高中数学人教A版 (2019)必修 第一册简单的三角恒等变换同步训练题

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（2）
2. 半角公式（符号的选择由所在的象限确定）
（1）， （2） ，
（3）
3，辅角公式
其中，比如：

10. 常见数据：，
, ,
考点01：降幂公式
1．的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用降幂公式求解
【详解】.
故选：D.
2．已知，则 ．
【答案】
【分析】及角的范围即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
又，所以.
故答案为:.
考点02：sin2x的降幂公式及应用
3．（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.
【详解】解：由题得.
故选：C
4．函数是（ ）
A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数
【答案】A
【分析】利用降幂公式化简函数解析式，再根据余弦函数的图像与性质即可逐项分析求解.
【详解】，
故f(x)的最小正周期为π，为偶函数.
故选：A.
考点03：cs2x的降幂公式及应用
5．函数的最小正周期为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】A
【分析】利用降次公式化简，进而求得的最小正周期.
【详解】，最小正周期为.
故选：A
6．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标.
【答案】（1），（2）对称轴方程为，对称中心坐标为
【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，然后由，可求出函数的增区间；
（2）由可求出其对称轴方程，由可求出对称中心的横坐标
【详解】解：（1）
，
由，得，
所以的单调递增区间为，
（2）由，得，
所以图像的对称轴方程为，
由，得，
所以图像的对称中心坐标为
考点04： sinxcsx的降幂公式及应用
7．化简求值： .
【答案】
【分析】直接利用二倍角公式、降幂公式和诱导公式化简求解即可
【详解】解：，
故答案为：
8．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数f(x)的最小正周期为
C．函数f(x)的对称轴方程为D．函数f(x)的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】ABC
【分析】对于含高次正余弦函数的处理顺序一般是降次，运用辅助角公式，或者消元，将其化成正（余）弦型函数，再利用正（余）弦型函数的性质进行求解判断.
【详解】由
对于选项A,由上分析可知，A项正确；
对于选项B，因最小正周期,故B项正确；
对于选项C，由，可知其对称轴可由求得，
故函数的对称轴方程为，故C项正确；
对于选项D，由的图象向左平移个单位长度得到而不是，故D项错误.
故选：ABC.
考点05：辅助角公式
9．求值：（ ）
A．0B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式计算即可.
【详解】
，
故选：
10．求函数的最大值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简，从而求得的最大值.
【详解】
所以，当时取得最大值为.
故选：A
11．（多选）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值.
【详解】由题意，得：，图象向左平移个单位，
∴关于轴对称，
∴，即，
故当时，；当时，；
故选：BD
12．（多选）已知是锐角，那么下列各值中，能取得的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由于，，，所以由正弦函数的性质可得，，从而可得答案
【详解】解：因为，
又是锐角，所以，，
可得，，
可得，．
可得，，，．
故选：AC．
13．已知,则 .
【答案】/0.8
【分析】根据辅助角公式和两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为,
所以.
故答案为:.
14．函数的最小正周期为 ．
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质求出周期作答.
【详解】函数，
所以所求最小正周期为.
故答案为：
15．当时，函数取得最大值，则θ的一个取值为 ．
【答案】（答案不唯一，只要满足即可）
【分析】先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的性质即可得解.
【详解】，
当，即时，函数取得最大值，
所以θ的一个取值可以为.
故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可）
16．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)当时，求的最小值及取得最小值自变量的值.
【答案】(1)
(2)最小值为，当时取得.
【分析】（1）根据二倍角公式，辅助角公式将函数化简，然后根据三角函数的周期公式求解；
（2）根据三角函数的单调区间，结合的范围进行求解.
【详解】（1），
故最小正周期为
（2）由于，则，
注意到在上满足，上，
于是要求的最小值只用考虑的情况，
由在上单调递减，，
于是在上递减，
故时，即，取到最小值.
考点06：三角恒等变换的应用
17．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用降幂公式及诱导公式即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
18．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得.
【详解】
.
故选：A
考点07：三角恒等变换的化简问题
19．函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式结合三角函数的周期公式计算即可.
【详解】由二倍角公式和辅助角公式化简可得，其中，
由三角函数的周期公式可得最小正周期.
故选：C
20．已知函数，.
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)递增区间为.
【分析】（1）应用三角恒等变换化简函数式，将自变量代入求值即可；
（2）根据正弦型函数的性质求递增区间即可.
【详解】（1），
所以.
（2）由（1），令，则，
所以的递增区间为.
考点08：给角求值型问题
21．（多选）下列代数式的值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，
.
故选：BCD.
22．（多选）下列等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用两角差的正切公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式结合诱导公式可判断C选项；利用两角差的余弦公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，因为，
所以，，B对；
对于C选项，
，C错；
对于D选项，
，D对.
故选：BD.
考点09：给值求值型问题
23．已知，，则 .
【答案】
【分析】利用和角、差角的余弦公式以及二倍角公式求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
24．已知，则 ．
【答案】/
【分析】首先利用角的变换，化简三角函数为，再利用两角差的正弦公式，并结合条件，即可化简求值.
【详解】，，
化简得，
又，故．
故答案为：
考点10：给值求角型问题
25．设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换可得答案.
【详解】因为，所以．
因为，所以，
所以，则．
故选：B.
26．化简求值
(1)
(2)已知，，，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助就公式，化简求值；（2）首先可根据题意得出，然后根据同角三角函数关系求出，最后根据二倍角公式以及两角和的正切公式即可得出结果.
【详解】（1）
；
（2）因为，是锐角，所以，
因为，为锐角，所以，，
因为，所以，，
则，，故.
考点11：利用三角恒等变换判断三角形的形状
27．在△中，，则△一定是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】利用两角和与差的余弦公式即可求解.
【详解】由已知得,
,
,
，
，
∵, ∴,
即，
故选：.
28．在中，若，则一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简即得解.
【详解】因为
，
所以在中，，即一定是直角三角形．
故选：B
考点12：有条件的恒等式证明
29．已知，求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】利用角变换，结合两角和与差的正弦三角函数公式可以求解.
【详解】证明：由已知，得，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查角变化和两角和与差的正弦三角函数公式的应用，属于中档题.
30．已知，且满足．
（1）求证：
（2）求的最大值，并求当取得最大值时的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）的最大值为，当取得最大值时．
【分析】（1）由可得：，利用同角三角函数的基本关系公式对式子化简变形，可得答案；
（2）由（1）中结论弦化切后，可将表示成的函数关系式，进而利用基本不等式得到的最大值，然后由条件可得，即可得到答案．
【详解】（1）
，
，
；
（2）由（1）得：，
，，
，
由，
可得：当时，取得最大值，
即；
所以．
考点13：无条件的恒等式证明
31．证明：.
【答案】证明见解析
【分析】利用同角三角函数的平方关系以及二倍角的正弦公式可证得结论成立.
【详解】由题意可得：
.
32．（1）证明：；
（2）化简：；
（3）已知，是第二象限角，且，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简可证得结论成立；
（2）利用二倍角的正弦、余弦公式可化简所求代数式；
（3）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】解：（1），得证；
（2）
；
（3）因为，是第二象限角，
则，
所以，，
所以，.
考点14：三角形中的三角恒等问题
33．在锐角三角形，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】确定出的范围，用表示出代入中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角得正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．
【详解】是锐角三角形，，
，，
，
，
，，
，即，
则的范围为,．
故答案为：,．
34．在中，若，则角 ．
【答案】
【分析】由三角形的内角和定理得到，代入已知的等式中，再利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.
【详解】解：，即，
，
，
，
又，
，
故答案为：.
考点15：三角恒等变换的实际应用
35．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段和优弧围成，与圆弧分别切于点B、C，直线与水平方向垂直（如图），已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9∶5，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆弧所在圆心为O，半径为r，连接，由题意得可得，且，根据三角函数定义，可得的值，根据二倍角公式，即可得答案.
【详解】设圆弧所在圆心为O，连接，可知，
设圆的半径为r，依题意，有，即，
所以
所以．
故选：A
36．如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

【答案】当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
【分析】根据锐角三角函数定义，结合矩形的面积公式、辅助角公式、正弦型函数的最值进行求解即可.
【详解】解：在中，，，，
在中，，
∴，
∴，
设矩形ABCD的面积为S，则
，
由，得，
所以当，即时，，
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
考点16：半角公式
37．函数，则（ ）
A．的值域为B．在上单调递增
C．有无数个零点D．在定义域内不存在递减区间
【答案】D
【分析】首先确定的定义域，根据二倍角公式将整理为，根据正切函数的性质，依次判断各项正误.
【详解】解：定义域为：，
又，因为，故，故的值域为，即无零点，故A、C项错误.
因为，在上，的单调递增区间为，故B项错误；
，故在定义域内不存在减区间，D项正确.
故选：D.
38．已知，，则 .
【答案】
【分析】由半角公式求解.
【详解】，则，
由半角公式可得.
故答案为：
39．函数的最小正周期为 ．
【答案】
【分析】化简得到，进而求出最小正周期.
【详解】，所以最小正周期为，
故答案为：
40．已知tan＝，则csα＝ .
【答案】
【分析】利用求出即可
【详解】由可得
∴，解得
故答案为：