（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题13 函数的表示方法（九大题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：已知函数类型求解析式
题型二：已知求解析式
题型三：求抽象函数的解析式
题型四：求解析式中的参数值
题型五：函数方程组法求解析式
题型六：求分段函数的值或者解析式
题型七：分段函数性质及应用
题型八：解分段函数不等式
题型九：已知分段函数的值求参数或自变量
【知识点梳理】
知识点一：函数的表示法
1、函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势．
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值．
2、分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
【方法技巧与总结】
函数解析式的求解策略有：
（1）直接法：已知的解析式，求的解析式类型，直接将整体代入中的；
（2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式；
（3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数的解析式求的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令，反解出，然后代入中得到，进而得到的解析式；
（4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个的解析式，最后可以得到的解析式；
（5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含，）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式．
【典例例题】
题型一：已知函数类型求解析式
例1．（2023·全国·高一专题练习）已知一次函数满足，则（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】B
【解析】设，则,
因为，
所以，解得，
所以，.
故选：B.
例2．（2023·吉林·高一吉林毓文中学校考期中）一次函数满足，且，则的解析式为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】由题意，设.
∵，
即，
可得：.
又∵
即
∴，
∴的解析式为．
故选：A．
例3．（2023·贵州黔东南·高一校联考阶段练习）一次函数满足：，则( )
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【解析】设，
，
∴，解得，∴，∴．
故选：C．
变式1．（2023·高一课时练习）已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，
∵，，
∴.
故选：B.
变式2．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足，则（ ）
A．1B．7C．8D．16
【答案】B
【解析】设，
因为，
所以，
化简可得：，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
变式3．（2023·江苏·高一专题练习）已知是一次函数，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】由题意设，则，
∴，解得或，
∴或．
故选：D.
题型二：已知求解析式
例4．（2023·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，
故，
故选：D
例5．（2023·重庆·高一校联考期中）已知，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
令，则，，
所以，，
故，，
故选：C
例6．（2023·江苏常州·高一校考期末）已知函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
令，则，，
所以，
故.
故选：C.
变式4．（2023·广西桂林·高一校考期中）若，且，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】因为,,则
设即
则,即
所以
故选:.
变式5．（2023·安徽合肥·高一合肥市第六中学校考阶段练习）若函数，且，则实数的值为（ ）
A．或B．或3C．D．3
【答案】B
【解析】令，则，
可得：，即，
∵，
∴.
故选：B.
变式6．（2023·吉林·高一吉林省实验校考期中）若，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】已知，
令，则 ，，
，
.
故选：B.
变式7．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，即，则，由，则，
故的解析式为.
故选：C.
变式8．（2023·四川眉山·高一仁寿一中校考期末）已知，则函数的解析式是（ ）
A．B．（且）
C．D．
【答案】B
【解析】由题知且，令，则（且），
∴（且），
∴（且）．
故选：B．
题型三：求抽象函数的解析式
例7．（2023·高一课时练习）若函数满足，写出一个符合要求的解析式_________．
【答案】x(答案不唯一)
【解析】因为函数满足，
所以x，
故答案为：x,答案不唯一
例8．（2023·高一课时练习）是R上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，则的解析式_______
【答案】
【解析】令，代入得，
又，则，
∴，
故答案为：．
例9．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______.
【答案】
【解析】中，令，解得，
令得，故，
不妨设，满足要求.
故答案为：
变式9．（2023·高一课时练习）已知函数，，且，，，…，，，则满足条件的函数的一个解析式为________.
【答案】
【解析】由已知得，，
，
，又，
故答案为：
变式10．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数满足：对于任意的实数，，都有，且，则函数的解析式为_____．
【答案】
【解析】令，则，然后结合条件可得到答案.令，则
所以由可得
因为，所以
故答案为：
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知，对于任意实数、，恒成立，则的解析式为_________.
【答案】
【解析】令，则有，再令，则.
故答案为：.
题型四：求解析式中的参数值
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知：，且，，则_____.
【答案】2
【解析】因为，且，，
所以且，
所以，
所以，
所以，
故答案为：2.
例11．（2023·四川凉山·高一统考期末）若，且，则______．
【答案】1
【解析】设，，
所以，即，
，得.
故答案为：1
例12．（2023·福建厦门·高一统考期末）已知，则______________.
【答案】
【解析】因为，所以，则.
故答案为：.
变式12．（2023·海南省直辖县级单位·高一海南二中校考开学考试）已知，则的值为________
【答案】
【解析】，，.
故答案为：.
变式13．（2023·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考阶段练习）若函数，则__________．
【答案】
【解析】，
令，则，
，
即，
.
故答案为：.
变式14．（2023·福建三明·高一校联考期中）若函数满足，则__________.
【答案】/0.5
【解析】令，则，
所以，即，
所以.
故答案为：.
变式15．（2023·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【解析】令，则；令，则；
由得：.
故答案为：.
题型五：函数方程组法求解析式
例13．（2023·高一课时练习）已知，则______．
【答案】.
【解析】因为 ①，
把换成有：
②，
联立①②式有：，
解得.
故答案为：.
例14．（2023·全国·高一专题练习）若，则______．
【答案】
【解析】由①，
将用代替得②，
由①②得.
故答案为：.
例15．（2023·高一课时练习）设函数是→的函数，满足对一切，都有，则的解析式为______．
【答案】
【解析】由，得，
将和看成两个未知数，可解得，
当时，，解得，
综上，
故答案为：.
变式16．（2023·高一课时练习）已知函数对的一切实数都有，则______．
【答案】/
【解析】，
，
，
，
故答案为：.
变式17．（2023·高一课时练习）若，则______．
【答案】
【解析】由题意，可知．
解得．
故答案为：
变式18．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域为，且，则________．
【答案】
【解析】在中，将x换成，则换成x，
∴，
将该方程代入已知方程消去，得．
故答案为：．
变式19．（2023·高一课时练习）已知函数满足，则__________.
【答案】
【解析】∵，
∴，
联立方程组，可得.
故答案为：
题型六：求分段函数的值或者解析式
例16．（多选题）（2023·贵州遵义·高一统考期末）函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】结合图象可知，当x≤0时，设，将代入函数，
得，，同理，当x>0时，，
所以，即.
故选：AC
例17．（多选题）（2023·山东泰安·高一校考期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．的解集为D．若，则的值是
【答案】BD
【解析】对于A，，A错误；
对于B，当时，；当时，；
的值域为，B正确；
对于C，当时，，解得：；
当时，，解得：；
的解集为，C错误；
对于D，当时，，解得：（舍）；
当时，，解得：（舍）或；
的解为，D正确.
故选：BD.
例18．（多选题）（2023·广西·高一校联考阶段练习）(多选)已知函数 则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．的值域为
B．
C．若，则的值是
D．的解集为
【答案】AC
【解析】当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，由，解得(舍去)，当时，由，解得或(舍去)，故C正确；
当时，由，解得，当时，由，解得，因此的解集为，故D错误.
故选：AC.
变式20．（多选题）（2023·湖南衡阳·高一衡阳市田家炳实验中学校考期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的值域为B．
C．若，则x的值为D．的解集为
【答案】ABC
【解析】，B正确；
时，，时，，，
所以，即值域为，A正确；
时，，不合题意，舍去，时，，（舍去），所以，C正确 ；
当时，，，所以，
时，，，
综上，的解集为或，D错．
故选：ABC．
变式21．（多选题）（2023·宁夏中卫·高一中宁一中校考阶段练习）如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的定义域为
C．的值域为D．若，则或2
【答案】CD
【解析】由图像值，故A错误；
函数的定义域为，，故B错误；
函数的值域为，，故C正确；
若，则或2，故正确
故选：．
题型七：分段函数性质及应用
例19．（2023·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知函数则方程的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，，故，解得或（舍去）；
当时，，故，解得或（舍去）.
综上所述：或.
故选：B
例20．（2023·江西赣州·高一校联考阶段练习）对，，记，则函数（ ）
A．有最大值，无最小值B．有最大值，无最小值
C．有最小值，无最大值D．有最小值，无最大值
【答案】C
【解析】函数是
函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值；
作函数与函数的图象如下，
，
由图象可知，令得，或；
故当时，的最小值为；
故有最小值，但没有最大值．
故选：C
例21．（2023·四川内江·高一校考期中）若，是，这两个函数中的较小者，则（ ）
A．最大值为2B．最大值为C．最小值为D．无最小值
【答案】BD
【解析】如图，作出函数和函数的图象，联立易得，，
根据图象易知，所以函数在处取得最大值，无最小值.
故选：BD.
变式22．（2023·江西吉安·高一阶段练习）已知实数，函数，若，则实数的值为
A．8B．C． 或8D．8或
【答案】C
【解析】当时，，所以，，由得；当时，，所以，，由得，故选C.
考点：分段函数的表示.
题型八：解分段函数不等式
例22．（2023·河南南阳·高一统考阶段练习）设函数,则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，解得或，
所以或；
当时，，解得，
所以；
综上，满足的的取值范围是.
故选：D.
例23．（2023·天津滨海新·高一校考期中）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，的取值范围是，，．
故选：D．
例24．（2023·高一课时练习）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，，则可化为，解得，又，所以．
当时，，则可化为，解得，又，所以．综上，．
故选B．
变式23．（2023·天津和平·高一耀华中学校考期中）设函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，，即，解得，
故；
当时，，即，解得，故.
综上所述：.
故选：B.
变式24．（2023·吉林长春·高一校考期中）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】时，由解得，
时，由解得，
综上不等式的解为或．
所以
故选：A．
变式25．（2023·高一单元测试）设函数若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，解得：或（舍）
当时，，解得：，
综上所述：的取值范围是，
故选：A.
变式26．（2023·江苏淮安·高一江苏省洪泽中学校联考期中）已知，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，
当时，，
故由得，解得，故；
当时，，
故由得，
整理得，解得，故；
当时，，
故由得，解得，故；
综上：，即的解集为.
故选：B.
变式27．（2023·河北石家庄·高一正定中学校考阶段练习）已知，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数，当时，，不等式化为：恒成立，则，
当时，，不等式化为：恒成立，则，
当时，，不等式化为：，解得，则，
所以的取值范围是.
故选：C
变式28．（2023·福建泉州·高一校联考期中）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，在上单调递增，不等式有意义则,解得,
当，，
解得，又因为所以.
故选：B
变式29．（2023·北京·高一清华附中朝阳学校校考期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】原不等式等价于或，解得，
故选：C
题型九：已知分段函数的值求参数或自变量
例25．（2023·江苏苏州·高一统考期中）已知函数，若，则实数的值是（ ）
A．或5B．3或C．5D．3或或5
【答案】A
【解析】若，则，∴（舍去），
若，则，∴，
综上可得，或.
故选：A．
例26．（2023·新疆·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）已知函数，若，则值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】因为.
当时，，解，可得或（舍去；
当时，，解，可得.
综上所述，或.
故选：C．
例27．（2023·全国·高一专题练习）设函数，若，则实数（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】由题可知：
①，则
②
所以
故选：C
变式30．（2023·江西赣州·高一统考期末）已知函数，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【解析】当时，，则，
当时，，解得，
综上.
故选：B.
变式31．（2023·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知，若，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．0或2
【答案】D
【解析】当时，由，解得；
当时，由，解得；
则的值是或0.
故选：D.
变式32．（2023·广东广州·高一校考期末）已知函数且，则x的值是（ ）
A．1B．C．1或D．2或1
【答案】C
【解析】当时，，解得；
当时，，解得；
所以x的值是1或，
故选：C.
变式33．（2023·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）设函数，若，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．或1
【答案】C
【解析】由题意知，；
当时，有，解得（舍去）；
当时，有，解得（舍去）或.
所以实数的值是：.
故选：C.
变式34．（2023·甘肃兰州·高一西北师大附中校考期中）设函数，若，则实数的值为（ ）
A．B．或4C．D．或4
【答案】B
【解析】当时，由，
解得（舍）或；
当时，由，
解得．
则实数的值为或4
故选：B
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·天津和平·高一耀华中学校考期中）设函数，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数，
，
．
故选：．
2．（2023·安徽黄山·高一屯溪一中校考开学考试）已知边长为1的正方形ABCD中，E为CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动．设点经过的路程为．的面积为．则与的函数图象大致为图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当动点P在正方形ABCD边上沿运动时，
则的面积为；
当动点P在正方形ABCD边上沿运动时，
则的面积为；
当动点P在正方形ABCD边上沿运动时，
则的面积为；
综上所述：，可知B、C、D错误，A正确.
故选：A.
3．（2023·高一课时练习）已知是边长为1的正三角形，点P在AC边上运动，记，则的面积可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】是边长为1的正三角形，记，则，
过点作交于点，所以，
则的面积.
故选：B.

4．（2023·高一单元测试）若，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】对于函数，因为，，
则对称轴为，，且，
所以函数开口向下，对称轴在轴右侧，与轴有两个交点，且交轴负半轴，
故函数经过一、三、四象限，不经过第二象限.
故选：B
5．（2023·高一单元测试）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，可得①，
又②，①＋②得：，解得，
故选：A．
6．（2023·江苏苏州·高一统考期中）已知函数，若，则实数的值是（ ）
A．或5B．3或C．5D．3或或5
【答案】A
【解析】若，则，∴（舍去），
若，则，∴，
综上可得，或.
故选：A．
7．（2023·天津和平·高一耀华中学校考期中）设函数，则的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当,即，时,或,
,
因为，所以，
因此这个区间的值域为.
当时,即，得,
其最小值为，
其最大值为，
因此这区间的值域为.
综上，函数值域为:.
故选：D
8．（2023·广西柳州·高一统考期中）已知，则函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令由于，则，
所以，，得；
所以，函数的解析式为；
故选：B.
二、多选题
9．（2023·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列函数中，满足的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确.
故选：ACD
10．（2023·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）已知函数，则能使不等式成立的实数的值可能是（ ）
A．B．4C．6D．9
【答案】CD
【解析】
根据已知，可得的图像，所以，单调递减，则，可得，解得
故选：CD
11．（2023·浙江宁波·高一效实中学校考期中）设，则下列选项中正确的有（ ）
A．与的图象有两个交点，则
B．与的图象有三个交点，则
C．的解集是
D．的解集是
【答案】ABC
【解析】函数图象图所示：
由图可知，若与有两个交点，则，故A正确；
若与有三个交点，则，故B正确；
若，则，故C正确；
若，则，
则，故D错误.
故选:ABC.
12．（2023·吉林松原·高一校考期末）已知函数，若，则实数a的值为（ ）
A．B．C．2D．8
【答案】AC
【解析】函数，而，
当时，，解得，满足条件，即有，
当时，，解得，显然不满足条件，则有，
所以实数a的值为或2.
故选：AC
三、填空题
13．（2023·高一课时练习）已知函数，则__________．
【答案】4
【解析】因为，
所以，
故答案为：4．
14．（2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习）函数满足，则_________.
【答案】
【解析】由题意，建立，消去可得：，
整理可得，则.
故答案为：.
15．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为，则常数______．
【答案】7或
【解析】因为，所以，
，即，
因为函数的值域为，
所以是方程的两个根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案为：7或.
16．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，则________.
【答案】/
【解析】当时，即当时，由于函数在上单调递减，则；
当时，即当时，
由可得，整理可得，解得或（舍）；
当时，即当时，函数在上单调递减，则.
综上所述，.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·高一单元测试）用分段函数表示，并作出其图象，指出函数的定义域与值域．
【解析】，图象如图所示，

函数的定义域为，值域为．
18．（2023·高一课时练习）已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如
(1)将的解析式写成分段函数的形式;
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象;
(3)根据图象写出函数的值域.
【解析】（1）当时，所以
当时，，所以
当时，，所以.
综上，
（2）函数的图象如图所示.
（3）由图象，得函数的值域为.
19．（2023·山东青岛·高一校考阶段练习）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
（2）若对任意实数x，均有，求的解析式．
【解析】（1）因为是一次函数，所以设，，
又因为，
所以，整理得，
故，解得，
所以.
（2）因为①，
所以②，
由①②得：，
解得：.
20．（2023·湖南郴州·高一校考阶段练习）求下列函数的解析式
(1)若，求的表达式．
(2)已知，求的表达式．
【解析】（1）令，当时，则，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当时取等号，
所以，或，
且，所以，，其中或，
因此，（或）.
（2）由已知条件可得，解得.
21．（2023·高一课时练习）已知函数,（）.
(1)分别计算， 的值.
(2)由（1）你发现了什么结论?并加以证明.
(3)利用（2）中的结论计算的值.
【解析】（1）由题意得，
.
（2）由（1），得结论.
证明如下:
.
（3）由，可得，
故
.
22．（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）已知和是定义域为的二次函数，函数图象过点，，且，，
(1)求的解析式
(2)，用表示中较大者，记为，
①求
②写出的函数解析式，并指出的最小值（不用写理由）
【解析】（1）设，
因为函数图象过点，，
，，
可知对称轴为，则，
解得，所以.
（2）①由（1）可知，
当时，即，解得或；
当时，即，解得；
所以，
所以.
②由①可得，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述：的最小值是.