数学人教A版 (2019)随机事件与概率学案设计

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考点一 随机事件的辨析
【例1】（24-25 安徽 ）下列各项中，属于随机事件的是（ ）
A．若正方形边长为，则正方形的面积为
B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存
C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾
D．抛掷一枚硬币，反面向上
【答案】D
【解析】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意；
对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意；
对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意；
对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意.
故选：D.
【一隅三反】
1．（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（ ）
A．下雨屋顶湿B．秋后柳叶黄
C．有水就有鱼D．水结冰体积变大
【答案】C
【解析】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件，C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确.故选：C
2．（2024湖南株洲·单元测试）下列事件中，必然事件的个数是（ ）
①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0.
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】对于①，因为2028年8月18日，不能确定北京市是否下雨，
所以2028年8月18日，北京市不下雨为随机事件，故为随机事件；
对于②，在标准大气压下，水在结冰而不是在时结冰，故为不可能事件；
对于③，因为从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不能确定是否为1号签，
所以从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签，故为随机事件；
对于④，因为向量的模大于等于0，
所以向量的模不小于0，故为必然事件.
综上：①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
故选：A
考点二 对立事件与互斥事件
【例2】（24-25 山东淄博·阶段练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有一名男生”和“全是男生”B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至少有一名男生”和“全是男生”D．“至少有一名男生”和“全是女生”
【答案】A
【解析】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是；
对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是；
对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是；
对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是.
故选：A
【一隅三反】
1．（2024 安徽 ）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（ ）
A．为对立事件B．为互斥不对立事件
C．不是互斥事件D．是互斥事件
【答案】D
【解析】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确；
点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确；
点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确；
点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确.
故选：D.
2．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少一个红球
C．至少有一个黑球与都是红球D．恰好有一个黑球与都是红球
【答案】D
【解析】从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球的可能结果有3种：
两个都是黑球、两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球，
所以事件“至少一个黑球”包括两个都是黑球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果，
事件“至少一个红球”包括两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果，
所以，A中的两个事件不互斥也不对立，
B中两个事件不互斥也不对立，
C中两个事件互斥且对立，
D中两个事件互斥但不对立.
故选：D.
3 ．（24-25 江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．③B．①③C．②③D．①②
【答案】D
【解析】从装口袋内一次取出2个球，按照取到白球数量分类有：
两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球都是白球.
所以①②与事件“两球都为白球”互斥而不对立，
当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥.
故选：D
考点三 事件的运算
【例3-1】（24-25山东淄博）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；
B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；
D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.
故选：B
【例3-2】（24-25 重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B． 与是互斥事件，也是对立事件
C． 与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【解析】A中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与不是对立事件，故A错误；
B中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与不是对立事件，故B错误；
C中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与是对立事件，故C错误；
D中，因为彼此互斥，故与互斥事件，
而，故与是对立事件，故D正确；
故选：D.
【一隅三反】
1．（24-25高一下·全国·随堂练习）掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（ ）
A．B．出现的点数为6
C．事件A与B互斥D．事件A与B是对立事件
【答案】B
【解析】出现的点数不小于5出现的点数为，出现的点数为偶数出现的点数为，
则出现的点数为，故B正确，A错误；
因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C，D错误，
故选：B．
2．（2024广东广州·期末）（多选）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2 球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（ ）
A．事件与为对立事件B．事件与是互斥事件
C．事件与为对立事件D．事件
【答案】AD
【解析】设是样本空间，
A选项，由于，所以与是对立事件，A选项正确.
B选项，由于“取出的球中，一个黄球一个白球”，
所以与不是互斥事件，B选项错误.
C选项，由于“取出的球中，恰好有个白球”，
所以与不是对立事件，C选项错误.
D选项，由于，所以，所以D选项正确.
故选：AD
3（24-25 四川绵阳·阶段练习）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（ ）
A．和是互斥事件但不是对立事件B．和是互斥事件也是对立事件
C．D．
【答案】BD
【解析】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”、“选择历史学科”、“选择地理学科”，
所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件、可以同时发生，不是互斥事件，A错；
事件“选择一门理科学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，
且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，B对；
由题意可知，，所以，C错；
事件事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，
故和是互斥事件，所以，D对.
故选：BD.
考点四 古典概型
【例4】（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷一枚质地均匀的正方体形骰子2次，试求下列事件的概率：
(1)两次掷出的点数相等；
(2)两次掷出的点数之和为偶数．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，其结果有
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
共36种情况．
设事件“两次掷出的点数相等”，其情况有
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），共6种．
．
（2）设事件“两次掷出的点数之和为偶数”，则其情况有
（1，1），（1，3），（1，5），
（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），
（4，2），（4，4），（4，6），
（5，1），（5，3），（5，5），
（6，2），（6，4），（6，6），共18种．
．
【一隅三反】
1．（24-25高一上·广西柳州·期中）世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组:第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计样本数据的上四分位数（也称第三四分位数，第百分位数）
(2)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设年龄在对应的频率为，则，解得：，
年龄在对应的频率为，
年龄在对应的频率为，
样本数据的上四分位数位于，设其为，
则，解得：，即样本数据的上四分位数为.
（2）年龄在和对应的频率之比为，
抽取的人中，年龄在的有人，记为；
年龄在的有人，记为；
从抽取的人中，随机抽取人，则有，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
其中满足至少有人的年龄在组的有：，，，，，，，，，共个基本事件；
抽取的人中至少有人的年龄在组的概率.
2．（2024黑龙江齐齐哈尔·期末）2023年是中国共产党建党102周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；
(2)用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为，
成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
故中位数位于之间，中位数是
（2）∵与的党员人数的比值为，
采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，
设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，
则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：
，，，，，，，，，，共10个样本点，
这2人中至少有1人成绩低于76分的有：
，，，，，，，共7个样本点，
故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.
3．（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
(1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率；
(2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求：
①独唱和独奏由同一个人表演的概率；
②选出的不全是男生的概率．
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】（1）把抽取2张卡片的结果记为，其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号．
依题意，不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果为：
，
，
，
，
，
共有20种可能的结果．
用事件A表示“选出的2人不全是男生”．
方法1： 依题意知事件A包含的样本点有
，
，共有14种可能的结果，
因此，，即选出的2人不全是男生的概率为．
方法2 ： 依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有
，共有6种可能的结果，
因此，，即选出的2人不全是男生的概率为．
（2）抽取的所有可能结果为：
，
，
，
，
，
共有25种可能的结果．
设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”，
则事件B所包含的样本点有，共有5种可能的结果，
因此，，即独唱和独奏由同一个人表演的概率为．
设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”，
包含的样本点有，共有9种可能的结果，
因此，，即选出的不全是男生的概率为．
考点五 概率的基本性质
【例5-1】（2024高三·全国·专题练习）（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”.下列结论判断正确的是（ ）
A．与互斥B．
C．D．为对立事件
【答案】ABC
【解析】对于A：由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确；
对于B：中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确；
对于C：发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确；
对于D：与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；
故选：ABC.
【例5-2】（2024湖北）（多选）在一次随机试验中，事件发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件B．是必然事件
C．D．
【答案】ABC
【解析】由事件，，不一定两两互斥，所以,
，且，
所以不一定是必然事件，无法判断与是不是互斥或对立事件，
所以A、B、C中说法错误.
故选：ABC.
【一隅三反】
1．（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，.
故选：D
2．（22-23高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A．B．
C．若A与B互斥，则D．一定有
【答案】AB
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，
又且，则，
所以，即，故B正确；
对于C，因为A与B互斥，所以，
则，故C错误；
对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，
则满足，，但不成立，故D错误；
故选：AB.
3（2025广东）给出下列命题，其中说法正确的是（ ）
A．若A，B为两个随机事件，则
B．若事件A，B，C两两互斥，则
C．若A，B为互斥事件，则
D．若，则
【答案】C
【解析】对于A：当A，B为两个互斥事件时，才有，
当A，B不互斥时，，A选项错误；
对于B：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B错误；
对于C：当A，B为互斥事件时，，C选项正确；
对于D：由概率的性质可知，若，则，D选项错误；
故选：C.
单选题
1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A．A，B为互斥事件B．B，C为对立事件
C．C，D为互斥事件D．D，E为对立事件
【答案】D
【解析】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，
则样本空间为，
事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3，
事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6，
由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误；
B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6，
结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误；
C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5，
结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误；
D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6，
结合C选项，，且，
所以D，E为对立事件，D正确.
故选：D
2．（23-24高一下·全国·课后作业）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（ ）
A．1，6B．4，2C．5，1D．6，1
【答案】C
【解析】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间．
其中事件A包含的样本点有：，，，共4个．
事件包含的样本点有：，共2个．
所以事件包含的样本点有：，，，，共5个；
事件包含的样本点有：共1个．
故选：C
3．（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（ ）
A．全部击中B．至少击中1发C．都未击中D．击中3发
【答案】B
【解析】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发.
故选：B.
4．（24-25高一下·全国·课后作业）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
【答案】A
【解析】对于选项A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确，
对于选项B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确，
对于选项C，因为“甲站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项C不正确，
对于选项D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项D不正确，
故选：A.
5．（2024·湖北武汉）随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，由，
得，又，
则当时，，
所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是.
故选：C
6．（23-24 湖北十堰·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得．
故选：B
7．（2024·湖南长沙）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，
且，，
，即，
解得，即．
故选：D．
8．（2024江苏南京·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．对于任意事件A和B，都有
B．若A，B为互斥事件，则
C．在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的
D．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值
【答案】D
【解析】对于A，成立的前提为事件和事件为互斥事件，故A错误；
对于B，事件和事件为互斥事件，则，故B错误；
对于C，在一次试验中，其基本事件的发生不一定为等可能的，故C错误；
对于D，频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律，在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率，随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故D正确.
故选：D.
多选题
9．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（ ）
A．3件都是正品B．至少有1件次品
C．3件都是次品D．至少有1件正品
【答案】CD
【解析】对于A，因25件同类产品中，有2件次品，则有23件正品，
故从中任取3件产品，其中3件都是正品是可能的，是随机事件，不符题意；
对于B，当从中任取3件产品中“2正1次”或“1正2次”都表示至少有1件次品，
故是随机事件，不符题意；
对于C，因同类产品中总共只有2件次品，故“3件都是次品”是不可能事件，符合题意；
对于D，因25件同类产品中，有2件次品，
而要从中任取3件产品不可能全是次品，即其中至少1件是正品，
故“至少有1件正品”是必然事件，故符合题意.
故选：CD.
10．（24-25 河南信阳·期末）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B是互斥事件B．事件B与事件C是对立事件
C．事件C与事件D是对立事件D．事件D与事件E是互斥事件
【答案】AC
【解析】对于A，由于事件A与事件B不可能同时发生，故二者是互斥事件，A正确；
对于B，，但，故二者为互斥事件，不是对立事件，B错误；，
对于C，至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球，
其对立事件为没有一次摸到红球，即两次都摸到黄球，故事件C与事件D是对立事件，C正确；
对于D，{有一次摸到红球，另一次摸到黄球}，故二者不互斥，D错误，
故选：AC
11．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为（ ）
A．恰有1件次品B．至多有1件次品
C．至少有1件次品D．都是正品
【答案】AD
【解析】10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，
在A中，“恰有1件次品”与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件，故A正确；
在B中，“至多有1件次品”与事件“1件正品2件次品”是对立事件，故B错误；
在C中，“至少有1件次品”与事件“1件正品2件次品”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在D中，“都是正品”与事件“1件正品2件次品”互斥不对立，故D正确.
故选：AD
12．（24-25 吉林·阶段练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中，
对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确；
对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确；
对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，
得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确；
对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，
得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确.
故选：ABD.
13．（24-25高一下·全国·课前预习）对空中移动的目标连续射击两次，设{两次都击中目标}，{两次都没击中目标}，{恰有一次击中目标}，{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，事件包含于事件，故A正确；
对于选项B，由于事件，不能同时发生，故，故B正确；
对于选项C，由题意知，故C错误；
对于选项D，由于至少有一次击中目标，恰有一次击中目标，所以两次都击中目标，故D正确．
故选：ABD.
14．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B．不一定是必然事件
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于选项A：因为，，不一定是两两互斥事件，无法判断与是不是互斥事件，是不是对立事件，所以A不正确；
对于选项B：因为，，不一定是两两互斥事件，所以不一定是必然事件，所以B正确；
对于选项C：，所以C不正确；
对于选项D：，所以D正确；
故选：BD.
15．（2024山东枣庄·期末）已知为两个事件，，，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为，，
所以
所以,
即，
解得.
故选：BC
16．（24-25 广东广州·阶段练习）某展会安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】按照发车的序号，列举基本事件如下：
，共6种，
方案一坐到“3号”车，包含的基本事件有：，共3种，
所以方案一坐到“3号”车的概率.
方案二坐到“3号”车，包含的基本事件有：，共2种，
所以方案二坐到“3号”车的概率.
所以、、，BCD选项正确，A选项错误.
故选：BCD.
填空题
17．（23-24 上海·阶段练习）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，且，，，则 .
【答案】0.4/
【解析】由题意.
故答案为：0.4.
18．（24-25高一上·江西吉安·期末）吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为 .
【答案】
【解析】“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”分别记为,
随机安排三个景点的游览顺序，安排方法有，，，，，共有6种，
其中第一天游览“武功山”或“钓源古村”共有4种方法，其概率为,
故答案为：
19．（24-25 湖北鄂州·期中）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b，则函数是定义域为R的偶函数的概率为 .
【答案】.
【解析】根据题意，先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b，
则a、b都有6种情况，故的可能情况有种，
若函数是定义域为R的偶函数，则为正偶数，
则符合题意的有，
，共13种情况，
故是定义域为R的偶函数的概率.
故答案为：.
20．（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 .
【答案】/
【解析】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或，
因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，
所以所得的四位数的个数为个，
能被整除的四位数，数字和各出现个，这样的四位数有：、、、、、，共个，
所以，
能被整除的四位数，个位数为，则这样的四位数为：、、、、、、、，共个，
所以，
所以，.
故答案为：.
21．（24-25 湖南长沙·阶段练习）已知随机事件满足，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知，
故,
则，
故答案为：
22．（24-25 吉林·阶段练习）柜子里有3双不同的鞋子，分别用表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件的概率是 ．
【答案】
【解析】设表示三只左鞋，表示三只右鞋，
则从中有放回取出2只的所有可能为：
，共计36种，
其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，
.
故答案为：.
解答题
23．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）某中学的学生在劳动实践项目中培育一种植物，现在这批植物中随机抽测了部分植株的高度（单位：cm），所得数据统计如图.
(1)求a的值，并估计这批植株高度的平均数和众数；
(2)若从高度在和的植株中采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取6株样本再从该样本中采用不放回简单随机抽样抽取2株，求抽取的2株植株高度均在内的概率.
【答案】(1)，18.3，22；
(2).
【解析】（1）由频率分布直方图，得，解得；
高度的平均数；
高度在区间的频率最大，所以高度的众数为22.
（2）高度在和的频率分别为0.1和0.2，
因此抽取6株样本，高度在有2株，记为，在有4株，记为，
从6株样本中任取2株的样本空间，共15个，
抽取的2株植株高度均在内的事件,共6个，
所以抽取的2株植株高度均在内的概率.
24．（24-25高一上·江西景德镇·期末）手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：
(1)求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；
(2)若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；
(3)在（2）的条件下，该单位从行走步数大于等于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间的概率.
【答案】(1)，中位数为125
(2)112人
(3)
【解析】（1）由题意得，
解得；
设中位数为，
则，解得，
所以中位数是125.
（2）由，
所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人.
（3）在区间中有人，
在区间中有人，
在区间中有人，
按分层抽样抽取6人，
则从中抽取4人，中抽取1人，中抽取1人；
设从中抽取职工为，从中抽取职工为，从中抽取职工为，
则从6人中抽取2人的情况有共15种情况，它们是等可能的，
其中满足两人均来自区间的有共有6种情况，
所以；
所以两人均来自区间的概率为.
25．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
(1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数；
(2)为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
(3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差.
【答案】(1)，分位数为
(2)
(3)平均数为，方差为
【解析】（1）由题意得：，解得，
抽取的样本中，设第百分位数为，
前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，所以，，
则，
解得，因此高一年级体测成绩的的分位数为.
（2）由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，
在的有人，设为、、.
则样本空间为，
，
设事件两人分别来自和，
则，则，
因此，所以两人得分分别来自和的概率为.
（3）由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个.
记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为，
在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为；
这个数据的平均数为，方差为.
由题意，，，，，
且，，则.
由分层抽样方差公式可得：
故得分在内的平均数为，方差为.
26．（24-25高一上·北京西城·期末）甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的点数可能是中的某一个数，设甲掷出的点数为，乙掷出的点数为，求：
(1)求为奇数的概率；
(2)求的概率；
(3)若甲乙两人各掷出骰子5次，的值依次为：；的值依次为：1，3，4，6，5；试比较两组数据的均值和方差的大小（直接写出结论，不必写过程）
【答案】(1)；
(2)；
(3)，方差相等.
【解析】（1）甲掷出的点数共有6个不同结果，其中为奇数的结果有3个，
所以为奇数的概率为.
（2）甲乙掷出的结果有：，
，
，36个，
其中的事件含有，6个，
所以的概率为.
（3），，因此；
值的方差，
值的方差，
所以值的方差与值的方差相等.
26．（24-25 上海·期中）十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和2035年远景目标纲要的决议，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值为衡量标准，性能指标的等级划分如表：
为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值，以组距为5画频率分布直方图.设“”，
当时（为正整数），满足：
(1)试确定的所有取值，并求；
(2)从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品，并求出2件都是A等级的概率.
【答案】(1)n的取值集合为，
(2)
【解析】（1）根据题意，，按组距为5可分成6个区间，
分别是，，，，，，
因为，且，，
所以n的取值集合为.
每个小区间对应的频率值为.
所以，解得.
（2）依题意等级产品的频率为，
等级产品的频率为，
所以等级产品和等级产品的频率之比为，
所以从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，
等级产品的件数为4，分别记为，，，，
等级产品的件数为1，记为.
从这5件产品中任意抽取2件产品，所有的可能情况有，，，
，，，，，，，共10种.
事件“抽取的2件产品都是等级”包含的可能情况有，
，，，，，共6种，
故所求概率为.
27．（24-25 广东江门·期中）甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.
(1)求甲在一局中得2分的概率；
(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率；
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据题意，画出树状图，如图：

所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：
（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、
（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、
（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、
一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率.
（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：
①第一局甲得2分，第二局甲得1分：
则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
此时概率为种情况，
②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，
则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
此时概率为，
综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率.
28．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示：
(1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数；
(2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率；
(3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售．
经销商提出如下两种收购方案：
方案A：所有水果以10元/千克收购；
方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购．
假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？
【答案】(1)
(2)
(3)该生态园选择方案获利更多．
【解析】（1）设样本的中位数为，
则，
即，解得；
（2）根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个．
设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D，
质量在内2个水果分别为，
其样本空间可记为
，
共包含20个样本点．
记E：其中恰有一个在内，则
，
则E包含的样本点个数为12，所以；
（3）方案：
收益
元；
方案：低于250克获利元，
不低于250克获利元，
总计元．
因为，所以该生态园选择方案获利更多.
29．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖.
(1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）；
(2)求两种规则下获得二等奖的概率；
(3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)规则二获奖的概率大，理由见解析
【解析】（1）两次抽取小球的所有可能结果为：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
（2）记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件，
事件包含，，，，五个样本点，
故，
事件包含，，，，五个样本点，
故.
（3）规则二获奖概率大.
理由如下：记规则一获得一，二，三等奖分别为事件，，，
规则二获得一，二，三等奖分别为事件，，,
事件包含，两个样本点，.
事件包含，，，，，，，，，，，十二个样本点，
.
所以规则一获奖的概率
，
事件包含，两个样本点，；
事件包含，，，，，，，，，，，，十三个样本点，.
所以规则二获奖的概率
，
，∴所以规则二获奖的概率大.
30．（24-25高一上·辽宁大连·期末）将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
(1)求；
(2)当时，求的表达式；
(3)令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）当时，有，即这个数字共有195个数字，
其中数字0的个数有12个，所以恰好取得0的概率；
（2）当，这个数由n个1位数组成，；
当，这个数由9个一位数，个两位数组成，；
当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数组成，；
当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数，个四位数组成，；
综上，.
（3）当时，；
当时，；
当时，，
所以，
同理，
所以，则，
当，则，
当，，
当，，
当，，
由关于单调递增，
当，最大值为，
又，所以时最大值为.
性能指标值
等级
A
B
C
D
E