专题19.3 一次函数中的平移、对称与旋转（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

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专题19.3 一次函数中的平移、对称与旋转典例分析 【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，A0,3a、B−4a,0，△AOB的面积为6．（1）求点A、B的坐标；（2）如图2，将线段AB向右平移m个单位，再向下平移m个单位后得到线段A1B1，若△A1OB1的面积为4，求m的值；（3）如图3，将线段AB平移得到线段CD，点B与点C对应，且C0,n，且−3＜n＜0，连BD交y轴于F，求AO−OCOF的值．【思路点拨】（1）根据题意得a>0，OA=3a，OB=4a，再由三角形面积即可求解；（2）设A1B1与y轴交于点D，分两种情况，①如图2，当点D在y轴正半轴时，由平移的性质得A1m,3−m、B1−4+m,−m，再由待定系数法求得直线AB的解析式为y=34x+3，进而求得D0,−34m+3−m，OD=−34m+3−m=−74m+3，再根据三角形面积列方程求解即可；②当点D在y轴负半轴时，同①得D0,−34m+3−m， OD=−−74m+3=74m−3，再根据三角形面积列方程求解即可；（3）证△ABF≌△CDF（ASA），得AF=CF，AO−OC=2OF，即可求解．【解题过程】（1）解：∵A0,3a、B−4a,0，∴a>0，OA=3a，OB=4a，∴S△AOB=12OA⋅OB=12×3a⋅4a=6，∴a=1或−1（舍），∴A0,3、B−4,0．（2）解：设A1B1与y轴交于点D，分两种情况：①如图2，当点D在y轴正半轴时，由平移的性质可知，A1m,3−m、B1−4+m,−m，设直线AB的解析式为y=kx+b，把A0,3、B−4,0代入得：b=3−4k+b=0，解得：k=34b=3，∴直线AB的解析式为y=34x+3，设线段AB向右平移m个单位所得的直线的解析式为y=34x+c，与x轴的交点坐标为−4+m,0，则34×−4+m+c=0，解得：c=−34m+3，∴y=34x−34m+3，∴直线y=34x−34m+3与y轴的交点为0,−34m+3，∵线段AB再向下平移m个单位后得到线段A1B1，∴D0,−34m+3−m，∴OD=−34m+3−m=−74m+3，∴S△A1OB1=12−74m+3⋅m+12−74m+3⋅4−m=4，解得：m=47．②如图2-1，当点D在y轴负半轴时，由平移的性质可知，A1m,3−m、B1−4+m,−m，由①得：D0,−34m+3−m，∴OD=−−74m+3=74m−3，∴S△A1OB1=1274m−3⋅m+1274m−3⋅4−m=4，解得：m=207；综上所述，m的值为47或207；（3）解：由平移的性质得：AB=CD，AB∥CD，∴∠BAF=∠DCF，∠ABF=∠CDF，在△ABF和△CDF中，∠BAF=∠DCFAB=CD∠ABF=∠CDF，∴△ABF≌△CDF（ASA），∴AF=CF，∴AO−OC=AF+OF−CF−OF=AF+OF−CF+OF=2OF，∴AO−OCOF=2OFOF=2，即AO−OCOF的值为2．学霸必刷1．（2025·广东汕头·一模）若直线y=2x+b与直线y=kx+3关于直线y=−x对称，则k、b值分别为（    ）A．k=12、b=6B．k=12、b=3C．k=−12、b=6D．k=−12、b=3【思路点拨】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线y=2x+b关于直线y=−x的对称点，然后利用待定系数法即可求解．【解题过程】解：直线y=2x+b与x轴的交点为−b2,0，与y轴的交点为0,b；∴点−b2,0关于直线y=−x的对称点为0,b2，点0,b关于直线y=−x的对称点为−b,0，把点0,b2、−b,0代入y=kx+3，得：3=b20=−kb+3，解得：k=12，b=6，故选：A．2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若直线y=kx（k为常数且k≠0）经过点(−2,−4)，将直线y=kx向上平移3个单位长度后得到直线l:y=kx+b（k,b为常数且k≠0)，则下列关于直线l:y=kx+b的说法正确的是（   ）A．l与y轴的交点坐标是(3,0)B．若Ax1,y1,Bx2,y2两点在l上，且x1y2C．点(−2,1)在l上D．l经过第一、二、三象限【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及平移问题，与坐标轴的交点问题，过象限的问题，熟练掌握知识点是解题的关键．先求出正比例函数解析式，再求出平移后的一次函数解析式，即可求出与y轴交点判断A，利用增减性分析B选项，将(−2,1)代入平移后的一次函数解析式判断C，根据解析式直接判断过象限问题．【解题过程】解：∵直线y=kx（k为常数且k≠0）经过点(−2,−4)，∴−2k=−4，解得：k=2，∴y=2x则直线y=2x向上平移3个单位后得到y=2x+3，当x=0,y=3，则l与y轴的交点坐标是0,3，故A错误，不符合题意；∵k=2>0，则y随x的增大的增大，那么若Ax1,y1,Bx2,y2两点在l上，且x10，∴a=2，∴点P坐标为2,4，∴点E2,2，点F2,0，把点E2,2代入y=2x+b得，2=4+b，解得b=−2；把点F2,0代入y=2x+b得，0=4+b，解得b=−4；∵点P落在矩形ABCD的内部（不含边界），∴−4