（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题08 基本不等式（六大题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：对基本不等式的理解及简单应用
题型二：利用基本不等式比较大小
题型三：利用基本不等式证明不等式
题型四：利用基本不等式求最值
（1）直接法求最值
（2）常规凑配法求最值
（3）消参法求最值
（4）换元求最值
（5）“1”的代换求最值
（6）条件等式求最值
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
【知识点梳理】
知识点一：基本不等式
1、对公式及的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．
2、由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：．
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形．
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，．
所以，（当且仅当时取等号“=”）．
知识点诠释：
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：
如果，，，（当且仅当时取等号“=”）．
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．
易证，那么，即．
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．
知识点诠释：
1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
【典例例题】
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
例1．（2023·福建宁德·高一福建省宁德第一中学校考阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明；如图所示图形，点、在圆上，点在直径上，且，，于点，设，，该图形完成的无字证明.则图中表示，的调和平均数、平方平均数的线段分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【解析】由图形可知：，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
因为，
所以，
则，即，
所以图中表示，的调和平均数、平方平均数的线段分别是，，
故选：C
例2．（2023·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（ ）
①已知，则成立；
②已知且，则成立；
③已知，则的最小值为2；
④已知，，则成立．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】当时，①中的不等式是错误的，①错；
因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对；
（当时，无解，等号不成立），故③错；
因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对．
故选: B．
例3．（2023·上海普陀·高一校考期中）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.
变式1．（2023·北京丰台·高一北京市第十二中学校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，的最小值是
C．当时，D．当时，的最小值为1
【答案】C
【解析】对于A，当时，，故A错误，
对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误，
对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确，
对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误，
故选：C
题型二：利用基本不等式比较大小
例4．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若实数满足，则称x比y远离m．
(1)解不等式
(2)若比远离，求实数x的取值范围；
(3)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由．
【解析】（1）令，即有，所以x比3远离0，
从数轴上可得x的取值范围是；
（2）由x比远离1，则，即，
∴或，解得或，
∴的取值范围是；
（3）因为，有，
因为，所以，
从而，
①当时，
，即；
②当时，
，
又，则，
∴，即，
综上，，即比x更远离m．
例5．（2023·全国·高一专题练习）若 ，且 ，试找出2，2ab中的最大者．
【解析】∵ ，且，
∴ , ，
∴四个数中最大者应从 中选择．
而 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 最大.
例6．（2023·高一课时练习）某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价，第二次提价；
方案乙：第一次提价，第二次提价；
方案丙：第一次提价，第二次提价.
其中，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？
【解析】不妨设提价前的价格为1，则
方案甲：两次提价后的价格为：
方案乙：两次提价后的价格为：
方案丙：
由于，由均值不等式，当且仅当时等号成立
故，且，故等号不成立，即
因此方案丙提价最多，方案甲、乙少，且提价一样
变式2．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）（1），比较与的大小；
（2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值.
【解析】（1），，
，当且仅当，即时，等号成立.
所以.
（2）由（1）知，
，当且仅当时取等号，
显然要使成立，需满足，解得
综上可知，当，代数式取得最小值20.
变式3．（2023·高一课时练习）已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？
【解析】(a-c)≥4，理由如下：
因为a-c=(a-b)+(b-c)，
所以[(a-b)+(b-c)]
=2++，
又a>b>c，所以+≥2，
故(a-c)≥4，
当且仅当=时，取等号.
题型三：利用基本不等式证明不等式
例7．（2023·高一课时练习）证明：
（1）；
（2）.
【解析】（1），
当且仅当时，即时，等号成立.
（2），
当且仅当时取等号，此时，
显然的值不存在，所以等号不成立，
所以.
例8．（2023·全国·高一假期作业）已知，求证.
【解析】∵，①
，②
，③
①+②+③得；.
∴(当且仅当等号成立).
例9．（2023·全国·高一专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
【解析】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；
（当且仅当时取等号），
即.
变式4．（2023·高一单元测试）若，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.
（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）正确
（2）正确
（3）正确
题型四：利用基本不等式求最值
（1）直接法求最值
例10．（2023·新疆省直辖县级单位·高一校考开学考试）若，，且，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】D
【解析】因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为9.
故选:D.
例11．（2023·新疆昌吉·高一校考期末）已知，且，则的最大值为（ ）
A．B．25C．36D．49
【答案】C
【解析】因为，，即，当且仅当时取到等号，故的最大值为36.
故选：C
例12．（2023·云南·高一统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】D
【解析】由可知，利用基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为5.
故选：D
变式5．（2023·江苏连云港·高一期末）设，，且，求的最小值是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解析】因为，，且，
所以，，
，当且仅当，即时取等号，
故选：A.
变式6．（2023·广西桂林·高一统考期末）设x，，且，则的最小值为（ ）
A．10B．C．D．18
【答案】D
【解析】，当且仅当时，等号成立.
故选：D.
（2）常规凑配法求最值
变式7．（2023·全国·高一专题练习）函数 的最小值是（ ）
A．B．3C．6D．12
【答案】A
【解析】
因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立
故最小值为，
故选：A
变式8．（2023·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
【解析】因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
变式9．（2023·天津蓟州·高一校考阶段练习）函数的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，利用基本不等式求最小值即可.因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
所以函数的最小值是.
故选：D.
变式10．（2023·高一课时练习）若，则的最值情况是（ ）
A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2
【答案】B
【解析】若，则，
当且仅当即等号成立，
所以若时，有最小值为6，无最大值.
故选：B.
（3）消参法求最值
变式11．（2023·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为.
故选：C.
变式12．（2023·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为负实数、满足，则，可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故的最小值为.
故选：A.
变式13．（2023·全国·高一课时练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以 ，
所以，
令，则，且 ，
所以，当且仅当，即，时，取等号，
所以的最小值是.
故选：A.
（4）换元求最值
变式14．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
【解析】（1）
∵（当且仅当，即x=1时取等号）
的最小值为3；
（2）令，则，

当且仅当即t=3时取等号
y的最小值为10
变式15．（2023·上海·高一专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）
∵（当且仅当，即x=1时取“=”）
即的最小值为3；
（2）令，则在是单增，
∴当t=2时，y取最小值；
即y的最小值为
（3）令，则可化为：
当且仅当t=3时取“=”
即y的最小值为10
变式16．（2023·全国·高一单元测试）若正数a，b满足，则的最小值是__．
【答案】
【解析】设，则，可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，取得最小值．
故答案为：．
（5）“1”的代换求最值
变式17．（2023·高一校考课时练习）已知，，，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】C
【解析】，
，
（当且仅当时等号成立），
故选：C
变式18．（2023·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D．
【答案】B
【解析】因为，变形得.
由题意，当且仅当，即时，等号成立．
故选：B.
变式19．（2023·吉林延边·高一统考期末）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．23B．26C．22D．25
【答案】D
【解析】由题意得，，，
故，
当且仅当，结合，即时取等号，
故的最小值是25，
故选：D
变式20．（2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）若正数，b满足，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】正数，b满足，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8.
故选：C
变式21．（2023·河南安阳·高一统考期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【解析】因为，
所以，
当且仅当，时，等号成立，故的最小值为1．
故选：B．
变式22．（2023·河南洛阳·高一校考阶段练习）正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【解析】因为正实数，满足，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值是.
故选:B.
变式23．（2023·青海玉树·高一校联考期末）若实数，满足，则的最小值为（ ）．
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】由题设，且，，故，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以目标式的最小值为4.
故选：A
变式24．（2023·江西吉安·高一永新中学校考期中）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为正数、满足，所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
变式25．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．20B．32C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
则
，因为，，
所以
，
当且仅当，即（舍）或时取等，
故的最小值为.
故选：D
变式26．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知，若，则的最小值是（ ）
A．7B．9C．D．
【答案】D
【解析】因为，，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：D.
变式27．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，则，
.
当，即，时等号成立.
故选：C
（6）条件等式求最值
变式28．（2023·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】
因为，
所以 ，当且仅当时等号成立，因为，
所以，即，所以，
即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，
故选：B.
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
例13．（2023·北京丰台·高一北京市第十二中学校考期中）已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是______________．
【答案】
【解析】因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9，
因此，
故答案为：.
例14．（2023·广东深圳·高一深圳市宝安中学（集团）校考期中）不等式，（）对恒成立，实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得对恒成立，
只需即可，
因为，，当且仅当即时等号成立，
所以，即，解得.
故答案为：.
例15．（2023·福建泉州·高一福建省德化第一中学校考阶段练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】，，，恒成立，
（当且仅当，即时取等号），
，解得：，则的最大值为.
故答案为：.
变式29．（2023·贵州遵义·高一遵义四中校考阶段练习）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】两个正实数，满足，，
，
当且仅当，即，时等号成立，，
若不等式恒成立，则应，解得，，
故答案为：．
变式30．（2023·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若不等式对于任意正数成立，则实数的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为不等式对任意正数恒成立，
所以对任意正数恒成立，
因为，当且仅当时取等号，
所以，，即实数的最大值为.
故答案为：.
变式31．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）若，则a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，故.
故答案为：
变式32．（2023·江苏泰州·高一校考阶段练习），，且恒成立，则的最大值为__．
【答案】4
【解析】由于恒成立，且
即恒成立
只要的最小值即可
，，故，因此
故答案为：4．
变式33．（2023·江苏苏州·高一常熟中学校考期中）若实数满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是________.
【答案】
【解析】，
，当且仅当时“”成立，
又不等式恒成立，
，
的取值范围是．
故答案为：．
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
例16．（2023·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．
(1)请根据基本不等式，证明：；
(2)请利用（1）的结论，证明：；
(3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米?
【解析】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立,
所以当且仅当，时等号成立.
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
（2）由于，当且仅当时等号成立，
令, 得，
即，故.
所以，当且仅当时等号成立.
（3）做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为.
所以.
由（2）中已证的不等式，可知，
当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立.
所以，因此，
综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米.
例17．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
【解析】（1） ．
因为，所以
（2）因为 ．
又因为，所以，
所以（当且仅当时取“”）
所以
即当万元时，取最大值30万元．
例18．（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．
【解析】由题意得：建造成本费用为，
使用管理费：，所以，
，
当且仅当时，即千套时，取得最小值为180万元．
变式34．（2023·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件．
(1)将该批产品的利润（万元）表示为的函数；
(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?
【解析】（1），；
（2），
，
，
当即宣传费用为万元时，利润最大为万元．
变式35．（2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁忽略不计）.问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
【解析】设污水处理池的长为x米，则宽为米.
总造价
（元）
当且仅当（），
即时等号成立．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
即的最大值为.
故选：C.
2．（2023·河南信阳·高一校联考期中）设，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
故选：B.
3．（2023·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，对任意的，恒成立，即，
当时，，当，即时，等号成立，
所以.
故选：D
4．（2023·湖南·高一桃江县第一中学校联考期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为正实数、满足，则，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故选：A.
5．（2023·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D．
【答案】B
【解析】因为，变形得.
由题意，当且仅当，即时，等号成立．
故选：B.
6．（2023·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）实数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】 ，所以，当且仅当取等号；
故选：C.
7．（2023·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）某工厂过去的年产量为，技术革新后，第一年的年产量增长率为，第二年的年产量增长率为，这两年的年产量平均增长率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知：，即，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
故选：B.
8．（2023·高一课时练习）若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C
【解析】由题意不等式对任意正数恒成立，
即恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
则，
当且仅当时，等号成立，
故，即实数x的最大值为，
故选：C
二、多选题
9．（2023·安徽·高一校联考期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因为正实数、满足，
对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，因为，则，
当且仅当时，等号成立，B错；
对于C选项，当，时，，C错；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，D对.
故选：AD.
10．（2023·全国·高一专题练习）已知.若，则（ ）
A．的最小值为10B．的最小值为9
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】BC
【解析】对选项A，B，因为已知，
所以，
当且仅当，即，取等号，故A错误，B正确.
对选项C，D，
，即，当且仅当，时等号成立，
故C正确，D错误.
故选：BC
11．（2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为1B．的最大值为2
C．的最小值为2D．的最大值为1
【答案】BCD
【解析】因为，，，所以，故，当且仅当时，取得等号，所以的最大值为1，故A正确；
当，时，，故B错误；
因为，所以，当且仅当时，取得等号，即有最大值为2，故C错误；
当时，故D错误.
故选：BCD．
12．（2023·湖南株洲·高一统考阶段练习）设a，b均为正数，则下列结论正确的是（ ）
A．若则有最大值B．若则有最大值8
C．若则D．若则
【答案】AD
【解析】因为所以，
又因为，当且仅当时取得等号，
所以，
则有，A正确；
由可得，所以，则，
当且仅当时取得等号，
又由可得
又因为，
因为，所以当时，有最小值8，B错误；
因为所以，所以，C错误；
等价于，等价于，也等价于成立，
所以成立，D正确，
故选:AD.
三、填空题
13．（2023·天津和平·高一耀华中学校考期中）已知正实数a，b满足则ab的最大值为__________.
【答案】5
【解析】因为正实数，满足，当且仅当，即，时取等号，
解得，
则的最大值5．
故答案为：5．
14．（2023·江苏扬州·高一统考期中）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，若，则纸张的用纸面积最少为__________cm2．

【答案】
【解析】由题意，设排版矩形的长和宽分别为且，且
则纸张的面积为
当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以纸张的用纸面积最少为.
.

15．（2023·高一课时练习）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由可得，
因为，
当且仅当，即时取等号，
因为恒成立，所以.
故答案为：.
16．（2023·高一课时练习）已知正实数x，y满足，则的最大值是______.
【答案】/
【解析】由可得：，
则.
当且仅当，即时取等.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·高一课时练习）判断下列说法的正误，并说明理由：
(1)的最小值是12；
(2)当时，，等号成立当且仅当，即时，取到最小值.
【解析】（1）错误，理由如下，
由得，
当时，，当且仅当即等号成立；
当时，，当且仅当即等号成立；
故错误；
（2）错误，理由如下，
当时，，当且仅当即等号成立，故错误.
18．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？
【解析】由题意所示 ，，
∵，∴ ，
∴ ，
函数的对称轴为，
∴当时，面积取得最大值，为 ，
（或者：由于，所以，当且仅当，即时取等号.）
∴矩形面积最大为48平方米．
19．（2023·云南昆明·高一校考期中）（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值.
【解析】（1）因为，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，函数（）的最小值为；
（2）因为、是正实数，且，所以，
则，
当且仅当且时取等号，此时取得最小值.
20．（2023·陕西榆林·高一统考期末）已知，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，证明：.
【解析】（1）因为，所以.
，
当且仅当，，时，等号成立，
故的最大值为9.
（2）证明：因为，
所以，又，
解得，
当且仅当时，等号成立.
故.
21．（2023·天津和平·高一耀华中学校考期中）已知，.
(1)若不等式恒成立，求的最大值；
(2)若，求的最小值.
【解析】（1）因为，，则，
而，当且仅当，即时取等号，
依题意，不等式恒成立，于是
所以m的最大值为12.
（2）若，，，则，
当且仅当，即，时取等号，
于是，而，解得，
所以的最小值为4.
22．（2023·高一课时练习）（1）已知，且满足.求的最小值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值；
（3）已知，求的最大值.
【解析】（1）由，可得
；
当且仅当，即时，等号成立，
所以，的最小值为
（2）不等式恒成立化为恒成立，
又因为，所以，因此
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即实数的最大值为9．
（3）令，，
可得，
所以，；
当且仅当时，上式取得等号，
可得的最大值为．