新高考数学二轮培优恒成立与有解问题题型练习专题05 与向量有关的恒成立与有解问题（2份，原卷版+解析版）

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【答案】B
【解析】由题意得，则，
当时，恒成立，
所以在上为增函数，
不妨设，则，
因为，
所以等价于，
即，
令，，
所以可知在上为减函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
所以在上为减函数，
所以，所以，
故选：B
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设向量与的夹角为
由，可得，
即，
即关于恒成立
则，即
故向量在方向上投影
故选：A
例3．（2022·浙江·高三专题练习）已知单位向量不共线，且向量满足若对任意实数λ都成立，则向量夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设向量夹角为，设向量与的夹角为，
，
由，得
，
所以，
所以，
所以
所以，
所以对任意实数λ都成立，
即恒成立，
当，即，得，上式恒成立，
当时，即，，
，
所以得，
因为，所以
综上，，
所以向量夹角的最大值是，
故选：B
例4．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍.若存在正实数使得成立，则的值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】A
【解析】如图，连接，设与交于点，过点作于点，过点作与点.
若的面积是的面积的3位，则.
根据相似三角形的性质可知，，
所以，所以
设因为，
所以，所以.
故选：A.
例5．（2022·全国·高三专题练习）设向量，，且与的夹角为，，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【解析】因，，且与的夹角为，则，
，
则，
依题意，在区间上恒成立，而函数在上递增，其最大值为5，因此，，
所以实数的取值范围是.
故选：D
例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知，，若对任意实数，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
即，所以，
所以
因为对任意实数，恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以只需，因为，所以解得.
故选：D.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，，，得，
又对于任意实数，不等式恒成立，
即对于任意实数，不等式恒成立，
即对于任意实数，不等式恒成立，
即△，解得：或，
故选：B.
例8．（2022·浙江·高三专题练习）已知，，，若对任意实数，（）恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，，
，
对任意实数，，
对任意的实数，，
对任意的实数，恒成立，
，解得或，
因为，所以
实数的范围为：．
故选：．
例9．（2022·上海·高三专题练习）已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，
因为在线段上，所以且．
不等式恒成立，即，
，当且仅当时等号成立，此时，所以的最小值不，
所以．
故选：A．
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，且对任意，恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由得
，
即对任意恒成立，
所以，，
所以，
所以A错误；
由得，
由，所以B错误；
由，得，所以C正确；
由，所以D错误.
故选：C.
例11．（2022·上海·高三专题练习）在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍，若存在正实数使得成立,则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，如图，连接AC、BD，设AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC与点E，过点D作DF⊥AC与点F，
若△ACB面积是△ADC面积的3倍，即3DF＝BE，
根据相似三角形的性质可知，3，
∴3（）＝，
∴，
设＝，
∵＝，
∴
∴＝10，
∴
当且仅当且＝10，即x＝时取等号
故答案为：．
例12．（2022·全国·高三专题练习）过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心B．重心C．外心D．内心
【答案】B
【解析】本题采用特殊位置法较为简单.
因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.
如图：
则有直线AM经过BC的中点，
同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，
所以点是的重心，
故选B.
例13．（2022·全国·高三专题练习）如图，梯形中，，，，,和分别为与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】以DC所在直线为x轴，DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则梯形的高为,∴A(−1,2),B(1,2),C(2,0),D(−2,0),∴.
1)当P在DC上时,设P(x,0)(−2⩽x⩽2),则.
于是，
∴当时,方程有一解,当时，λ有两解；
(2)当P在AB上时,设P(x,2)(−1⩽x⩽1),则.
∴，
∴当时,方程有一解,当时，λ有两解；
(3)当P在AD上时，直线AD方程为y=2x+4，
设P(x,2x+4)(−2