（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题04 命题、定理、定义（四大题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：命题的概念
题型二：命题真假的判断
题型三：命题的结构形式
题型四：根据命题的真假求参数
【知识点梳理】
知识点一：命题
1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题．
2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题．
3、分类
真命题：判断为真的语句
假命题：判断为假的语句
命题的结构：
（1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
（2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
知识点二：定理、定义
在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．
在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的．
【典例例题】
题型一：命题的概念
例1．（2023·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②③⑥D．①③
例2．（2023·高一课时练习）给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例3．（2023·江苏·高一专题练习）下列语句为命题的是（ ）
A．B．你们好！C．下雨了吗？D．对顶角相等
变式1．（2023·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ）
A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思
变式2．（2023·江苏·高一专题练习）下列语句是命题的是（ ）
（1）；（2）画线段；（3）；（4）
A．（1），（2）B．（3），（4）C．（2），（3），（4）D．（1），（2），（3），（4）
变式3．（2023·高一单元测试）下列语句中不是命题的有（ ）
①；②与一条直线相交的两直线平行吗？③；④．
A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④
题型二：命题真假的判断
例4．（2023·高一课时练习）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例5．（2023·广西贺州·高一校考阶段练习）下列命题中假命题的个数是（ ）
（1）有四个实数解
（2）设a，b，c是实数，若二次方程 无实根，则ac≥0
（3）若 ，则x≠2
A．3B．2C．1D．0
例6．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考开学考试）下列命题中，真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
变式4．（2023·江苏连云港·高一统考期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
变式5．（2023·江苏扬州·高一期末）下列命题中的真命题是（ ）
A．B．集合中最小的数是1
C．的解集可表示为D．
题型三：命题的结构形式
例7．（2023·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
（1）6是12和18的公约数；
（2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根；
（3）平行四边形的对角线互相平分．
例8．（2023·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式.
（1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行；
（3）两个无理数的和是无理数；
（4）乘积为正数的两个数同号；
（5）两个奇数的和是偶数；
（6）矩形的四个角相等；
（7）等腰三角形的两个底角相等；
（8）直径所对的圆周角是直角.
例9．（2023·高一课时练习）写出下列命题的条件与结论.
（1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；
（2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；
（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等；
（4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.
变式6．（2023·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式.
（1）绝对值相等的数也相等；
（2）矩形的对角线相等；
（3）角平分线上的点到角两边的距离相等；
（4）两角分别相等的两个三角形相似.
题型四：根据命题的真假求参数
例10．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围．
例11．（2023·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围.
例12．（2023·全国·高一专题练习）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根；
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围；
（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
变式7．（2023·江苏·高一专题练习）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是______________.
变式8．（2023·上海·高一开学考试）若和或都是假命题，则的范围是__________
变式9．（2023·江苏·高一专题练习）若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是_________.
变式10．（2023·高一课时练习）能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为______
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
2．（2023·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）关于的方程，有四个命题：甲：该方程两根之和为；乙：是该方程的根；丙：是该方程的根；丁：该方程两根异号．如果有且只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．（2023·高一课时练习）下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①与0非常接近的全体实数能构成集合；
②表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2023·江苏·高一专题练习）下列命题是假命题的有（ ）
A．若，那么 B．若，那么
C．若，那么 D．若，那么
5．（2023·河南濮阳·高一范县第一中学校考阶段练习）已知集合，，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．（2023·高一课时练习）已知下列命题：①若，则；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形，④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；⑤若，则，其中正确命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（2023·高一单元测试）甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）.
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．乙和丁
8．（2023·重庆万州·高一校考阶段练习）给定下列命题：
①“若，则方程”有实数根
②若，，则
③对角线相等的四边形是矩形
④若，则，中至少有一个为0
其中真命题的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、多选题
9．（2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）下列命题是真命题的为（ ）
A．{x∈N|x3+1=0}不是空集
B．若a0
C．相似三角形的对应角相等
D．若整数m是偶数，则m是合数
10．（2023·江苏·高一专题练习）给出以下四个命题，其中真命题是:（ ）
A．命题“若互为相反数，则”
B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”
C．命题“若，则有实根”
D．命题“若是正整数，则都是正整数”
11．（2023·江苏·高一专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．集合有两个子集
B．若，则
C．集合里面有6个元素
D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为
12．（2023·山东·高一统考期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．，
B．存在一个四边形，其内角和不等于360°
C．，
D．至少有一个实数，使
三、填空题
13．（2023·高一课时练习）下列四个命题，其中真命题是______．（填序号）
①若，则x，y互为相反数； ②面积相等的三角形全等；
③若，则有实数解； ④若，则．
14．（2023·高一课时练习）下列命题：
①如果实系数一元二次方程满足，那么这个方程有实根；
②如果，那么除以的余数是或；
③设，如果是的倍数，那么中至少有一个是的倍数；
④已知a，，若，则.
其中是假命题的序号为___________.
15．（2023·高一课时练习）若a、b、c、d是实数，则下列是真命题的是______.（填所有真命题的序号）
①如果，且，那么；
②若果，那么或；
③如果，那么；
④如果，那么，其中n是正整数.
16．（2023·上海·高一专题练习）判断命题“已知，若是奇数，则是奇数”是真命题还是假命题？___________.
四、解答题
17．（2023·江苏·高一专题练习）判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若，是任意实数，则；
(2)若，是实数且，则；
(3)若，则有两个不相等的实数根；
(4)若有两个不相等的实数根，则实数．
18．（2023·江苏·高一专题练习）判断下列命题的真假，并说明理由.
(1)如果，那么x与y同号或x､y中至少一个为零；
(2)若x，，，，则，.
19．（2023·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”（或“如果p，那么q”）的形式.
（1）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；
（2）对顶角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
20．（2023·江苏扬州·高一期末）在①，，②这两句话中任选一个，补充到本题中第（2）问横线处，求解下列问题．
设全集是实数集R,，，
(1)当时，求、；
(2)已知命题p： ，且p为真命题，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．
21．（2023·高一单元测试）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证:若，，则；
(3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题：若，，则必有；
命题：若，，且，则必有.
22．（2023·江苏·高一专题练习）试探究命题“方程有实数解”为真命题时，，满足的条件．