（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题09 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（六大题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：解不含参数的一元二次不等式
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
题型四：一次分式不等式的解法
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
题型六：不等式的恒成立问题
【知识点梳理】
【知识点梳理】
知识点一：一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
知识点二：二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
知识点三：一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．
知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集．
知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤
（1）选取合适的字母表示题中的未知数；
（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；
（3）求解所列出的不等式（组）；
（4）结合题目的实际意义确定答案．
知识点六：一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
知识点七：简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
【典例例题】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
例1．（2023·高一课时练习）不等式的解集是___________________.
例2．（2023·高一课时练习）不等式的解集为___________________.
例3．（2023·高一课时练习） 的解集为___________________.
变式1．（2023·高一课时练习）不等式的解集为___________________.
变式2．（2023·高一课时练习）不等式的解集为___________________.
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
例4．（多选题）（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的解集为
C．D．的解集为
例5．（多选题）（2023·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为或
例6．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．不等式的解集为
C．D．不等式的解集为或
变式3．（多选题）（2023·湖南郴州·高一校考阶段练习）若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．且D．不等式的解集是
变式4．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
例7．（2023·全国·高一专题练习）若，解不等式．
例8．（2023·高一课时练习）解关于x的不等式.
例9．（2023·高一课时练习）已知函数．
(1)若关于的不等式的解集为，求，的值；
(2)当时，解关于的不等式．
变式5．（2023·高一课时练习）已知关于的不等式对于恒成立．
(1)求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，解关于的不等式．
变式6．（2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）已知函数．
(1)若的解集为，求a，b的值.
(2)若，求解不等式.
题型四：一次分式不等式的解法
例10．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为_________．
例11．（2023·上海青浦·高一统考期末）不等式的解集是______.
例12．（2023·上海徐汇·高一统考期末）不等式的解集为________．
变式7．（2023·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）不等式的解集是______.
变式8．（2023·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）不等式的解集为_________．
变式9．（2023·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）关于x的不等式的解集是___________.
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
例13．（2023·全国·高一专题练习）年月日，迎来了香港回归祖国周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归周年纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·高一课时练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例15．（2023·全国·高一专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式10．（2023·高一课时练习）某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x（件）与售价p（元/件）的关系为p=300-2x；生产x件的成本r=500+30x（元），为使月获利不少于8600元，则月产量x满足（ ）
A．55≤x≤60B．60≤x≤65C．65≤x≤70D．70≤x≤75
变式11．（2023·全国·高一假期作业）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（ ）
A．B．C．D．
题型六：不等式的恒成立问题
例16．（2023·高一课时练习）若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例17．（2023·高一课时练习）已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
例18．（2023·高一课时练习）已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式12．（2023·高一课时练习）已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式13．（2023·安徽马鞍山·高一统考期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式14．（2023·云南文山·高一校联考期中）已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式15．（2023·全国·高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式16．（2023·北京·高一校考期中），使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式17．（2023·河北邯郸·高一校考阶段练习）设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A．B．C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·辽宁·高二校联考阶段练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一课时练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·湖南邵阳·高三统考学业考试）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
5．（2023·高一课时练习）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·山东聊城·高二山东聊城一中校联考阶段练习）关于实数的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·高一课时练习）已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是的子集，则a的范围是（ ）
A．[－4，3]B．[－4，2]
C．[－1，3]D．[－2，2]
二、多选题
9．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集是
D．不等式与的解集相同
10．（2023·山东德州·高二校考阶段练习）对任意实数，不等式恒成立，则实数可以是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·高一课时练习）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（ ）
A．元B．元C．元D．元
12．（2023·全国·高一专题练习）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
三、填空题
13．（2023·天津南开·高二天津市第二南开中学校考阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是__________．
14．（2023·高一课时练习）当时，关于x的不等式的解集是__________．
15．（2023·高一单元测试）不等式的解集是__________．
16．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数的取值范围是_________________．
四、解答题
17．（2023·全国·高三对口高考）已知；若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为R，求m．
19．（2023·高一课时练习）学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．

20．（2023·高一课时练习）已知二次函数的最小值为，且其图象过点，.
(1)求二次函数的解析式；
(2)在区间上，二次函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围.
21．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
22．（2023·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考期中）设．
(1)命题，使得成立．若为假命题，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
23．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知关于的不等式
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)若，求此不等式的解集．二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根