新高考数学二轮培优恒成立与有解问题题型练习专题10 与切线有关的恒成立与有解问题（2份，原卷版+解析版）

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C．D．
【答案】D
【解析】在上恒成立，等价于的图像恒在
直线的上方，画出的
图像：
直线恒过定点，当直线
与，相切时，设切点，求导
得，可得，由，
解得，则切线的斜率为2.当直线与
，相切时，直线与半圆
相切，由，解得，
由图可知，的取值范围是.故A，B，C错误.
故选：D.
例2．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））已知函数在处的切线方程为，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．e
【答案】A
【解析】，
因为函数在处的切线方程为，
所以，解得，
所以，
则，
令，
则，
所以函数在上递增，
又，
则存在，使得，
即存在，使得，
则，故，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
又因为不等式恒成立，
所以，
所以的最大值为1.
故选：A.
例3．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））对于函数的图象上不同的两点，，记这两点处的切线的斜率分别为和，定义（为线段的长度）为曲线上A，B两点间的“弯曲度”.下列命题中真命题是（ ）
①若函数图象上A，B两点的横坐标分别为1和2，则；
②存在这样的函数，其图象上任意两点间的“弯曲度”为常数；
③设A，B是抛物线上不同的两点，则；
④设指数曲线上不同的两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是.
A．②④B．①②C．②③D．③④
【答案】C
【解析】由得，，，则，所以①错；
常值函数的“弯曲度”为零（常数），所以②正确；
由得，，则，所以③正确；
④，则，，则
由及可得而，∴，故④错误，
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，
将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小．
而，令，则，可得，
此时，Q到直线的距离，故，
所以．
故选：B
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】设切点为，因为，所以，
解得， ，即，
对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，当且仅当，时，等号成立，故B不正确；
对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，由可知D正确.
故选：ACD
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】设切点为，
因为，所以，得，
所以，所以，
对于 A，，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，，
所以 ，当且仅当，又，即时，等号成立.
故选：BCD
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】画出函数的图像，如图所示：
关于的不等式在上恒成立，等价于函数的图像恒在直线的图像的下方，
又直线恒过定点
当直线与相切时，设切点，
求导，可得，
解得：，则直线斜率为，即
当直线与相切时，此时由
整理得：，
令，解得或（舍去）
所以由图像可知，实数的取值范围是
故答案为：
例8．（2022·四川·树德中学高三开学考试（理））已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的可能取值为___________.
【答案】
【解析】因为，
则看成点到点的距离的平方，
其中点在函数上，点在直线上，
由，得，令，则，，
设，所以函数在点处的切线与直线平行，
所以点到直线的距离，即点到点的距离的最小值，
点到直线的距离为，
所以，
过点且垂直直线的直线方程为，由，得，
当且仅当，即时，，
所以.
所以实数的所有可能取值为，
故答案为：.
例9．（2022·全国·高三专题练习（理））定义在上的函数，若不等式恒成立，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
根据题意的图像在图像的上方，
若时，由于对数函数图像的性质，
当时必有，
故，当直线和的函数图像在原点相切时为临界值点，
，此时，
所以，
故答案为：.
例10．（2022·天津市宝坻区第一中学高三阶段练习）已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则实数的取值范围为 ____________.
【答案】
【解析】，由题意，，
，不等式为，时不等式显然成立．
时，设，，
当时，，时，，
在和上递减，在上递增．
时，，所以，，
时，，显然，所以，，
综上．
故答案为：．
例11．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】令，则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
又，则，
当时，若直线与相切时，设切点为，则，解得，
又，所以，
解得此时纵截距为，
故当纵截距时，可以使恒成立，即；
当时，若直线与相切时，设切点为，则，解得，
又，所以，
解得此时纵截距为，
故当纵截距时，可以使恒成立，即；
由已知对，都有，需.
故答案为：.
例12．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数的最大值是_______.
【答案】
【解析】∵，∴，∴，又点在直线上，∴，
∴，，设，则，
当时，，∴在上单调递增，∴，
∴在上单调递增，，解得或，∴的最大值为.
故答案为：.
例13．（2022·福建省泰宁第一中学高三阶段练习（理））设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值是________．
【答案】
【解析】函数可以看作是动点与动点之间距离的平方.
则动点在函数的图象上，在直线上，
因为，，令，解得.
所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离
则.
因为存在使得成立，所以存在使得成立.
所以，即
故答案为：
例14．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知定义在上的函数满足且，若恒成立，则的取值范围为_______________．
【答案】
【解析】＞0，
∴为增函数，
，
∴存在唯一一个常数，使得，
∴，即，
令可得，
∴，
故而，
∵恒成立，即恒成立．
∴y=ex的函数图象在直线上方，
不妨设直线与的图象相切，切点为（x0，y0），
则，解得 , ．
如图，
∴当,即时，y=ex的函数图象在直线上方，
即恒成立，
故答案为：
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ex－a.
(1)若函数f(x)的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；
(2)若f(x)－lnx>0恒成立，求整数a的最大值．
【解析】（1）(x)＝ex，因为函数f(x)的图象与直线y＝x－1相切，
所以令(x)＝1，即ex＝1，得x＝0，即f(0)＝－1，解得a＝2.
（2）现证明ex≥x＋1，设F(x)＝ex－x－1，则(x)＝ex－1，令(x)＝0，则x＝0，
当x∈(0，＋∞)时，(x)>0，当x∈(－∞，0)时，(x)lnx，
当a≤2时，lnx0恒成立．
当a≥3时，存在x=1，使e－alnx不恒成立．
综上，整数a的最大值为2.
例16．（2022·全国·高三专题练习）设函数．
(1)当时，恒成立，求b的范围；
(2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值．
【解析】（1）由，当时，得．
当时，，所以，即在上单调递增，所以，由恒成立，
得，所以，即b的范围是．
（2）由得，且．
由题意得，所以，
又在切线上．
所以，所以，即．
因为，所以有．
令，则等价于，即，从而．
设，则．
易知在上单调递增，且．
所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的使得，
即，则．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
从而．
而在上是减函数，所以．
因此的最小值．
从而整数m的最大值是2．
例17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数与在公共点处有相同的切线．
(1)求a，b的值；
(2)当时．恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】（1）函数，，求导得：，．
因函数与在公共点处有相同的切线，
则有，且，即，且，解得，，
所以，.
（2）由（1）知，，，，
令，，而在上单调递增，且值域为，
当，即时，恒大于等于零，在上单调递增，则恒成立，
当，即时，，使得，当时，，当时，，
于是得在单调递减，在上单调递增，当时，，不符合题意，
综上得：，
所以实数k的取值范围是.
例18．（2022·天津市红桥区教师发展中心高三期中（理））已知函数，其中.
(1)若函数在上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当时，）；
(2)令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；
(3)讨论并求出函数在区间上的最大值.
【解析】(1)
当时，，当时，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在上有极大值
所以，解得
(2)，，于是有在上恒成立
所以，当时，取最大值，所以
(3)因为，
①若，即，则当时，有，
所以函数在上单调递增，则.
②若，即，则函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以.
③若，即，则当时，有，
函数在上单调递减，则.
综上得，
当时，；
当时，；
当时，.
例19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数， ．
(1)证明： ，直线都不是曲线的切线；
(2)若，使恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)由题意可知，的定义域为，
由，得，
直线过定点，
若直线与曲线相切于点，则
，即
设，则，
所以在上单调递增，又，
从而当且仅当时，成立，这与矛盾.
所以，，直线都不是曲线的切线.
(2)由，得，
，
若，使恒成立转化为，即可.
令，，则，
令，，则，
所以在上是单调递减；
所以，故
在上是单调递减；
当时，取得最大值为，即.
所以实数的取值范围为
例20．（2022·湖北省天门中学模拟预测）若对任意的恒成立，当时，的最小值为_________；当取最小值时，＝_________．
【答案】
【解析】当时，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，所以的最小值为.
令，令，可得，
要使得最小，则最大，
设直线与相切的切点坐标为，
要使得直线在轴上的截距最大，则，
又由，可得，
则切线方程为，令，可得，即，
所以.
故答案为：；.