（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义第4章 指数与对数综合测试（2份，原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．B．
C．D．当为奇数时，；当为偶数时，
【答案】D
【解析】当为奇数时，；
当为偶数时，.
故选：D
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于A，，A对；
对于B，，B错；
对于C，，C错；
对于D，，D错.
故选：A
3．我们知道，任何一个正数可以用科学计数法表示成（为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（ ）（）
A．27B．28C．29D．30
【答案】C
【解析】，
则的位数是是．
故选：C．
4．已知且，下列式子中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】若且，
对A、C、D：根据指数的运算可得：，，，A错误，C、D正确；
对B：根据对数的定义可得：，B正确.
故选：A．
5．化简的结果为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
=
=
=
=
=
=
=
故选：B
6．已知，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】设，则，
∵，即，整理得，
注意到，则，
解得，即.
故选：D.
7．若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】因为，则，，同理，
所以.
故选：A
8．已知实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，
，，
，
.
.
又，，
，.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，若，则，
故，C正确；
对于D，若，则，
则，D正确，
故选：BCD
10．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对A：，A正确；
对B：，B错误；
对C：，C正确；
对D：，D正确.
故选：ACD.
11．已知，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】依题意，，即，则且，故C项正确；
对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于D项，，故D项正确.
故选：BCD
12．若，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】由题意可得出，，
所以，故A正确；
，
所以，故B不正确；
要判断，即判断，因为，
所以，故C不正确；
，故D正确.
故选：AD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．计算：______.
【答案】5
【解析】.
故答案为：5.
14．方程，______．
【答案】或．
【解析】因为，
所以或8，解得或．
故答案为：或．
15．若，是方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】由是方程的根，则，
所以，即，
又由，是方程的两个根，
所以，即，所以，
所以．
故答案为：
16．已知，，用，表示为________．
【答案】
【解析】依题意有，即， 变形为，
解得：，．
所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（1）计算：；
（2）化简：．
【解析】（1）
；
（2）
.
18．（12分）
已知实数，满足，．
(1)用表示；
(2)计算的值．
【解析】（1）由题意可知，
所以．
（2）因为，
所以．
19．（12分）
求下列各式的值．
(1) ．
(2)已知 ， ，求的值．
【解析】（1）
；
（2） ..
20．（12分）
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面空中，并计算：________．
【解析】选①：因为，
所以．
选②：，以下同①．
选③：，以下同①．
21．（12分）
（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【解析】（1）原式．
（2），
所以
22．（12分）
（1）当时，解关于x的方程；
（2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围；
（3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围
【解析】（1）∵
∴
∴
（2）对数有意义，则，解得：或，
所以实数x的取值范围为或；
（3）
即
=①
方程两边同乘x得：
即②
当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求
当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求
当且时方程②的解为或，
若是方程①的解，则，即
若是方程①的解，则，即
则要使方程①有且仅有一个解，则
综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是