新高考数学二轮培优恒成立与有解问题题型练习专题04 与数列有关的恒成立与有解问题（2份，原卷版+解析版）

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A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为
B．
C．使得不等式成立的的最大值为4
D．数列的前项和
【答案】C
【解析】由题可得，，，……，，
则，所以数列是以4为首项， 为公比的等比数列，则，显然B正确；
由题意可得：，即，，……，，
于是，为等比数列，
对A：连续三个正方形面积之和，A正确；
对C：令，则，而，C错误；
对D：，D正确．
故选：C
例2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，且对任意的实数x，恒成立.若存在实数，，…，（），使得成立，则n的最大值为（ ）
A．25B．26C．28D．31
【答案】B
【解析】由题意得，，所以解得所以
.
令，若，则.
令，，故，即当时，.存在，，…，（）使得成立，即存在，，…，（），使得，由时，的最小值为2，最大值为51，得，得，又，所以可得n的最大值为26.
故选：B.
例3．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知数列的前项和，等比数列满足，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为.当时，，又当时，，所以.设，则，可得，，所以数列.的通项公式为，，因此原不等式转化为，即对于任意的实数恒成立，设，，可得且，即有，解得：实数的取值范围为.
故选：D
例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，符合题意；
当时，恒成立，
当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；
当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；
当时，若为偶数，则不等式变形得，，即，
若该不等式恒成立，则，即，所以设，
，，
所以当时，，此时，
此时该不等式不可能恒成立；
当时，，若该不等式恒成立，只需，
解得（舍去）或，综上，；
若为奇数，不等式变形得，，满足题意；
综上所述，实数的取值范围是．
故选：A．
例5．（2022·辽宁实验中学高三期中）数列中，，，使对任意的（）恒成立的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得，数列：，可得规律为；；；此时将原数列分为三个等差数列：
，；
，；
;
因为，
所以满足对任意的恒成立的最大值为．
故选：B.
例6．（2022·浙江省杭州第二中学高三期中）已知数列满足（，为自然对数的底数），且对任意的都存在，使得成立，则数列的首项须满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，令，得到.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故，即（当且仅当时取等号）.
故（当且仅当时取等号）.
即.要使对任意的都存在，使得成立，
显然时，，一定能满足题意；
当时，，如图此时不满足题意；
当时，，如图此时满足题意；
综上，.
故选：C
例7．（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高三期中）设数列，若存在公比为q的等比数列，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”，则下列说法错误的是（ ）
A．数列；2，4，8，16，32是数列：3，7，12，24的一个“等比分割数列”
B．若数列存在“等比分割数列”，则有和成立，其中
C．数列：，，2存在“等比分割数列”
D．数列的通项公式为，若数列的“等比分割数列”的首项为1，则公比
【答案】C
【解析】对于A，因为符合定义，故A正确；
对于B，由定义知，故B正确；
对于C，若正确，则，，则矛盾，故C错误；
对于D，，解得，故D正确.
故选：C.
例8．（2022·辽宁·建平县实验中学高三阶段练习）已知数列满足，，若，且存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，．
令，
，
又，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
，即，
，
∵存在，使得成立，
．
令得则，，
或．，
，即，解得，
∴实数的取值范围是．
故选：D．
例9．（2022·全国·高三专题练习）各项都不为0的数列的前项和满足其中数列的前项和为若恒成立，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．20
【答案】D
【解析】数列的前项和满足
则时，，则
又数列的各项都不为0，则
又由，可得
则数列的奇数项是以1为首项公差为2的等差数列，
数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列，
则数列的通项公式为
则
则数列的前项和
又，即恒成立，则恒成立
又当时的最大值为20，则
故选：D
例10．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列满足，，则（ ）
A．对于任意正数，数列是单调
B．当时，数列的最大项是
C．当时，对恒成立
D．当时，对恒成立
【答案】D
【解析】取，则，得，故A错.
取，则，故B错.
当时，,与矛盾，故C 错.
由得，
时，，，以此类推可知，即，所以可知，故
故，即，故D对.
故选：D
例11．（2022·浙江省江山中学高三期中）已知数列满足，，记数列的前n项和为，设集合，对恒成立，则集合N的元素个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】令，解得，即数列的不动点为，
其生成函数为，
所以，作出函数与函数的图像如图：
故，由蛛网图：，
,即，
又
，
一方面，由得，
，
，
，且当，，
.
另一方面，（法一）由得，
，
，
且当，，
，
必须大于等于
.
所以集合的元素个数是2，故选：B.
另一方面，（法二）由，得，
又
.又当，，
必须大于等于.
.
所以集合的元素个数是2，故选：B.
例12．（2022·全国·长郡中学模拟预测）已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．存在使得
【答案】BC
【解析】当时，，
当时，由，得，故，即，
所以数列为等比数列，首项，公比，故，
A选项错误；
则，所以，
，B选项正确；
当时，，
假设当时，成立，
当时，由可得，则，，，，，将上式相加可得，又，则，故，即时也成立，
故，C选项正确；
D选项，当时，由知不成立，
当时，由C选项知：，则 ，，，，，上式相加得，又由上知，，则，可得，又由可得，，即，D选项错误；
故选：BC.
例13．（2022·安徽·六安一中高三阶段练习（文））已知数列的首项为2，前n项和为，，.若数列的前n项和为，则满足成立的n的最小值为______.
【答案】7
【解析】因为①，当时，②，①-②得：，当时，，即，故是首项为2，公比为3的等比数列，所以，又，所以，
，解得：，已知，，故n的最小值为7
故答案为：7
例14．（2022·上海嘉定·一模）已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________.
【答案】36
【解析】由题意，对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项，
且.
可算得（项），，，
因为，，，所以，，，
因此所求的最小值为36.
故答案为：36.
例15．（2022·上海闵行·一模）已知，数列满足.若对任意正实数λ，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为___________.
【答案】
【解析】依题意，
即，
整理得，所以，
即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
，
，由得，
由于，所以，，
所以，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，各项均不相等的数列满足，，数列和的前项和分别为和，给出下列两个命题：
①若，则；
②存在等差数列，使得成立．关于上述两个命题，
以上说法正确的是______．（填写序号）
【答案】①②
【解析】 ，
当 时，，
， ，，
，，
由于当时，，
单调递增，
故可得，
，
，
，所以①正确；
由知 ，所以，
要使得 成立，只需 即可，
所以只需，即，
又 ，不妨取，
，满足，
，所以存在这样等差数列，所以②正确．
故答案为：①②.
例17．（2022·全国·模拟预测（文））已知等差数列的前项和为，且，若存在常数使得恒成立，则常数的值为___________.
【答案】2或4
【解析】由题意，
化简得，
故，
由，得或，
当时，显然；当时，，满足条件，所以或4.
故答案为：2或4
例18．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为___________
【答案】
【解析】由题，，累加可得，故，显然，故要存在正整数n，使成立，即，即或，故存在正整数n，使或，故或，即或，故直接分析的最小值即可.又，当为奇数时，；当为偶数时，，当且仅当时取得等号，综上有，故或.
故答案为：
例19．（2022·新疆昌吉·二模（理））已知函数，则下列结论正确的有___________.
①，
②，恒成立
③关于的方程有三个不同的实根，则
④关于的方程的所有根之和为
【答案】①③
【解析】由，故A对.
由A可知，要使，恒成立，只需要满足，成立即可.即，即成立，令，则，得，当时，有最大值，故B不正确.
作出的图像，
由图可知，要使方程有三个不同的实根，则，即，故C对.
由可知，函数在上的图像可以由上的图像向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到，由于的对称轴为，故的两根之和为，同理，的两根之和为的两根之和为，故所有根之和为，故D错.
故选：①③
例20．（2022·全国·高三专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，
所以，
由，
，
所以，所以，
所以由，得，
，
，
所以，
令，（）则当，递减，当时，递增，
因为，
所以，
所以，
即的取值范围是，
故答案为：
例21．（2022·上海青浦·一模）如果数列每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数满足，则称数列具有性质.
(1)若（均为正实数），判断数列是否具有性质；
(2)若数列都具有性质，证明：数列也具有性质；
(3)设实数，方程的两根为，若对任意恒成立，求所有满足条件的.
【解析】(1)对，可看作以为首项，为公比的等比数列，故，故具有性质；
对，若满足，即，整理得，即，，因为，所以不成立，所以不具有性质；
(2)若都具有性质，则，，
，，，
要证数列也具有性质，即证，即，整理得：，因为，，即证①，
因为，，所以，
所以，，
由基本不等式可得，①得证；
(3)由方程的两根为可得，
，，，，，
，即，所以放缩得，即，
当时，；当时，，
所以，即恒成立，故，解得，又，故只能.
例22．（2022·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)﹒
【解析】(1)∵
∴当时，，
当时，由，
得，即，
数列是公差为2的等差数列，
由条件得，即数列是公比为2的等比数列，
；
(2)∵，
则，
，
，
，
恒成立，
则恒成立，
令，则，
，
，
，
故实数的取值范围是﹒
例23．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）对于项数为，的有限数列，记该数列前i项、、、中的最大项为，即；该数列后项中的最小项为，，即，，．例如数列：1、3、2，则，，；，；，．
(1)若四项数列满足，，，，求、、、；
(2)设c为常数，且，，求证：，；
(3)设实数，数列满足，，，若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)因为四项数列满足，，，，
由题意可知，，故，，，且，
因为，从而，，，
故，，，.
(2)证明：因为，，
所以，
又因为，所以，
故，即，
所以.
(3)①当时，数列是等差数列，此时，不满足题意；
②当时，由可得，，
由可知，，
(i)当时，，
即，则数列为常数列，此时，不满足题意；
(ii)当时，，
故数列是公比为的等比数列，易得，
由题意可知，，
，
因为，且，
所以，
故对于任意正整数都成立，从而，
故，，
所以，
解得，
故实数的取值范围为.
例24．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，，求证：对任意的，都有；
(3)若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【解析】(1)，则；，则；，则.
解得，，，故，.
(2)，即，
当时，，故成立；
假设时成立，即；
当时，，函数在上单调递增，
，故，即时成立.
综上所述：对对任意的成立.
(3)当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
故，若存在满足条件，则.
，
，
两式相加得到：
，故.
， ，成立.
综上所述：存在使恒成立.
例25．（2022·上海市大同中学高三阶段练习）设p为实数，若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列.①，且；②（，2，…）；③（，，2，…）.
(1)若数列前4项为2､-2､0､1，则是否可能为数列？说明理由；
(2)若数列是数列，求；
(3)设数列的前n项和为，是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p，如果不存在，说明理由.
【解析】(1)(1)由性质③，结合题意可得
，矛盾，
故数列前4项为2､-2､0､1不可能为数列.
(2)性质①，
由性质③，因此或，或，
若，由性质②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因为或，所以或.
若，则，
不满足，舍去.
当，则前四项为:0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明：
当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，
当时：
若，则，利用性质③：
，此时可得：；
否则，若，取可得：，
而由性质②可得：，与矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因为，有
即当时命题成立，证毕.
综上可得：，.
(3)令，由性质③可知：
，
由于，
因此数列为数列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此时，，满足题意.
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知数列各项都是正数，，对任意n∈N*都有．数列满足，（n∈N*）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列满足cn＝，数列的前n项和为，若不等式对一切n∈N*恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）数列各项都是正数，，对任意n∈N*都有，①
当时，，②
①﹣②可得，
因为数列各项都是正数，
所以可化为，
因为，
所以，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，n∈N*；
数列满足，（n∈N*），
可得，
当时，，又，
两式相减可得，
所以的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，
可得奇数项为1，3，5，7，...，2n﹣1，...，偶数项为2，4，6，...，2n，...，
所以；
（2）因为，
所以，
所以
两式相减可得
化为，
若不等式对一切n∈N*恒成立，
即为恒成立，
设，
﹣1＝﹣1＝﹣1＝，
当时，，当时，，
所以时，取得最大值，
则﹣9，解得﹣，
即λ的取值范围是．
例27．（2022·上海·模拟预测）数列对任意，且，均存在正整数，满足.
(1)求可能值；
(2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：
(3)若成立，求数列的通项公式.
【解析】(1)因为，所以或，所以可能值为7或9；
(2)因为成等差数列，所以，,
所以，
逆命题：若，则为等差数列是假命题，举例：故命题为假命题，
(3)因为，所以
，所以，
因此，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：
当时，明显成立；
假设当时命题成立，即，
则，即，即命题得证；
回到原题，分类讨论求数列的通项公式：
例28．若，则矛盾；
例29．若，则，所以，所以，
此时，
所以，
例30．若，则，所以，所以，
所以（由（2）知对任意成立），所以，与事实上矛盾，
综上.
例31．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.
例32．（2022·上海黄浦·二模）已知数列满足以下两个条件：①，当时，；②若存在某一项，则存在，使得（且）．
(1)若，求，，；
(2)若对一切正整数，均成立的的最小值为，求该数列的前项之和；
(3)在所有的数列中，求满足的的最小值．
【解析】(1)条件①即：当时，或．
（1）由，得，于是或．
当时，由条件②，得，不满足条件①，舍去，故．
同理可得．因此，，，．
(2)由题意，，由条件①，得，于是或．
当时，由条件①，得，此时该数列的前项为，，，，，，不合题意，舍去．
当时，由条件①，得或，结合条件②，得、中必有一项为，因为，所以只有，此时，．
故数列的前项为，，，，，，这前项的和为．
因此，该数列的前项之和为．
(3)由及条件②，可得，，，…，，必为数列中的项，记该数列为，有（）．
以下考虑在数列中依次是哪些项，不妨令．
由条件①，或，均不为；
此时或或或，均不为．
上述情况中，当，时，，结合，有．由，得即为所求．
例33．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和；
(3)若存在，使得成立，求实数的最小值．
【解析】（1）当时，，
当时，，
两式相减并化简得（），
当时，上式也符合，
所以.
（2）数列满足，，
则，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，
设数列满足，且前项和为，
,,
两式相减得，
所以.
设数列满足，则的前项和，
所以.
（3）依题意，存在，使得成立，
，则只需求的最小值.
，
当或时，取得最小值为.
所以的最小值为.
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，满足对任意都成立，数列的前n项和为．若，且是等比数列，求k的值，并求．
【解析】因为且得，
又是等比数列，则，
即，得．
当时，，，故是以2为首项，公比为1的等比数列，
此时的前n项和；
当时，，即，
所以，且所以以为首项，公比为-1的等比数列，
又，
所以，当n是偶数时，
，
当n是奇数时，，
，
综上，当时，，
当时，．
例35．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知正整数数列，，，当时，恒成立．
(1)证明：数列是等比数列并求出其通项公式；
(2)定义：表示不大于x的正整数的个数．设数列的前n项和为．求的值．
【解析】(1)由得：．
因为是正整数列，
所以，
于是是等比数列．
又，，
所以，；
(2)因为，
，
，
上两式相减得，
，
所以，
又，
即为递增数列，
，，，，，
所以，，，，，
.
例36．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)证明：对于任意正整数，不等式成立.
【解析】(1)因为
令且当时，递减；当时，递增，
(2)由（1）知当时，（当且仅当时取“”）
令
，即原不等式成立．
例37．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，为的前n项和.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和满足对一切正奇数n恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)∵，，
∴，
∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴；
(2)由题可得，
∴，
∴，n为奇数，
∴当 n为奇数，且时，
，
当时，也适合，
故当 n为奇数时，，
又对一切正奇数n恒成立，
∴对一切正奇数n恒成立，
又，
∴.
例38．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，，，则数列的通项公式为______．记数列的前项和为，若得对恒成立，则正整数的最小值为______．
【答案】 5
【解析】由题设，得等差数列的公差，
∴．
可化为，
令，
则，
∴，
∴当时，取得最大值.
由，得，
∴正整数的最小值为5．
故答案为：，5
例39．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知数列满足：，，且，，其中.则___________，若，则使得成立的最小正整数为___________.
【答案】
【解析】，，
，又，，
；
可猜想：；
当时，成立；
假设当时，成立，
那么当时，，，，
；
综上所述：当时，；，
，
解得：，使得成立的最小正整数为.
故答案为：；.