（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题12 函数的概念和图象（八大题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：函数的概念
题型二：给出解析式求函数的定义域
题型三：抽象函数求定义域
题型四：给出函数定义域求参数范围
题型五：同一函数的判断
题型六：给出自变量求函数值
题型七：求函数的值域
题型八：函数的图象
【知识点梳理】
知识点一：函数的概念
1、函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．
记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
知识点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性．
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．
知识点二：函数定义域的求法
（1）确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．
（2）抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．
（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．
知识点三：函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
【典例例题】
题型一：函数的概念
例1．（2023·高一课时练习）下列变量间的关系是函数关系的是（ ）
A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．正方形的面积S与其边长a之间的关系
D．光照时间和苹果的亩产量
例2．（2023·高一课时练习）下列各变量间不存在依赖关系的是（ ）
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着价格与视力
例3．（2023·上海·高一专题练习）下列等量关系中，y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，下列对应关系中从到的函数为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·河南·高一校考阶段练习）下列图象中，表示函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
题型二：给出解析式求函数的定义域
例4．（2023·安徽马鞍山·高一安徽工业大学附属中学校考期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2023·四川阿坝·高一校考期中）函数y＝的定义域是（ ）
A．[－1，7]B．[－1，7)C．(－1，7]D．(－∞，－1]∪[7，+∞)
例6．（2023·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023·四川巴中·高一校考期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
变式5．（2023·高一课时练习）等腰三角形的周长为20cm，底边长ycm是腰长xcm的函数，则此函数的定义域为（ ）
A．(0，10)B．(0，5)
C．(5，10)D．[5，10)
题型三：抽象函数求定义域
例7．（2023·高一单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·河南信阳·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
变式8．（2023·辽宁本溪·高一校考期末）若函数的定义域是[1，2023]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，2022]B．
C．（1，2024]D．
变式9．（2023·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
题型四：给出函数定义域求参数范围
例10．（2023·高一单元测试）已知函数的定义域为,求实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
例11．（2023·高一课时练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例12．（2023·河南商丘·高一校联考阶段练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式10．（2023·高一单元测试）函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
A．B． C．D．
变式11．（2023·山西运城·高一山西省运城中学校期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：同一函数的判断
例13．（2023·高一课时练习）下列各组中的两个函数为相等函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例14．（2023·天津滨海新·高一校考期中）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
A．B．
C．D．
例15．（2023·高一课时练习）下列各组函数表示相等函数的是
A．与
B．与
C．与
D．与
变式13．（2023·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
变式14．（2023·云南西双版纳·高一西双版纳州第一中学校考期中）以下四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
B．f（x）=
C．
D．f（x）=，g（t）=
题型六：给出自变量求函数值
例16．（2023·高一课时练习）已知函数的表达式，若，则实数______．
例17．（2023·高一课时练习）已知，若，则_____.
例18．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，且，则______．
变式15．（2023·高一课时练习）若（其中a，b，c为常数），若，则______.
变式16．（2023·重庆巴南·高一重庆市实验中学校考阶段练习）已知函数，分别由下表给出：
则方程的解为___________.
变式17．（2023·全国·高一专题练习）已知函数分别由下表给出：
满足的值是___________
变式18．（2023·高一课时练习）已知函数，且，则实数＝________.
题型七：求函数的值域
例19．（2023·浙江杭州·高一校考阶段练习）求下列函数的值域.
(1);
(2);
(3),.
例20．（2023·江苏·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域，并画出图象：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
例21．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
变式19．（2023·高一课时练习）求的最小值.
变式20．（2023·浙江嘉兴·高一平湖市当湖高级中学校考阶段练习）求下列函数的值域.
（1），
（2），
（3）
变式21．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
变式22．（2023·高一课时练习）试求下列函数的定义域与值域.
(1)，
(2)
(3)
(4)
题型八：函数的图象
例22．（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）函数的图像是（ ）
A．B．C．D．
例23．（2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
例24．（2023·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）函数的图像简图可能是（ ）
A．B．
C．D．
变式23．（2023·高一课时练习）函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
变式24．（2023·海南·高一校考期末）下列图像是函数的图像的是（ ）
A．B．
C．D．
变式25．（2023·高一课时练习）已知函数，，则函数的图像是
A．B．
C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·高一单元测试）函数，f(a)＝3，则f(－a)的值为（ ）
A．－3B．－1C．1D．2
2．（2023·高一课时练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一课时练习）函数，，则的值域是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·高一单元测试）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．R
5．（2023·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·上海青浦·高一统考开学考试）已知函数的值域为，关于其定义域，下面说法正确的是（ ）．
A．B．不可能是无穷多个闭区间的并集
C．任取中两个元素，乘积一定非负D．可能是所有有理数以及负无理数所成集合
8．（2023·重庆·高一校联考期中）取整函数：不超过x的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）中文“函数.（functin）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列关于函数的命题正确的是（ ）

A．与表示同一函数
B．函数的定义域是
C．已知函数，则在区间的值域为
D．上图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像
10．（2023·高一单元测试）下列集合不能用区间形式表示的是（ ）
A．B．
C．或D．
11．（2023·高一单元测试）已知函数，其值不可能的是（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
12．（2023·江苏南京·高一南京外国语学校校考期中）设非空集合，满足：当时，，给出如下四个命题，其中是真命题的有（ ）
A．若，则
B．若，则m的取值集合为
C．若，则的取值集合为
D．若，则的取值集合为
三、填空题
13．（2023·高一课时练习）函数的定义域为，则函数的定义域是__________.
14．（2023·浙江温州·高一校考期中）已知函数，则___________.
15．（2023·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）函数的值域为__________.（结果用区间表示）
16．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
四、解答题
17．（2023·高一课时练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
18．（2023·高一课时练习）已知集合，是定义在上的函数，已知把中的每一个自然数对应到它的各个数字之和.
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)计算：.
19．（2023·浙江杭州·高一校考阶段练习）求下列函数的值域.
(1);
(2);
(3),.
20．（2023·高一课时练习）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的值域.
21．（2023·河南·高一校联考期末）已知定义在R上的函数满足，.
(1)求的值；
(2)若，，求满足的的最大值．
22．（2023·河南·高一河南省实验中学校考阶段练习）（1）求函数在区间上的值域.
（2）已知二次函数.函数在区间上的最小值记为，求的值域；x
1
2
3
2
3
1
x
1
2
3
3
2
1
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1