（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题11 对数（九大题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：对数的定义
题型二：指数式与对数式互化及其应用
题型三：利用对数恒等式化简求值
题型四：积、商、幂的对数
题型五：一类与对数有关方程的求解问题
题型六：对数运算法则的应用
题型七：换底公式的运用
题型八：由已知对数求解未知对数式
题型九：证明常见的对数恒等式
【知识点梳理】
知识点一、对数概念
1、对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．
知识点诠释：
对数式中各字母的取值范围是：且，，．
2、对数（且）具有下列性质：
（1）0和负数没有对数，即；
（2）1的对数为0，即；
（3）底的对数等于1，即．
3、两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．
4、对数式与指数式的关系
由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．
知识点二、对数的运算法则
已知，（且，、）
（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
知识点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：
，
，
．
知识点三、对数公式
1、对数恒等式：
2、换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：
（1）
令，则有，，即，即，即：．
（2），令，则有，则有
即，即，即
当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．
【典例例题】
题型一：对数的定义
例1．（2023·高一课时练习）有下列说法：
①以10为底的对数叫作常用对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以e为底的对数叫作自然对数；
④零和负数没有对数.
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，
只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误，
故选：C
例2．（2023·高一课时练习）给出下列说法:
①零和负数没有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以10为底的对数叫作常用对数;
④以为底的对数叫作自然对数.
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】零和负数没有对数，命题①正确；
，不能写成对数式，命题②错误，；
以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确；
以为底的对数叫作自然对数，命题④正确；
故正确命题是①③④，
故选：C.
例3．（2023·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）已知，则x的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】∵，则.
故选：D.
变式1．（2023·高一单元测试）已知对数式有意义，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由有意义可知，解得且，
所以a的取值范围为.
故选：B
题型二：指数式与对数式互化及其应用
例4．（2023·高一课时练习）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【解析】根据指数式与对数式互化可知：
对于选项A：等价于，故A正确；
对于选项B：等价于，故B正确；
对于选项C：等价于，故C错误；
对于选项D：等价于，故D正确；
故选：C.
例5．（2023·全国·高一专题练习）下列对数式中，与指数式等价的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，等价于，A错误；
对于B，等价于，B错误；
对于C，等价于，C正确；
对于D，等价于，D错误.
故选：C.
例6．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解析】（1）因为，所以有：.
（2）因为，所以有：.
（3）因为，所以有：.
（4）因为，所以有：.
（5）因为，所以有：.
（6）因为，所以有：.
变式2．（2023·高一课前预习）将下列指数式与对数式互化：
(1);
(2)；
(3);
(4)（且，）．
【解析】(1)由已知等式，两边取对得：，即.
(2)由已知等式，两边取对得：，即.
(3)由已知等式，可得：，即32＝9.
(4)由已知等式，可得：，即.
变式3．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式互化：
(1);
(2)；
(3);
(4).
【解析】（1）由已知等式，可得：，即.
（2）由已知等式，可得：，即.
（3）由已知等式，两边取对：，可得.
（4）由已知等式，两边取对：，可得.
变式4．（2023·全国·高一专题练习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值．
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）由，得，∴；
（2）由，得，且；
（3）由，得，∴，.∵，∴或．
题型三：利用对数恒等式化简求值
例7．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
故选：C
例8．（2022·全国·高一专题练习）计算
(1)
(2)
【解析】（1）;
（2）.
例9．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：＝________．
【答案】2
【解析】.
故答案为：2．
变式5．（2022·贵州·遵义四中高一期末）______．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
题型四：积、商、幂的对数
例10．（2023·高一课时练习）计算：lg43×=____．
【答案】/
【解析】原式.
故答案为：
例11．（2023·高一课时练习）计算：____．
【答案】/
【解析】原式
.
故答案为：.
例12．（2023·辽宁大连·高一阶段练习）计算：______．
【答案】9
【解析】原式.
故答案为：9
变式6．（2023·湖北十堰·高一校联考阶段练习）__________．
【答案】6
【解析】.
故答案为：6.
变式7．（2023·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）计算结果是_．
【答案】4
【解析】因为，，，
，
所以．
故答案为：.
题型五：一类与对数有关方程的求解问题
例13．（2023·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）方程的解为___________.
【答案】或
【解析】令，
则方程化为，
解得或，
即或，
故答案为：或.
例14．（2023·上海虹口·高一上外附中校考期中）设、是关于x的方程的两个实数根,则_______．
【答案】
【解析】解:由题知的两个实数根是、,
根据韦达定理有,
即,
即,
.
故答案为:
例15．（2023·广东惠州·高一惠州一中校考期中）记，则关于的方程的解集为_________.
【答案】
【解析】因为
，
所以方程可化为，
令，则可化为，解得或（舍去），
所以，故，
所以方程的解集为.
故答案为：.
变式8．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知是方程的两个根，则的值是__________．
【答案】2
【解析】因为是方程的两个根，根据韦达定理得 所以代入得=2
故答案为：2.
变式9．（2023·云南红河·高一统考期末）方程的解是_________．
【答案】
【解析】由对数的运算性质，可得，可得，解得．
故答案为：.
变式10．（2023·上海·高一专题练习）方程的解为 __________ .
【答案】
【解析】由，得，所以，又因为且，所以；
故答案为：.
题型六：对数运算法则的应用
例16．（2022·全国·高一专题练习）______．（用数字作答）
【答案】1
【解析】
.
故答案为：1
例17．（2022·全国·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）方法一：（直接运算）原式．
方法二：（拆项后运算）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
例18．（2022·全国·高一课时练习）(1)；
(2)．
【解析】解:(1)原式
．
(2)原式
．
变式11．（2022·全国·高一专题练习）求值
【解析】原式
.
变式12．（2022·广西·兴安县第二中学高一期中） 计算下列各式的值：
(1)
(2)
【解析】（1）;
（2）.
题型七：换底公式的运用
例19．（2023·高一课时练习）若， ，则____．
【答案】2
【解析】由可得，
由可得，即，
故，
故答案为：2
例20．（2023·河北衡水·高一校考开学考试）已知，则__________.
【答案】2
【解析】由题意： ，
；
故答案为：2.
例21．（2023·上海徐汇·高一统考期末）已知（a为常数，且，），则________．（用a表示）
【答案】
【解析】因为，
所以，
则，
所以，
故答案为：
变式13．（2023·陕西渭南·高一统考期末）=______.
【答案】7
【解析】
.
故答案为：7
变式14．（2023·河北唐山·高一校考阶段练习）________．
【答案】1
【解析】由题得.
故答案为：1
变式15．（2023·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）若，则的值为___________.
【答案】/
【解析】因为，所以，
所以.
故答案为：.
变式16．（2023·广西桂林·高一统考期末）_________.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
题型八：由已知对数求解未知对数式
例22．（2023·全国·高一专题练习）已知，，那么用含a、b的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由换底公式，.
故选：B.
例23．（2023·高一单元测试）已知 ，，则 （用 ， 表示）等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，，
则
故选 ：D
例24．（2023·高一课时练习）已知，，则（ ）（结果用，表示）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
将已知代入得：．
故选：A．
变式17．（2023·上海·高一专题练习）设，则用表示（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，所以
故选：B
变式18．（2023·高一课时练习）若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示lg75等于（ ）
A．a＋bB．a－bC． D．
【答案】D
【解析】由换底公式得lg75＝.
故选：D
变式19．（2023·上海·高一专题练习）已知，，则可以用、表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
∴．
故选：B．
变式20．（2023·高一课时练习）已知，则可表示为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
所以，故选C.
题型九：证明常见的对数恒等式
例25．（2023·广西崇左·高一校考阶段练习）求满足下列条件的各式的值
(1)若，求的值；
(2)设，求证：.
【解析】（1），
，
，
（2）证明：设，
则，，.
所以，，.
所以，
所以.
例26．（2023·高一课时练习）已知，求证：.
【解析】设()，
则，，，
故.
例27．（2023·江苏·高一专题练习）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：
（1）；
（2）（，，）.
【解析】证明：（1）因为a，b均为不等于1的正数，
所以左边右边，
所以，
（2）因为a，b均为不等于1的正数，，，
所以左边右边，
所以（，，）
变式21．（2023·高一课时练习）已知a，b，c均为正数，且，求证：；
【解析】设，则.
∴，
∴，
而，
∴，得证.
变式22．（2023·江苏苏州·高一吴县中学校考阶段练习）已知a，b，c满足.
（1）当时，试讨论a､b､c三个数的大小关系；
（2）当a，b，c均为正数，求证：.
【解析】（1）设，可得，其中，
在同一坐标系中，分别作出和的图象，
当时，如图图（1）所示，可得；
当时，如图图（2）所示，可得；
当时，如图图（3）所示，可得.
（2）设，可得，其中，
可得，，
所以.
变式23．（2023·高一单元测试）设，且，求证：
【解析】设，，则，，.
因为，所以，
即.
所以，即.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江西九江·高一校考阶段练习）已知且，下列式子中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】若且，
对A、C、D：根据指数的运算可得：，，，A错误，C、D正确；
对B：根据对数的定义可得：，B正确.
故选：A．
2．（2023·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量.当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（ ）
A．30B．60C．80D．100
【答案】C
【解析】因为，将代入，则，
则，所以，所以，
故选：.
3．（2023·湖南衡阳·高一统考期末）的值为（ ）
A．10B．C．1D．不能确定
【答案】A
【解析】令，两边取常用对数，得，解得，
故选：A.
4．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）设都是正数，且，则下列等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为都是正数，设，则，
即有，显然，
所以，即，A正确；
，B不正确；
，C不正确；
，D不正确.
故选：A
5．（2023·天津河西·高一校考期末）若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】因为，则，，同理，
所以.
故选：A
6．（2023·全国·高一假期作业）已知且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
又
所以，则.
故选：A.
7．（2023·河北邢台·高一邢台一中校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
故.
故选：A
8．（2023·高一课时练习）设，那么m等于（ ）
A．B．9C．18D．27
【答案】B
【解析】,
，，
故选：B.
二、多选题
9．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，若，则，
故，C正确；
对于D，若，则，
则，D正确，
故选：BCD
10．（2023·山东青岛·高一统考开学考试）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对A：，A正确；
对B：，B错误；
对C：，C正确；
对D：，D正确.
故选：ACD.
11．（2023·高一单元测试）若，则下列各式中，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】对于A：当，时，等式右边无意义，A错；
对于B：当，时，等式右边无意义，B错；
对于C：，C正确；
对于D：，D正确.
故选：CD．
12．（2023·江西上饶·高一校联考阶段练习）已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】CD
【解析】因为，所以，
故，
设，则，
故，解得：或2，
当时，，故，，故；
当时，，故，，故
故选：CD
三、填空题
13．（2023·浙江·高一校联考期中）计算：______.
【答案】5
【解析】.
故答案为：5.
14．（2023·上海金山·高一统考阶段练习）已知，用m表示为__________．
【答案】/
【解析】∵，则，
∴.
故答案为：.
15．（2023·山东临沂·高一统考期末）已知，则___________.（用 表示）
【答案】/
【解析】因为，所以，
故，
故答案为：
16．（2023·辽宁沈阳·高一统考期末）若，是方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】由是方程的根，则，
所以，即，
又由，是方程的两个根，
所以，即，所以，
所以．
故答案为：
四、解答题
17．（2023·辽宁丹东·高一统考期末）已知实数，满足，．
(1)用表示；
(2)计算的值．
【解析】（1）由题意可知，
所以．
（2）因为，
所以．
18．（2023·高一单元测试）求下列各式的值．
(1) ．
(2)已知 ， ，求的值．
【解析】（1）
；
（2） ..
19．（2023·广东茂名·高一校联考期末）（1）求值：；
（2）若，求的值；
（3）已知，用表示.
【解析】（1）；
（2），，
；
（3），
.
20．（2023·湖北十堰·高一校考阶段练习）化简与求值：
(1)；
(2)．
【解析】（1）原式；
（2）
．
21．（2023·高一课时练习）（1）．
（2）已知，，计算的值．
【解析】（1）原式．
（2）由得：，而，
所以，.
22．（2023·高一课时练习）已知a>0且a≠1，M>0，N>0.
(1)举出一个反例说明不成立；
(2)证明：.
【解析】（1）假设，
则，，
.
因为，
所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）
（2）令，则
，，
所以.