新高考数学二轮培优恒成立与有解问题题型练习专题11 与极值点偏移有关的恒成立与有解问题（2份，原卷版+解析版）

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A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，令，因为，所以在上单调递增，与x轴有唯一交点，
由零点存在性定理，得，，则，故A错误.
对于B，C，D，当时，两边同时取对数，并分离参数得到，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
如图所示，
当时，与的图象有两个交点，
，解得，故B正确；
，由A选项知，，故C错误；
由极值点偏移知识，此时函数的极值点左移，则有，故D错误.
故选：B.
例2．（2022·全国·高三专题练习）关于函数，下列判断正确的是（ ）
①是极大值点；
②函数有且仅有个零点；
③存在正实数，使得成立；
④对任意两个正实数、且，若，则.
A．①④B．②③C．②③④D．②④
【答案】D
【解析】对于①，函数的定义域为，，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，是极小值点，①错；
对于②，令，该函数的定义域为，
，则函数在上单调递减，
因为，，所以，函数有且仅有个零点，②对；
对于③，若存在正实数，使得成立，则，
令，其中，则，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
所以，当时，，故函数在上单调递减，则无最小值，
故不存在正实数，使得成立，③错；
对于④，先证明，其中，即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，当时，，
所以，当时，，
由，得可得，
所以，，所以，，因此，，④对.
故选：D.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)记两个极值点为，，且，当时，求证：不等式恒成立.
【解析】(1)由题意知，函数的定义域为，
方程在有两个不同根，
即方程在有两个不同根，
即方程在有两个不同根；
令，则，
则当时，，时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，当时，，当时，，
所以的取值范围为；
(2)证明：欲证 两边取对数等价于要证，
由（1）可知，分别是方程的两个根，
即，
所以原式等价于，因为，，
所以原式等价于要证明.
又由，作差得，，即.
所以原式等价于，令，，
则不等式在上恒成立.
令，
又，
当时，可见时，，
所以在上单调增，
又，,
所以在恒成立，所以原不等式恒成立.
例4．（2022·重庆·高二阶段练习）已知函数，.
(1)求证：，；
(2)若存在、，且当时，使得成立，求证：.
【解析】(1)证明：构造函数，其中，
则
，
因为，则，，
即当时，，所以，函数在上单调递减，
故当时，，即.
(2)证明：先证明对数平均不等式，其中，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，当时，，
所以，当时，，
本题中，若，则，
此时函数在上单调递减，不合乎题意，所以，，
由（1）可知，函数在上单调递减，不妨设，则，
则，即，
所以，，
因为，则，
所以，，
所以，，
所以，，所以，，
由对数平均不等式可得，可得，所以，.
例5．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知函数（其中e为自然对数的底）
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，是的极值点且.若，且. 证明：.
【解析】（1）因为在上单调递增，所以在恒成立，
所以在恒成立，
令，，
①当时，在恒成立，在上单调递增，
所以，所以满足题意.
②当时，令，则.
(i)，所以，在单调递增，
所以，所以满足题意.
（ii），在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，，
所以在恒成立，所以在上单调递减，
而，所以不成立.
所以实数a的取值范围为：.
（2），，
因为是的极值点，所以满足，
令，则若，解得，
所以当时，，当时，，
所以，，
所以是唯一负极值点，且在上单调递增，在上单调递减，
要证明，即证明，
化简得，由于在上单调递增，
且由，，可知.
故，
从而可推得，而，
因此.
令，
则，
，
而，所以，
故单调递增，从而，即，
从而，即证得.
例6．（2022·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知函数.
(1)证明：.
(2)若函数，若存在使，证明：.
【解析】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在递增，在递减，则，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在递增，在递减.
又∵，，，，且，.
要证，即证.
∵，∴，
又∵，∴只证即可.
令，，
恒成立，
∴在单调递增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
例7．（2022·重庆·临江中学高三开学考试）已知函数．
(1)当时，证明；
(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，，定义域为，
设，则，
所以函数在单调递增，在上单调递减，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以，且等号不同时成立，所以；
（2）函数，，
若存在极值点，则，所以，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由，不妨设，
若，则；
若，由可得，则，
所以，即对恒成立，
令，则，
则
，
设，则，
，
令，，
则，
，
令，
则，
令，则，
当时，令，
则
，
设，
所以，所以，
所以当时，，单调递增，，单调递增，
，单调递增，，单调递减，，
，符合题意；
当时，，存在，单调递减，，
，，单调递增，，，
不符合题意；
所以，由单调递增可得.
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若时，都有，求实数a的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：.
【解析】（1）因为，定义域为，.
①当时，令，解得
即当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
②当时，在单调递增；
③当时令，解得，
即当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
综上：当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）若时，都有，
即，恒成立.
令，则，，
令，所以，
当时，
，单调递增，，
所以，在单调递减，
所以=，所以
（3）原式可整理为，
令，原式为，
由（1）知，在单调递增，在单调递减，
则为两根，其中，不妨令，
要证，
即证，，
只需证，
令，，，
令，则，，单调递增，
，，单调递减.
又，
故
，所以恒成立，
即成立，
所以，原式得证.
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若存在，满足，求证：．
【解析】(1).
当时，，所以在上单调增，无极值；
当时，令，得，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在单调递增．
所以函数的极小值为，无极大值.
(2)由题（1）可知，当时才存在，满足，
不妨设，
设，则
，
因为，所以，所以，
所以在上单调递减，
所以，所以，即
故，
因为，又在上单调递增，
所以，所以，
下面证明：；
因为，
所以，所以，
所以，得证.
例10．（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知函数，．
(1)讨论极值点的个数．
(2)若有两个极值点，，且，证明：．
【解析】(1)因为，
所以．
令，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以．
当时，，即，则在上单调递减，无极值点．
当时，，因为，，，
所以，，，即，
故有2个极值点；
综上，当时，无极值点．当时，有2个极值点；
(2)证明：令，，
则．
令，
则．
因为，所以，所以．
因为，所以，
所以，故在上单调递增，则，即，
所以在上单调递减，则．
因为，所以．
要证，只需证．
因为，，，在上是增函数，
所以只需要证，即．
由，
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故．
又，
所以，故．得证．
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)已知，且，若，求证：.
【解析】(1)，令，则，
∴在单调递增，
注意到
∴当时，，此时，单调递减，当时，，此时，单调递增
∴在单调递减，在单调递增
(2)等价于，等式两边同除以得：
，即
由（1）知：在单调递减，在单调递增
∴，一正一负，不妨设
构造新函数，则
∴
令，则
当时，显然恒成立，所以
又对恒成立，
所以在时，，即单调递减
∵
∴，即
∵
∴
其中，，且在单调递减
∴，即
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立．
(1)求实数的取值范围；
(2)若正实数、满足，证明：．
【解析】（1）根据题意，可知的定义域为，
而，
当时，，，
为单调递增函数，
当时，成立；
当时，存在大于1的实数，使得，
当时，成立，
在区间上单调递减，
当时，；
不可能成立，
所以，即的取值范围为.
（2）证明：不妨设，
正实数、满足，
有（1）可知，，
又为单调递增函数，
所以，
又，
所以只要证明：，
设，则，
可得，
当时，成立，
在区间上单调增函数，
又，
当时，成立，即，
所以不等式成立，
所以.
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的单调区间
(2)若的极值点为，且，证明：.
【解析】(1)的定义域为，，
由，得.
当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)证明：由（1）可知，由的极值点为，得，
所以，.
当时，；当时，，
则函数的大致图象，如图所示；
不妨设，若，
由图象知：， 又，
所以要证，即证，
当时，，.
当时，，
，
=，.
设，，
则，，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，在上单调递增，
则，
所以，即，
又因为n，，且在上单调递增，
所以，即，
则.
综上，.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)证明：在上为增函数；
(2)若，，证明：.
【解析】(1)由题意，，
令，则，令，则，
故在区间上，，为减函数；
在区间上，，为增函数，
∴，
故，故在上为增函数.
(2)由（1）知为增函数，且，故由，，
可得，则.
欲证：，只需证：，即证：，即证：.
令，则，
令，则，
故为增函数，，故为增函数，，
故，则，
∴.
例15．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数.
（1）求的单调区间与极值.
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【解析】（1）的定义域为，.
当时，；当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.
（2）证明：易知，，
即，.
不妨设，，.
（1）可知，，
当时，，
当时，，
设，，
则，
因为，，
所以，在区间上单调递增，
，
所以，
又因为，，所以，
即，故.
例16．（2022·全国·高三专题练习）设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足且，证明：.
【解析】(1)依题意，函数定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，由得，当时，，当时，，
于是得在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
(2)当时，，由(1)知在上单调递增，在上单调递减，
因实数，满足且，于是得，
当时，令，
，即在上单调递增，，，即，
而，于是得，显然，又在上单调递减，
因此，，即，
所以.
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.
【解析】（1），是减函数，是增函数，
所以在单调递减，
∵，
∴时，，单调递增；时，，单调递减.
（2）由题意得，，即
，，
设，，则由得，，且.
不妨设，则即证，
由及的单调性知，.
令，，则
，
∵，∴，，
∴，取，则，
又，则，
又，，且在单调递减，∴，.
下证：.
（i）当时，由得，；
（ii）当时，令，，则
，
记，，则，
又在为减函数，∴，
在单调递减，在单调递增，∴单调递减，从而，在单调递增，
又，，
∴，
又，
从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以，，
又，
，
所以，，
显然，，
所以，，即，
取，则，
又，则，
结合，，以及在单调递增，得到，
从而.
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，且，证明：．
【解析】（1），，
由得，
当时，；当时，
∴在上单调递增，在上单调递减．
（2）∵，且，
∴由（1）知，不妨设．
要证，只需证明，
而，在上单调递减，
故只需证明．
又，∴只需证明．
令函数，
则.
当时，，，故，
∴在上单调递增，
故在上，
∴成立，故成立．
例19．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知函数的极大值点为0，则实数m的值为_________；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____________．
【答案】 1
【解析】，则，则，解得，
此时，，当时，当时，
所以在上的单调递增，在上单调递减，则在处取极大值，符合题意；
令，则
构造函数，则．
因为，所以当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，又，
易知的图象如图所示：
不妨令，
令
∵
∴在上单调递增，即
∵，∴，即
∵，∴
∵在上单调递减，∴
故答案为：1；