（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题10 指数（六大题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：由根式的意义求范围
题型二：利用根式的性质化简或求值
题型三：有限制条件的根式的化简
题型四：根式与指数幂的互化
题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值
题型六：整体代换法求分数指数幂
【知识点梳理】
知识点一、整数指数幂的概念及运算性质
1、整数指数幂的概念
2、运算法则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
知识点二、根式的概念和运算法则
1、次方根的定义：
若，则称为的次方根．
为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．
为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．
2、两个等式
（1）当且时，；
（2）
知识点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
知识点三、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
知识点四、有理数指数幂的运算
1、有理数指数幂的运算性质
（1）
（2）
（3）
当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．
知识点诠释：
（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如；
（3）幂指数不能随便约分．如．
2、指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．
【典例例题】
题型一：由根式的意义求范围
例1．（2023·高一单元测试）若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因，则有，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
例2．（2023·全国·高一专题练习）若有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．∪
C．D．
【答案】D
【解析】因为，则，解得.
故选：D.
例3．（2023·高一课时练习）若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
可得，即．实数的取值范围是．
故选：．
变式1．（2023·江苏·高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由负分数指数幂的意义可知，，
所以，即，因此的取值范围是．
故选：C.
变式2．（2023·高一课时练习）若有意义，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，且，∴a的取值范围是且．
故选：B．
题型二：利用根式的性质化简或求值
例4．（2023·高一课时练习）（ ）
A．B．
C．D．当为奇数时，；当为偶数时，
【答案】D
【解析】当为奇数时，；
当为偶数时，.
故选：D
例5．（2023·高一课时练习）给出下列4个等式：①；②；③若a∈R，则；④设n∈N*，则，其中正确的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【解析】①中，所以①错误；
②错误；
③因为恒成立，所以有意义且恒等于1，所以③正确；
④若n为奇数，则，若n为偶数，则，
所以当n为偶数时，时不成立，所以④错误．
故选：B．
例6．（2023·高一课时练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，，即，
所以.
故选：B
变式3．（2023·高一课时练习）将根式化为分数指数幂是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根式化为分数指数幂是.
故选：A
变式4．（2023·吉林·高一吉林省实验校考期中）化简：（ ）
A．0B．C．或0D．
【答案】A
【解析】因为 所以，
故，
故选：A
变式5．（2023·高一课时练习）化简（其中）的结果是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】=,选C.
题型三：有限制条件的根式的化简
例7．（2023·全国·高一专题练习）已知实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，
，，
，
.
.
又，，
，.
故选：D
例8．（2023·江苏·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】 ，即 ， ，
.
故选：A .
例9．（2023·高一课时练习）若，则等式成立的条件是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】，，．由 ，得 .
故选C.
变式6．（2023·高一单元测试）等式成立的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】等式成立的条件是，即.
故选：D
变式7．（2023·高一课时练习）若，，则的值为（ ）
A．1B．5C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，，
则，
所以的值为1.
故选：A
变式8．（2023·青海西宁·高一统考期末）若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以.
故选：D
题型四：根式与指数幂的互化
例10．（2023·高一课时练习）化简：= ______．（用分数指数幂表示）.
【答案】
【解析】因为
.
故答案为：.
例11．（2023·上海金山·高一统考阶段练习）将化为有理数指数幂的形式为__________．
【答案】
【解析】由题意可得：.
故答案为：.
例12．（2023·山东济南·高一校考期中）计算：_____（写成分数指数幂的形式）
【答案】
【解析】.
故答案为：.
变式9．（2023·湖南益阳·高一统考期末）计算：__________.
【答案】
【解析】由题知.
故答案为:
变式10．（2023·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）用有理数指数幂的形式表示__________．
【答案】
【解析】，
故答案为：.
变式11．（2023·上海浦东新·高一统考期末）用有理数指数幂的形式表示（其中）____________.
【答案】
【解析】，
故答案为：
题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值
例13．（2023·高一课时练习）___________.
【答案】3
【解析】.
故答案为：3.
例14．（2023·安徽马鞍山·高一安徽工业大学附属中学校考期中）______.
【答案】
【解析】原式.
故答案为：.
例15．（2023·安徽安庆·高一统考期末）已知，则________．
【答案】/
【解析】由已知得．
故答案为：．
变式12．（2023·上海静安·高一校考期中）化简（其中__．
【答案】/
【解析】原式．
故答案为：.
变式13．（2023·高一课时练习）计算的值为__________．
【答案】
【解析】.
故答案为:110.
题型六：整体代换法求分数指数幂
例16．（多选题）（2023·陕西西安·高一统考阶段练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．1D．
【答案】AB
【解析】令
故选：AB
例17．（多选题）（2023·湖北·高一校联考阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】，，因此A正确；
，因此B不正确；
，，解得，因此C正确；
，因此D正确．
故选：ACD．
例18．（多选题）（2023·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】，
；
，
；
故A正确，B错误；
；
，
，
故C正确，D错误．
故选：AC．
变式14．（多选题）（2023·高一单元测试）已知实数满足，下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】，故选项A正确；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
,,故选项D错误．
故选：AC．
变式15．（多选题）（2023·高一课时练习）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】，
，因此A正确；
，因此B不正确；
，，解得，因此C不正确；
，因此D正确．
故选：AD．
变式16．（2023·高一课时练习）已知，则的值为________.
【答案】23
【解析】因为，
所以，
即，
所以.
故答案为：
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于A，，A对；
对于B，，B错；
对于C，，C错；
对于D，，D错.
故选：A
2．（2023·高一课时练习）化简的结果为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
=
=
=
=
=
=
=
故选：B
3．（2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A选项：，，故A错误；
对于B选项：，故B错误；
对于C选项：，故C正确；
对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误.
故选：C
4．（2023·高一单元测试）计算的结果为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【解析】
,
故选：A
5．（2023·北京海淀·高一人大附中校考阶段练习）的值是（ ）
A．105B．33C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：
.
故选：B.
6．（2023·天津河西·高一天津市新华中学校考期末）设，则下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，令，则，，显然A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
7．（2023·广东广州·高一广州市第九十七中学校考阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．18D．24
【答案】D
【解析】，所以，
因为a，b为正数，
所以，
当且仅当时，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
8．（2023·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）已知，下列各式中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】①,正确；
②，正确；
③因为可知，，，
所以，故错误；
④，正确.
故选：C
二、多选题
9．（2023·吉林白山·高一校考阶段练习）已知xy≠0，且，则以下结论错误的是（ ）
A．xy0
C．x>0，y>0D．x