新高考数学二轮培优恒成立与有解问题题型练习专题12 与双变量有关的恒成立与有解问题（2份，原卷版+解析版）

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C．D．
【答案】B
【解析】构造，，则恒成立，
则，
当时，，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
因为，所以，，
又，所以，D错误，
因为，所以，，
所以，所以，A错误，B正确.
令，则，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
当时，，即，
因为，
所以
因为，
所以，
因为在在单调递减，
所以，即
因为在上单调递减，
所以，C错误
故选：B
例2．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】，，易得在上，则在上单调递增，
又，所以即，，所以，则，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，即时，取得最大值．
故选：A
例3．（2022·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不妨设，可得，可得，
令，则，
所以，函数在上为增函数，
对任意的恒成立，所以，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
例4．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知，其中a≠b，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
故当时，，当时，，而，
不妨设，则；两式相减，可得，
则，，，
∴；
令,
设，则；
令，则，
∴函数在上单调递减，故，则，
故函数在上单调递减，故，即，
∴函数在上单调递减，
∴，即，即，
故，
故实数的取值范围为.
故选：C.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，因为对，当时都有恒成立，
等价于，即，
令，则，所以在上为减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
又，，且，
所以，
所以，解得，
故选：A.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知在函数，，若对，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，
令，
则，恒成立，即恒成立，即
令
令，即在单调递增；
令，即在单调递减.
令
令，即在单调递增；
令，即在单调递减；
故选：B
例7．（2022·全国·高三专题练习）若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0得2x+a（y﹣2ex）ln0，
即2+a（2e）ln0，
即设t，则t＞0，
则条件等价为2+a（t﹣2e）lnt＝0，
即（t﹣2e）lnt有解，
设g（t）＝（t﹣2e）lnt，
g′（t）＝lnt+1为增函数，
∵g′（e）＝lne+11+1﹣2＝0，
∴当t＞e时，g′（t）＞0，
当0＜t＜e时，g′（t）＜0，
即当t＝e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）＝（e﹣2e）lne＝﹣e，
即g（t）≥g（e）＝﹣e，
若（t﹣2e）lnt有解，
则e，即e，
则a＜0或a，
故选：C．
例8．（2022·安徽省舒城中学一模（理））已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
且，
又对任意的，，都存在唯一的，，使得成立，
或，
又，，故，
，解得．
故选：C
例9．（2022·全国·高三专题练习）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，只需要上恒成立，
∵且，
∴，即在上单调递增，
∵，，
∴，使，即，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故只需，令，
∴，故在上递减，而，
∴时，恒成立，可知.
故选：C
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
当时，，当时，，
所以，
因为开口方向向下，
所以在区间上的最小值的端点处取得，
所以要使对，，使得成立，
只需，即或，
即或，
解得，
所以a的取值范围是，
故答案为：
例11．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高三期末（理））已知函数，若，且恒成立，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】由题可知当时，函数单调递增，，
当时，，设，则必有，
所以，所以，
所以，
设，则，
则时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以的最小值为.
所以恒成立，即，
所以.
故答案为：
例12．（2022·全国·高三专题练习）设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.
【答案】14,+∞【解析】因为对任何，，
所以对任何，，
所以在上为减函数.
，，
所以恒成立，即对恒成立，
所以，
所以.
即的取值范围是.
故答案为：.
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】，，使得成立等价于在上，
．
易得，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为．易知在上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为，
∴，即实数的取值范围是．
故答案为：
例14．（2022·湖北武汉·高三期中）已知函数，，是函数的极值点，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，，令，解得.
所以，，为增函数.
所以时，.
，，
因为是函数的极值点，所以，解得.
所以.
所以，，为增函数，
，，为减函数，且
因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，
所以，
即，解得.
故答案为：
例15．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习），均有成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】不妨设，则，
由可得，
所以，
即，
所以，
令，则，
因为，所以在上单调递减，
所以对于恒成立，
所以对于恒成立，
可得对于恒成立，
所以，因为在上单调递减，
所以，
所以，
故答案为：
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，当，恒成立，则的最大值为___________.
【答案】1
【解析】令，则，，
当，恒成立，
则有，，
由得，
因为任意的，都有，所以，，
结合，得.
当时，，
令，，则，
由得，；由得，；
所以在上递减，在上递增，的最小值为，
由，得，对恒成立.
所以，
取，有恒成立.
综上可知，的最大值为1.
故答案为：1.
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（），且有两个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由题设，知函数的定义域为，
且，
因为函数有两个极值点，
所以在上有两个不等的实数根，
即在上有两个不等的实数根，
则有，
解得，即所求实数的取值范围是．
(2)由题意，得，
又由（1）知，
所以
．
要使成立，只需．
由（1）知，则只需，
即．（※）
由于，所以不妨设，
则（※）式成立，等价于成立．
设（），
则，
所以函数在区间上单调递减，且，
所以
所以无实数解，即（※）式不成立，
所以不存在实数a，使成立．
例18．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)证明：，，不等式恒成立．
【解析】(1)由题可知．
令，则．
令，得，
当时，，单调递增，即单调递增
当时，，单调递减，即单调递减．
则，
又，，所以存在，使得，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
又，，故．
(2)由（1）知，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
要证，只需证．
令，，则，
即在区间上单调递增，则．
令，.则．
令，.则在上恒成立，
则在上单调递减，即在上单调递减．
又，，所以，使得．
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
又因为，所以，
即在上恒成立，即，
则恒成立
故，，不等式恒成立．
例19．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，且这两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的值.
【解析】(1)由题意可知的定义域为，.
当时，由，得；由，得.
则在上单调递减，在上单调递增.
当时，由，得或；由，得.
则在和上单调递增，在上单调递减.
当时，恒成立，则在上单调递增.
当时，由，得或；由，得.
则在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减，在单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
(2)由（1）可知或，且两个极值点分别是1和，不妨设，，
则，，
故恒成立，即恒成立.
当时，，则，
因为，所以，则；
当时，，则，
因为，所以，则.
综上，.
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对，，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)当时，，，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
(2)，令得或，
∵，所以，
当时，，所以函数在上单调递减，
则，，
∵对，不等式恒成立，
∴，
即对恒成立，
令，则函数在上单调递增，
所以只需．所以．
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．
(1)若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；
(2)当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
【解析】(1)函数的定义域为，
其导数为．
由或，
设，，
当时，；当时，．
即在区间上递增，在区间上递减，
，
又当时，，当时，且恒成立．
当或时，方程无根，函数只有一个极值点．
当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，
故函数只有一个极值点．
当时，方程有两个根、且，，
函数在区间单调递减；，单调递增；单调递减；，单调递增，此时函数有、1、三个极值点．
综上所述，当或时，函数只有一个极值点．
(2)依题意得，令，则对，都有成立．
，当时，函数在上单调递增，
注意到，
若，，有成立，这与恒成立矛盾；
当时，因为在上为减函数，且，
函数在区间上单调递增，在上单调递减，
，
若对，都有成立，则只需成立，
，
当时，则的最小值，
，
函数在上递增，在上递减，
，即的最小值的最大值为；
综上所述，的最小值的最大值为．
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，，且实数b满足恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)的定义域为且.
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
(2)由（1）可知，当时，单调递增，至多有一个零点，舍去；
若时，由，，，，
则要使有两个零点，只需，从而.
故时，有两个零点，，不妨设.
由（1）易知，
∴∴，∴，
，
即.
令，∴在上恒成立.
因为，，易知，
令，则，.
令，，对称轴.
①若，即时，，故，在上单调递减，
则，符合题意；
②若，即时，，故存在唯一，有，
从而在上单调递增，在上单调递减，从而，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
例23．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知，其中e是自然对数的底数．
(1)若在处取得极值，求a的值；
(2)求的单调区间；
(3)设，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)，，
由已知，解得，
此时，
在区间上，，在区间上，，
函数在处取得极小值，因此时符合题意.
(2)，，
当时，，在区间上单调递减；
当时，，
①若，即，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增；
②若，即，则在区间上单调递减；
综上所述，当，则在区间上单调递减.
当时，在区间上单调递减；在区间上单调递增.
(3)当时，由（2）可知，当时，函数取得最小值，且；
，函数在区间上单调递增，
时，函数取得最大值，且，
存在，使得成立，
必有对于，，
又，联立可得，
解得，
实数a的取值范围为
例24．（2022·山东·高三阶段练习）设函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的极小值；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，则.
曲线在点处的切线与直线平行，此切线的斜率为，
即，解得，则，
，
由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，故的极小值为；
（2）对任意，恒成立等价于：对任意，
恒成立，
设，
则对任意，，即，
所以，函数在上单调递减，
在上恒成立，
在上恒成立，，
故实数的取值范围是.
例25．（2022·安徽省舒城中学三模（文））设函数，.
（1）求导数，并证明有两个不同的极值点､；
（2）若不等式成立，求的取值范围.
【解析】（1）∵，
∴.
令得方程，
因，故方程有两个不同实根､，
不妨设，由可判断的符号如下：
当时，；
当时，；
当时，.
因此是极大值点，是极小值点.
（2）因，故得不等式
.
即.
又由（1）知，.
代入前面不等式，两边除以，并化简得.
解不等式得或（舍去）.
因此，当时，不等式成立.
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围.
【解析】若对，，，，恒有成立，
只需在，上，即可.
，
，，
在，，，，
故与，是单调递增区间.
在，，
故，是单调递减区间.
因此的极小值为又，
所以
所以，
解得的范围为.
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，且恒成立，求正实数k的最大值．
【解析】（1），
令,则,所以在内,在内,
,当x趋近于0时，趋近于0，，当x趋近于+∞时，趋近于正无穷.
当时，时，恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递减，
当时，时，存在，，，
函数f(x)在和内单调递减，在上单调递增.
当时，，存在x0>1,使得
在(0,x0)内2xlnx+a