报班数为3的学生人数除以总人数即可得到所占的百分比．
（3）①将报班个数的人数从小到大排列，再查询第、位的个数是几即可；统计“双减”后学生报班个数最多的即可．
②根据“双减”前后报班个数变化情况作出客观的分析和结论即可．
【详解】解：（1）根据第一组表格可得：，
．
故答案为：；6．
（2）解：收集到的第一组数据有：．
收集到的第二组数据有：．
参与调查的总人数： （人）．
两组数据中，“双减”后报班数为3的学生人数均为6人．
∴．
故“双减”后报班个数为3的学生人数占比．
（3）①将“双减”前报班个数从小到大排列，其中位于中间的第、位是报班个数为“1个”的，因此报班个数的中位数是1；“双减”后报班个数最多的为“0个”，因此“双减”后学生报班个数的众数为0．
②分析1：“双减”后参加校外学科补习班的人数明显下降；
分析2：“双减”后参加校外学科补习班的现象仍然存在，但比“双减”前明显减少；
分析3：“双减”后不报班的学生人数明显增加．
（注：写出一条，且答案合理即可给分）
题型02
数据分析
1．（2025·江苏泰州·一模）某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（ ）
A．85分B．86分C．87分D．88分
【答案】B
【分析】本题主要考查了加权平均数．根据加权平均数的定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵（分），
∴该选手的平均得分是86分．
故选：B．
2．（2025·山东淄博·一模）一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则下列说法错误的是（ ）
A．的中位数等于的中位数B．的平均数等于的平均数
C．的方差不大于的方差D．的极差不大于的极差
【答案】B
【分析】本题考查了中位数、平均数、方差、极差的计算，掌握上述概念及计算是关键．
根据中位数、平均数、方差、极差的概念及计算判定即可．
【详解】解：一组数据中位数是，平均数为，
一组数据的中位数，故A选项正确，不符合题意；
一组数据的平均数，故B选项错误，符合题意；
∵去掉了最大值，和最小值，数据波动变小了，
∴的方差不大于的方差，故C选项正确，不符合题意；
∴的极差不大于的极差，故D选项正确，不符合题意；
故选：B ．
3．（2025·山东济宁·一模）某市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．这周最高气温的平均数是
B．这组数据的中位数是
C．这组数据的众数是
D．周三与周五的最高气温相差
【答案】C
【分析】本题考查了折线统计图、平均数、中位数、众数，解决本题的关键是根据平均数、中位数、众数的定义，求出这些数据，再根据求出的结果判断正误．
【详解】解：A选项：由折线统计图可知，本周最高气温的平均数是，故A选项错误；
B选项：把这周的最高气温按照从小到大排列，依次是、、、、、、，中间的数是，这组数据的中位数是，故B选项错误；
C选项：这组数据中出现次数最多的数据是，这组数据的众数是，故C选项正确；
D选项：由折线统计图可知，周三的最高气温是，周五的最高气温是，，周三与周五的最高气温相差，故D选项错误．
故选：C．
4．（2025·山东青岛·一模）某中学足球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别为（ ）
A．15，16B．16，16.5C．16，16D．17，16.5
【答案】C
【分析】本题考查统计综合，涉及求众数、中位数求法，结合统计表，由众数、中位数的求法即可得到答案．熟记众数、中位数的定义与求法是解决问题的关键．
【详解】解：由表可知，16岁的人数有5人，则这些队员年龄的众数是16，
足球队16名队员，
这些队员年龄的中位数是第8名、第9名年龄的平均值，则由表可知，第8名、第9名年龄都是16岁，
这些队员年龄的中位数是16，
故选：C．
5．（2025·甘肃天水·一模）随着习近平总书记视察甘肃天水花牛苹果种植基地，花牛苹果一度热销全国，为了给全国消费者提供最美消费体验，当地农业部门及果业销售部门联合广大果农对销往外地的花牛苹果进行严格的精细筛选，同时也加强了苹果包装礼盒的外观与质量．小王在某知名农业大学毕业后毅然加入到建设家乡的队伍，他带领乡亲们成立了果业加工及销售公司，经过调研他们创造出组合式包装销售模式，大大提升了销售量．为了较准确掌握哪一个种包装比较受网购消费者喜欢，他需要研究近段时间每天苹果销售各种包装的哪种数据（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】C
【分析】本题主要考查了众数的应用，根据题意要找到何种包装喜欢的人数最多，据此可得答案．
【详解】解：∵要较准确掌握哪一个种包装比较受网购消费者喜欢，
∴一定要掌握何种包装喜欢的人数最多，
∴要研究各种包装的众数，
故选：C．
6．（2025·浙江·一模）如图是甲、乙两位女生次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查折线图及方差，根据折线图可知甲的成绩比较稳定，然后问题可求解．正确理解方差的意义是解题的关键．
【详解】解：由折线图可知：甲的波动比乙小，即甲的成绩比乙的更为稳定，
∴．
故选：B．
7．（2025·广东江门·一模）数据1，3，4，5，5的中位数是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了求中位数，正确理解中位数的定义是解题的关键．将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：数据1，3，4，5，5的中位数为4．
故答案为：4．
8．（2025·广东江门·一模）某学习小组7名同学一周锻炼身体的时间（单位：小时）分别为4，4，3，2，5，5，5，这组数据的众数是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了众数．根据众数的概念：众数是一组数据中出现次数最多的数，即可得解．
【详解】解：在这一组数据中5出现3次，是出现次数最多的，故众数是5，
故答案为：5．
9．（2025·北京·一模）某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段．
(1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：
85，86，88，90，90，91，92，94
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组）
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ．
【答案】(1)①90,3②
(2)甲，89
【分析】本题主要考查了条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是解题的关键．
（1）①利用众数，中位数的概念计算即可；②利用平均数的公式计算即可；
（2）根据题目要求，求出甲和乙的平均数，然后确定丙的平均数为，进而分两种情况分别求出方差进行比较即可．
【详解】（1）解：①评委打分出出现次数最多的数据是90，
（分）；
学生评分数据共50个，中位数是第25位和26位数据的平均数，
第1组有4个数据，第2组有12个数据，第3组有28个数据，
所以第25位和26位数据在第3组，
即的值位于学生评委打分数据分组的第3组，
故答案为：90,3；
②，，
故答案为：；
（2）解：（分）
（分）
∴，
所以甲排在乙的前面，
由于丙中间，，
所以，
解得， ，
①当时，
，
，
此时，，，
所以丙排在乙的后面，不符合题意；
②当时，，
此时，，，
所以甲排在丙的前面，丙排在乙的前面，符合题意；
综上，．
故答案为：甲，．
10．（2025·江西宜春·一模）有一个数据样本为：1，x，y，z，2，3，3．已知这个样本的众数和平均数都为2，则这组数据的中位数为 ．
【答案】2
【分析】本题主要查了众数，平均数，以及中位数，根据题意得到x，y，z中有2个数都为2，第三个数为1是解题的关键．
根据这个样本的平均数为2，可得，再由这个样本的众数为2，可得x，y，z中有2个数都为2，第三个数为1，再根据中位数的定义解答，即可．
【详解】解：∵这个样本的平均数为2，
∴，
∵这个样本的众数为2，
∴x，y，z中有2个数都为2，第三个数为1，
∴这组数据从小到大排列为：1，1，2，2，2，3，3，
∴位于正中间的数为2，
即这组数据的中位数为2．
故答案为：2
11．（2025·江苏泰州·一模）为了解某品牌A，B两种型号扫地机器人的销售情况，王明对某商场1-7月份的销售情况进行了调查统计，并绘制了如下统计表（单位：台）：
(1)根据统计表完成表格（单位：台）；
(2)请你在图中绘制出1-7月份型号扫地机器人销售量的折线统计图；
(3)对商场七月份以后这两种型号扫地机器人的进货提出合理的建议，并说明理由．
【答案】(1)12；13
(2)见解析
(3)观察折线统计图，型扫地机器人销量呈上升趋势，且中位数、众数大，应该多进型扫地机器人．
【分析】本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念．
（1）根据平均数、中位数概念可求解；
（2）根据统计表中的数据即可绘制出1-7月份型号扫地机器人销售量的折线统计图；
（2）比较A型、B型扫地机器人的销售量平均数、众数可得答案．
【详解】（1）解：型销售量的平均数为；
型销售量中位数为13；
补充表格如下：
（2）解：补充折线统计图如下；
（3）解：观察折线统计图，型扫地机器人销量呈上升趋势，且中位数、众数大，应该多进型扫地机器人；
12．（2025·山东德州·一模）4月23日是世界读书日，某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了一部分八年级学生最近一周的读书时间，并进行了统计，绘制出如下统计图①和图②．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生人数为______，图①中的值为______．
(2)求本次调查的这组数据的平均数和中位数；
(3)若学校有3000名学生，试估计读书时间不少于9小时的学生有多少人？
【答案】(1)50人，24
(2)这组数据的中位数是小时
(3)读书时间不少于9小时的学生大约有1500人
【分析】（1）由6小时人数及其所占百分比可得总人数，用8小时人数除以总人数即可得出的值；
（2）根据平均数、中位数定义求解即可；
（3）总人数乘以样本中读书时间不少于9小时的学生人数所占比例即可．
【详解】（1）解：，
本次调查的学生人数为50人，
，
．
故答案为：50人，24．
（2）解：（小时），
这组数据的平均数为8.34小时．
将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是8和9，
（小时），
这组数据的中位数是小时；
（3）解：（人），
答：读书时间不少于9小时的学生大约有1500人．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，求平均数、中位数，由样本所占百分比估计整体的数量，正确读懂统计图是解题的关键．
13．（2025·山东青岛·一模）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分．对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10．
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中的值；
(2)甲同学得分的中位数为____________分；丙同学得分的众数为____________分；
(3)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对____________的评价更一致（填“甲”或“乙”）
【答案】(1)
(2)，10
(3)甲
【分析】本题主要考查折线统计图、平均数、众数、方差等知识点，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键．
（1）根据平均数的定义即可解答；
（2）根据中位数、众数的定义求解即可；
（2）计算甲、乙两同学的方差，即可求解．
【详解】（1）解：．
故答案为：．
（2）解：甲同学得分的中位数为，丙同学得分中10出现的次数最多，故众数是10．
故答案为：，10．
（3）解：甲同学的方差：；
乙同学的方差：
，
，
∴评委对甲同学演唱的评价更一致．
故答案为：甲．
14．（2025·江苏常州·一模）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》，某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了2个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表如下：

请根据以上信息，解答下列问题：
(1)①在第2小组得分扇形统计图中，1分所对应扇形的图心角度数是______°；
②请补全第1小组得分条形统计图；
(2)表中______，______；
(3)已知该校共有2000名学生，以这2个小组学生成绩作为样本，请你估计该校竞赛成绩不低于90分的学生人数．
【答案】(1)①18，②补全统计图见解析
(2)5，
(3)800名
【分析】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图，众数和平均数、样本估计总体等知识点，从统计图中获取所需信息成为解题的关键．
（1）①用乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图；
（2）根据众数、平均数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体求解即可．
【详解】（1）解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为
，
故答案为：18；
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人），
补全第1小组得分条形统计图如下∶
（2）解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则，
第2小组获得1分的学生所占百分比为，
第2小组的平均分为（分），则，
故答案为：5，；
（3）解：（人）．
答：估计该校有800名学生竞赛成绩不低于90分．
15．（2025·山东日照·一模）【项目背景】
数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史，从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．
【数据搜集与整理】
某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数：
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
【答案】（1）88，87，40；（2）；（3）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析；（4）640人
【分析】本题考查了中位数、众数、求扇形圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义计算即可得解；
（2）用乘以“B组”所占的比例计算即可得解；
（3）根据中位数和众数分析即可得解；
（4）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解．
【详解】解：（1）八年级组的人数为人，而八年级组有4人，
则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，
处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，
∴八年级学生成绩的中位数，
∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，
∴七年级的众数，
由题意可得：，
∴；
故答案为：88，87，40；
（2）扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为；
（3）八年级学生数学文化知识较好，
理由如下：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于七年级，故八年级学生数学文化知识较好；
（4）该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有（人）．
答：该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有640人.
16．（2025·江苏泰州·一模）如图是我国2020～2024年国内生产总值（）的增长率折线统计图及2024年三次产业占的百分比扇形统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)2020～2024年国内生产总值增长率的平均数为 ．已知2023年我国国内生产总值约为129万亿，则2024年第一产业生产总值约为 万亿（结果保留整数）；
(2)小华认为：第二产业是2024年经济增长最重要的支撑力量，你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由．
【答案】(1)，9
(2)不同意，理由见解析
【分析】本题考查了折线统计图和扇形统计图，平均数，结合折线统计图和扇形统计图可以得到相关信息是解题的关键．
（1）根据折线图计算平均数即可；结合扇形图计算第一产业生产总值即可；
（2）根据扇形图进行比较即可解答．
【详解】（1）解：；
（万亿），
故答案为：，9；
（2）解：不同意，理由如下：
由扇形统计图可知第二产业占的百分比为，第三产业占的百分比为，第二产业占的百分比小于第三产业占的百分比，所以第二产业不是2024年经济增长最重要的支撑力量．
17．（2025·河南南阳·一模）某校从甲，乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲，乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表：
(1)这6次测试中，成绩更稳定的学生是__________（填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数为__________分；
(2)求乙学生成绩的平均分；
(3)学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议．
【答案】(1)甲；95.5
(2)95
(3)见解析
【分析】本题主要考查统计图（表），求平均数，中位数，根据平均数、中位数和方差做决策．
（1）根据折线的波动程度可判断成绩更稳定的学生，运用中位数定义即可求出平均数；
（2）运用平均数的定义求解即可；
（3）根据平均数、中位数、方差和统计图的走势进行分析可得出结论，提出合理建议．
【详解】（1）∵由统计图可知，甲的成绩比乙的成绩波动幅度小，
∴成绩更稳定的学生是甲．
∵将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位的是分别是95和96，
∴甲的中位数为：（分）；
故答案为：甲；95.5；
（2）乙的平均分为：（分）；
（3）甲乙的平均分相同，但甲的中位数比乙高，方差比乙小，成绩更稳定，且从统计图的趋势可以看出甲的成绩在稳步上升，所以推荐甲参加．
题型03
求概率
1．（2025·河南濮阳·一模）在一般情况下，酚酞在酸性和中性溶液中保持无色，而在碱性溶液中则会呈现红色．在一次化学实验课上，学生们使用酚酞试液来检测四瓶标签模糊、无法辨认的无色溶液的酸碱性．已知这四瓶溶液分别是：

小明随机选取两瓶溶液并滴入酚酞试液，两瓶溶液都变红的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两瓶溶液恰好都变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将、、、分别标记为、、、，
列表如下：
共有种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，，共种，
∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
故选：D．
2．（2025·山东临沂·一模）消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人都给“好评”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率；画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人都给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果数，两人都给“好评”的结果数为，
所以两人都给“好评”的概率为．
故选：C．
3．（2025·江苏泰州·一模）若“抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上”的概率为，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了概率，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上，即可得，掌握概率是解题的关键．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上，
则抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，
故选：B．
4．（2025·广西梧州·一模）有10张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）
A．（黑桃）B．（红心）C．（梅花）D．（方块）
【答案】B
【分析】本题考查了可能性的大小，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式分别求出各花色的概率判断即可．
【详解】解：有10张扑克牌，且黑桃为1张、红心为4张、梅花为3张、方块为2张，
∴抽到黑桃的概率为，抽到红心的概率为，抽到梅花的概率为，抽到方块的概率为，
抽到的花色可能性最大的是红心，
故选：B．
5．（2025·山东德州·一模）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么三只雏鸟中恰好有两只雌鸟一只雄鸟的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，掌握用树状图法求概率是解答本题的关键．画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好有两只雌鸟一只雄鸟的结果有种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好有两只雌鸟一只雄鸟的结果有种，
恰好有两只雌鸟一只雄鸟的概率是，
故选：B．
6．（2025·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件
B．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
C．某奖券的中奖率为，买张奖券，一定会中奖次
D．“任意两个等腰三角形是相似三角形”是必然事件
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外角和，全面调查和抽样调查的适用性，概率的意义，事件的分类，掌握相关定义是解题关键．
根据三角形的外角和是、全面调查和抽样调查的适用性、概率的意义、事件的分类进行逐项判断即可求解．
【详解】解：A、三角形的外角和是，故任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件，此选项正确，符合题意；
B、检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，此选项错误，不符合题意；
C、某奖券的中奖率为，是概率，不是频率，故买张奖券，不一定会中奖次，此选项错误，不符合题意；
D、任意两个等腰三角形，不一定角度相等，故“任意两个等腰三角形是相似三角形”是随机事件，此选项错误．
故选：A．
7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，某小区地下车库示意图，A，B为入口，C，D，E，F为出口，李师傅从任意一个入口进入，随机选一个出口驶出，则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查利用树状图求概率，首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果， 然后求得李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的情况数，再利用概率公式求解，即可解题．
【详解】解：根据题意可画树状图如下：
由树状图可知所有可能的结果有8种，李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的结果有1种，
则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为．
故选：C．
8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）有9张背面完全相同的卡片，正面分别写若1，2，3，4，5，6，7，8，9．若将这些卡片背面向上，混合均匀，从中随机抽取1张，则该卡片上的数字是3的整数倍的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算方法是关键．
根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：数字是3的整数倍的有3，6，9，共3个，
∴从中随机抽取1张，则该卡片上的数字是3的整数倍的概率是，
故选：C ．
9．（2025·河北邢台·一模）某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品，如图-1所示．售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图，如图-2所示．根据以上信息，图-1中的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查用频率估算概率，涉及几何概率模型等知识，先由获得优胜奖频率的折线统计图，如图-2所示，估算出获得优胜奖的概率是，再由几何概率模型求概率的方法即可得到答案，熟记概率基础知识是解决问题的关键．
【详解】解：由获得优胜奖频率的折线统计图，如图-2所示：
获得优胜奖的频率稳定在附近，即获得优胜奖的概率是，
如图-1所示：
，
故选：C．
10．（2025·山东临沂·一模）氧化还原反应是化学学科的核心内容之一，对推动科技进步具有重要意义．氧化还原反应分为氧化反应和还原反应，这两种反应同时进行，通常一种物质化合价升高代表其发生了氧化反应，化合价降低代表其发生了还原反应．从以下四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是（ ）
反应一： 反应二：
反应三： 反应四：
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了画树状图求事件发生的概率，根据化学方程式可知反应三和反应四中的元素只发生的氧化反应，从树状图中可以看出共有中等可能出现的情况，其中反应三和反应四同时出现的只有种，所以从四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是．
【详解】解：反应一中元素的化合价降低了，
反应一中元素发生了还原反应，
反应二中元素的化合价有升高的也有降低的，
反应二中元素既有氧化反应又有还原反应，
反应三中元素的化合价升高了，
反应三中元素发生了氧化反应，
反应四中元素的化合价升高了，
反应四中元素发生了氧化反应，
反应三和反应四中的元素只发生的氧化反应，
画树状图如下：
从树状图中可以看出共有中等可能出现的情况，其中反应三和反应四同时出现的只有种，
从四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是．
故选：D ．
11．（2025·山东日照·一模）将3枚黑棋子2枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子后不放回，再从盒子中随机抽出一枚棋子，则两次取出的棋子都是黑棋子的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查等可能事件的概率，熟练画出树状图，展示所有等可能的结果，是解题的关键．根据题意，画出树状图，展示所有等可能的结果，再利用概率公式，即可求解．
【详解】解：画树状图如下：
一共有20种等可能的结果，两次摸出的恰好都是黑棋子有6种，
∴两次摸出的恰好都是黑棋子的概率，
故选：A．
12．（2025·河北邯郸·一模）从下列四个图形中随机取出一个图形，是轴对称图形的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形识别和简单概率计算，先找出是轴对称图形的个数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：∵第一个、第二个、第四个图形是轴对称图形，
∴四个图形中随机取出一个图形，是轴对称图形的概率为．
故选：C．
13．（2025·山西·一模）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（ ）
A．公平B．对明明有利C．对亮亮有利D．无法判断
【答案】C
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图可得：
由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有，
∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为，
∵，
∴对亮亮有利，
故选：C．
14．（2025·江苏泰州·一模）小慧和小颖玩掷骰子游戏，投掷同一个质地均匀且六个面分别刻有1到6点数的正方体骰子．每人各投掷一次，若两次点数之和小于7，则小慧胜；否则小颖胜．此游戏是否公平？请说明理由（用树状图或列表的方法解答）．
【答案】不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，熟练掌握解题方法是解答本题的关键．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
【详解】解：不公平，理由如下：
列表得两次所得点数之情况：
一共有36种等可能的结果，点数之和小于7的一共15种情况，
则，
，
小慧和小颖胜的概率不相等，
故这个游戏对双方不公平．
15．（2025·江西新余·一模）小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，C．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张．
(1)第一次就摸到A是__________事件；（填“随机”，“必然”或“不可能”）
(2)如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】(1)随机
(2)不公平，见解析
【分析】本题考查了事件的分类，树状图法求概率，游戏公平性，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．
（1）根据事件分类，解答即可．
（2）根据画树状图法，求概率，比较概率大小，判断游戏是否公平．
【详解】（1）解：根据题意，得第一次抽到A是一种随机事件，
故答案为：随机．
（2）解：不公平，理由如下：
根据题意，画树状图如下：
一共有9种等可能性，其中两次相同的有3种等可能性，不同的有6种等可能性．
故（小明胜），（小亮胜），两种情形概率不相等，
故这样的游戏规则是不公平的．
16．（2025·陕西西安·一模）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
(1)计算“5点朝上”的频率___________；
(2)小颖在投掷第61次骰子时，4点朝上的概率是___________；
(3)小颖和小红各投掷一枚骰子，若两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数，则小颖获胜，若两枚骰子朝上的点数之和为5的倍数，则小红获胜，请问游戏对双方公平吗？
【答案】(1)；
(2)；
(3)不公平
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）由他们共做了60次实验，5点朝上的有20次，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由他们共做了60次实验，4点朝上的有8次，能求出概率，则在投掷第61次骰子时，概率是一样的；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数和5的倍数的情况，再利用概率公式求出各自获胜的概率，进而可求得答案．
【详解】（1）解：“5点朝上”的频率为：；
故答案为：；
（2）解：4点朝上的概率是，
小颖在投掷第61次骰子时，4点朝上的概率是，
故答案为：；
（3）列表得：
∴一共有36种情况，两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数的有9种情况，两枚骰子朝上的点数之和为5的倍数的有7种情况，
∴小颖获胜的概率为：，小红获胜的概率为：，
∵，
∴游戏对双方不公平．
题型04
统计与概率综合
1．（2025·广东江门·一模）感知数学魅力，探索数学未来，某校为筹备数学文化节活动，计划开设A魔方、B数学华容道、C益智锁扣、D迷叠杯，共四类活动项目．为了解学生报名情况，现随机抽取了九年级部分学生进行调查，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，m的值为__________；
(3)学生小何和小林各自从以上四类活动项目中任选一类参加活动，请利用画树状图或列表的方法，求他们选择相同项目的概率．
【答案】(1)图见解析
(2)40
(3)
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）利用项目的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出类人数，补全条形图即可；
（2）用项目的人数除以总人数，求出的值即可；
（3）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：（人），
（人）；
补全条形图如图：
（2）；
∴；
故答案为：40；
（3）由题意，列表如下：
共16种等可能得结果，其中他们选择相同项目的情况有4种，
∴．
2．（2025·海南·一模）某市为了解九年级学生身体素质的情况，组织了全体学生进行跑步测试（男生米，女生米），并从中抽取名男生和名女生的成绩进行整理（满分均为分），信息如下．
．成绩频数分布表：
．男生在组中的成绩分别是（单位：分）：
，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，
．女生成绩扇形统计图
根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：______，______；扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角______度．
(2)抽取的名男生成绩中，中位数为______分．
(3)从所有的样本中，随机抽取一名学生的成绩，该成绩恰好在组的概率为______．
(4)本次测试规定：成绩不低于分为合格．若该市九年级共有名学生，请你估计该市九年级有多少名学生在这次跑步测试中成绩达到合格．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)；
(4)估计该市九年级有名学生在这次跑步测试中成绩达到合格．
【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布表综合运用，中位数，概率，样本估算总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．
（）利用组人数除以所占比即可求出的值，用的值乘以组人数所占比即可求出的值，用乘以组人数所占比即可求出；
（）根据中位数的定义可得中位数为第位男生成绩，即落在组中的第位男生成绩 ，然后算平均数即可；
（）根据概率公式即可求解；
（）利用样本估算总体即可求解．
【详解】（1）解：根据扇形统计图可知：（人），
∴（人），
组所对应扇形的圆心角，
故答案为：，，；
（2）解：∵抽取了名男生，
∴ 中位数为第位男生成绩，即落在组中的第位男生成绩 ，
∴中位数为，
故答案为：；
（3）解：从所有的样本中，随机抽取一名学生的成绩，该成绩恰好在组的概率为，
故答案为：；
（4）解：（人），
∴估计该市九年级有名学生在这次跑步测试中成绩达到合格．
3．（2025·山东烟台·一模）某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
(2)__________，__________，__________；
(3)从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)①18；②见解析
(2)5；；3
(3)
【分析】本题考查统计图，求中位数和众数，利用列表法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键：
（1）①利用360度乘以“得分为1分”所占的比例求出圆心角的度数；②根据总数减去其它组的人数求出分的人数，补全条形图即可；
（2）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行求解即可；
（3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：①；
故答案为：18；
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人），
补全第1小组得分条形统计图如下，
（2）由条形图可知，得到5分的人数最多，故；
由扇形图可知：；
由折线图可知，第10个和第11个数据均为3分，
∴；
（3）由题意，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴．
4．（2025·四川成都·一模）为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某学校举行数学解题竞赛．现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了_____名学生，圆心角_____度；
(2)已知学校共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
(3)李老师计划从四位学生中随机抽取两人的成绩进行分析，请用树状图法或列表法求出恰好抽中两人的概率．
【答案】(1)50；144
(2)480
(3)
【分析】题主要考查了扇形统计图与条形统计，概率．熟练掌握扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，画树状图或列表求概率，是解题的关键．
（1）用良好等级的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，再用360度乘以优异的人数占比即可求出；
（2）用1200乘以样本中优异的人数占比即可得到答案；
（3）列表求出等可能情况数，与恰好抽中A，B的情况数，运用概率公式计算即得．
【详解】（1）解：∵（名），
∴；
故答案为：50；144；
（2）解：（名），
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480名．
（3）
共12种等可能结果，其中恰好抽中两人的结果有2种，
∴恰好抽中两人的概率．
答：恰好抽中两人的概率为．
5．（2025·河北石家庄·一模）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准2022年版》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了______名学生；
(2)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)20
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数即可；
（2）总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数，1减去其它项所占的百分比，求出D项所占的百分比即可，再补全图形即可；
（3）利用列表法求出概率即可．
【详解】（1）解：（人），
∴一共调查了20人；
（2）解：∴组人数为：（人），
∴组女生有：（人）；
由扇形统计图可知：组的百分比为，
∴组人数为：（人），
∴组男生有：（人）；
补全图形如下：
（3）解：用表示名男生，用表示两名女生，列表如下：
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，
∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
6．（2025·新疆吐鲁番·一模）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校王老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)则该班的总人数为____人，其中学生选C所在扇形的圆心角的度数是___．
(2)补全条形统计图；
(3)该班某4名同学中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，王老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，再利用学生选C“排球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果；
（2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选C“排球”所在扇形的圆心角的度数为：；
（2）解：由题意可得：
选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：乒乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．
【点睛】本题考查用样本估计总体、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、用列表法或树状图求概率及概率公式，熟练掌握用列表法或树状图求概率及概率公式是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
八年级
制造厂
甲
乙
平均数
众数
中位数
方差
成绩分组
_______
_______
_______
_______
划记
_______
_______
_______
_______
频数
_______
_______
_______
_______
成绩分组
划记
频数
4
6
7
3
骑乘摩托车
骑乘电动自行车
戴头盔人数
27
72
不戴头盔人数
88
0
1
2
3
4及以上
合计
“双减”前
102
48
75
51
24
m
“双减”后
255
15
24
n
0
m
年龄（单位岁）
14
15
16
17
18
人数
2
4
5
3
2
平均数
中位数
众数
教师评委
90
学生评委
93
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
甲
90
92
90
89
91
乙
90．
91
89
90
91
丙
92
89
91
91
月份
一月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
型销售量
8
12
15
14
11
12
12
型销售量
4
8
12
13
13
15
19
统计量型号
平均数
中位数
众数
型销售量
12
12
型销售量
12
13
统计量型号
平均数
中位数
众数
型销售量
12
12
12
型销售量
12
13
13
同学
甲
乙
丙
平均数
平均数/分
中位数/分
众数/分
第1小组
3.9
4
a
第2小组
b
3.5
5
年级
平均数
中位数
众数
七年级
86
87
b
八年级
86
a
90
学生
平均分（分）
中位数（分）
方差
甲
95
4
乙
95
5
第二瓶第一瓶
和
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
组别
成绩（分）
频数
男生
女生
平均数
中位数
众数
第1小组
3.9
4
a
第2小组
b
3.5
5
第3小组
3.25
c
3
男1
男2
女1
女2
男1
男1，男2
男1，女1
男1，女2
男2
男2，男1
男2，女1
男2，女2
女1
女1，男1
女1，男2
女1，女2
女2
女2，男1
女2，男2
女2，女1
第一名 第二名
A
B
C
D
A
B,A
C,A
D,A
B
A,B
C,B
D,B
C
A,C
B,C
D,C
D
A,D
B,D
C,D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E