新高考数学二轮培优恒成立与有解问题题型练习专题08 与隐零点有关的恒成立与有解问题（2份，原卷版+解析版）

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(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，
所以.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令得，令得，
所以在上单调递减：在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为对恒成立，
即对恒成立.
设，其中，
所以，，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递增.
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以.
因为，则，
设，其中，则，
所以函数在上为增函数，
因为，则，则，
由可得，所以，
所以，可得，
所以，所以.
所以实数a的取值范围为.
例2．（2022·福建师大附中高三阶段练习）设， 其中．
(1)讨论的单调性；
(2)令， 若在上恒成立， 求的最小值．
【解析】（1），
①当时，在上恒成立，在上单调递减；
②当时，在上单调递增，且当时，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
（2）因为，
所以若，，与在上恒成立矛盾，
所以，
则，
令，
则由可知在上单调递减，
又当时，，，
，
又，
，使得，
，，
，
，
且当时，单调递增；
当时，单调递减，
，
又，
，解得，
令，
则在上恒大于0，
在上单调递增，
．
例3．（2022·广东广州·一模）已知函数，.
(1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当时，显然满足题意
当时，若函数只有一个零点，
即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为
只有一个根，
即直线与函数（且）的图像只有一个交点.
，令，得，
在和上，，在上，，
所以在和上单调递减，在上单调递增.
在时有极小值，图像如图所示：
由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，
则或，
综上.
（2）恒成立，
等价于，
令（），
，
①若时，，
所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则，，
所以在上单调递增，
当时，，不成立
故不满足题意.
③若时，令，，
，，
，单调递减，
，单调递增，
只需即可，
，，
令
，在上单调递增，
，时，，
，，
所以在上单调递增，
，即，
综上：
例4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若在有两个极值点，求证：．
【解析】（1）由，
求导得，
易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断，
①当时，即，，则在上单调递增；
②当时，即或，
令时，解得或，
当时，，
则在上单调递减；
当或，，
则在和上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当或时，在上单调递减，
在和上单调递增.
（2）在上由两个极值点，
或，且为方程的两个根，即，，
，，即，
将，代入上式，可得：
，
由题意，需证，令，
求导得，
当时，，则在上单调递减，即，
故.
例5．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知，，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线.
(1)当时，求、、的值;
(2)求证：当且仅当时，函数存在最小值.
(3)已知存在，使得对一切恒成立，求满足的的最小值.
【解析】（1）当时，，，则，，
由题意可得，即，解得.
（2）由已知，则.
（i）当时，，函数在上单调递增，不存在最小值；
（ii）当时，由可得，此时函数单调递减，
由可得，此时函数单调递增，
故当时，函数存在最小值；
（iii）当时，由可得，此时函数单调递增，
由可得，此时函数单调递减，
故当时，函数存在最大值，无最小值.
综上所述，当且仅当时，函数存在最小值.
（3）存在，使得对一切恒成立，则.
由（2）可知，当且仅当时，函数存在最小值，且，
由已知可得，则，
所以，，
由题意可得，因为，可得，
令，可得，
令，其中，
，当且仅当t = 0.5时取等，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则，所以，，
所以，函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在使得，由可得，
且，且，
所以，使得的最小值为.
例6．（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知函数.
(1)若任意，，求a的取值范围；
(2)若任意，，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，令 ，则，当时， ，所以 在 上单调递增，故 ，故对任意的，，
由题意可知，对任意，，而当 时， ,
则当时，，
记，则，当时，，当 时， ，因此 在 单调递减，在单调递增，
故 ，故 ,
综上可知：，
（2）记 ，
则，
记 ，则 ， 在时单调递增，且
当 时， ，故在时单调递增，且 ，故在时单调递增，则 ，此时满足题意，故
当 时，存在 ，使得当 时 当时， ，故在单调递减，在单调递增，且 ，故存在 ，使得当 时 当时， ，故在单调递减，在单调递增，且，不满足对任意的 ，，故舍去，
综上可知：
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，
求导，
设，
则，
令 ，解得： ；，，
∴ 在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
则，
∴在（0，+∞）上恒成立，
∴的递增区间为（0，+∞），无递减区间；
（2），
由（1）知：＝，
又因为在（1，+∞）单调递增，
则g（x）≥g（1）＝2，
①当a≤2时，，在[1，+∞）单调递增，
∴，满足题意．
②当a＞2时，设，则，
当时，，
∴在[1，+∞）递增， ，，
∴∃，使，
∵在[1，+∞）单调递增，
∴当时，＜0，即＜0，所以在上单调递减，
又，
∴当时，，不满足题意．
∴的取值范围为，
综上可知：实数的取值范围（﹣ ，2]．
例8．（2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），.
(1)若有两个零点，求实数的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）有两个零点，
关于的方程有两个相异实根，
，
有两个零点即有两个相异实根.
令，
则，
得，得
在单调递增，在单调递减，
，
又
当时，，当时，，当时，
有两个零点时，实数的取值范围为；
（2），所以
原命题等价于对一切恒成立，
对一切恒成立，
令，
令，
则
在上单增，
又，
使，即①，
当时，，即在递减
当时，，即在递增，
由①知，
，
函数在单调递增，
即
实数的取值范围为.
例9．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：．
【解析】（1）函数的定义域为.

，
令 即

记

，恒成立，即 在 是递增函数.
即恒成立
解得
在 上单调递减，在上单调递增.

，故无最大值.
的最小值为：，无最大值.
（2） 恒成立.
即恒成立.
在 恒成立
即在 恒成立
令

令，即
整理得：
令
在 恒成立
在上单调递增.
，
使得即
当时，当时，
当时，当时，
在上单调递减，在上单调递增，

构造函数，因为在上单调递增，
所以，即
因此，实数的取值范围是.
（3）设
，在上恒成立.
在上单调递增且
在上恒成立.
在上恒成立.（其中，）.
即
则
故
例10．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知函数.
(1)求证：函数存在唯一的极大值点；
(2)若恒成立，求的值.
【解析】（1）证明：因为，故，令，易得在上为减函数，且，，故在上有唯一零点.
故在上，上单调递增；在上，上单调递减，故函数存在唯一的极大值点.
（2）恒成立即，设，则.
，，易得在定义域上为增函数，且，，故在上有唯一零点.
故在上，单调递减；在上，单调递增.
又，且，若恒成立，则为极大值点，此时，解得，此时在上，单调递增，在上，单调递减，故恒成立.
故.
例11．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数.
(1)若在上是增函数，求实数的取值范围;
(2)若，求证:.
【解析】（1），
在上是增函数，在上恒成立，可得在上恒成立.
令，则，
当时，在上是增函数，，
，解得或，
即实数的取值范围是；
（2），令，则，
在上单调递增，
因为，，所以存在时，，
存在，使得，即，
所以当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
当且仅当即时等号成立，
当，
例12．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数．
(1)讨论函数在上的单调性;
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，令，解得；
当时，，则函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题意得，，即．
令，则，
当时，单调递减，∴．
①当时，，则恒成立，∴为增函数，∴；
②当时，，
∵，，
∴存在，使，且时，单调递减，
∴，与矛盾，舍去．
综上所述，实数a的取值范围是．
例13．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围．
【解析】（1）由可得，
当时，，
当时，，当时，，
从而的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，由得，，，
①若，即时，恒成立，故在R上单调递增：
②若，即时，由可得，或．
令可得，
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，即时，由可得，或，
令可得，
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在R上单调递增；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）不等式，可得对恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
则，
令，则，则在上单调递减，
又，故在上有唯一的实根，
不妨设该实根为，
故当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
故，
又因为，所以，，，
所以，
由题意知，解得，故a的取值范围为．
另（2）由不等式，可得对恒成立，
即，对任意的恒成立，
令，，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故，
由题意知，解得，故a的取值范围为．
例14．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求满足条件的实数的最大整数值.
【解析】（1）函数的定义域为，，
则在处的切线斜率，又
所以函数的图象在点处的切线方程为：，即，
（2）即，
又，所以，可得对于恒成立，
令，则.
再令，则，
所以在上单调递增；又，，
所以使，即，使，
当时，，；当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，又因为，所以实数的最大整数值是4.
例15．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三开学考试）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．
【解析】（1）∵，
当，，
∴在单调递增
当时，，
令，得，得
∴在单调递增，在单调递减
综上：时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减；
（2）∵，
∴，
∴，
∴
令，
∴
令，
∴在单调递减，
∵
∵
∴，使得，即，
当，，，单调递增，
当，，，单调递减，
∴，
∵，，
∴，
∴m的最小值为3
例16．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有极值点，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
【解析】（1）因为定义域为，
所以，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可知，若有极值点，
则，且，所以，所以，
因为关于的不等式恒成立，
所以在上恒成立．
设，则，
设，，所以在上单调递减，
，
．
所以存在，使得，且当时，，即，单调递增，
当时，，即，单调递减，
所以，其中满足，
所以，设的最小值为，则，
由得，．
当时，，所以，即．
所以整数的最小值为3．
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其导函数为.
(1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围：
(2)当时，证明：在区间上有且只有两个零点.
【解析】（1），
由题意得：在上恒成立，即在上恒成立，
由于函数在上单调递减，所以，，
所以
（2）当时，.
设，则
令，
则，所以在上单调递减，
又，，
故存在，使得，
当时，，即，在上单调递增；
当时，，即，在上单调递减；
又，，，
所以在和上各有一个零点，
从而在上有且仅有两个零点.
例18．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）设函数，，其导函数为．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，为整数，且当，，求的最大值．
【解析】（1）因为的定义域为R，．
当时，则，在R上单调递增；
当时，则，解得，
当x变化时，，变化如下表：
综上，当时，在R上单调递增；
当时，的单调减区间是，增区间是；
（2）由于，
∴．
故当时，等价于，
令，则．
由（1）知，函数在上单调递增，
而，，
∴在存在唯一的零点，
故在存在唯一的零点．设此零点为m，则．
当时，；当时，，
∴在的最小值为．
又由，可得，
∴．
由于，
故整数的最大值为2．
例19．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高三开学考试）已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）的定义域为，，由题意在上有两解，
即，即有两解.
令，即的图象与直线有两个交点.
，得，当时，，递增；
当时，，递减，，，
时，；时，，
，，
a的取值范围是.
（2）当时，，即证，即证，
令，，令，则，
当时，，在递增.
，，
存在唯一的，使得，
当时，，递减；
当时，，递增，
.
又，，，
，
，.
例20．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知函数．
(1)求证：；
(2)是否存在唯一实数，使得成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)证明：要证 ，
即证，即证，
令，可得，
当时，，单调递减，
当，，单调递增，
所以，所以.
(2)假设存在唯一实数，使得，即，
问题转化为方程在内存在唯一实数根.
令，
则，
（1）当时，，在上单调递减，，
所以在内无零点；
（2）当时，令，
可得，
①当，即时，，在单调递减，
且，即，
在单调递增，，所以在内无零点.
②若，即时，当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，所以，在上单调递增，，所以在无零点；
③若，即时，，在单调递减，
因为，，
由，所以，使得，
当时，，则，单调递减，，
所以在内无零点.
当时，，则，单调递增，
由（1）知，，
所以，
令，则，
取时，，，
在内存在唯一零点，所以在内存在唯一零点.
综上所述，存在唯一实数，使，的取值范围为.
例21．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知函数.
(1)若曲线与直线相切，求a的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.
【解析】(1)的定义域为，.
令，得，又，
所以曲线的斜率为1的切线为，
由题意知这条切线即，故.
(2)存在，使得成立，即存在，使得成立.
设，则.
设，则.
当时，，当时，，
所以.
若，则，即，所以单调递增，
故当时，，不符合题意.
若，，，
所以存在，使得，
当时，，即，在上单调递减，
所以当时，，符合题意.
综上可知，的取值范围是.
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中e为自然对数的底数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当a＝0时，若存在使得关于x的不等式成立，求k的最小整数值．（参考数据：）
【解析】（1）函数的定义域R，求导得：，
若，由，得，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
若，则对任意都有，则在R上单调递增，
若，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）当a=0时，令，则，令，
则，则当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因，，则存在，使得，即，
则当时，，当时，，
又当时，，所以当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，
于是，，
．
若存在使得关于x的不等式成立，且k为整数，得，
所以k的最小整数值为0.
x
－
0
＋
单调减
极小值
单调增