（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题02 子集、全集、补集（六大题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：集合的包含关系判断
题型二：集合的相等
题型三：空集的定义、性质及运算
题型四：子集与真子集的个数问题
题型五：补集及其运算
题型六：集合关系中的参数取值问题
【知识点梳理】
知识点一：子集
1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集．，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）．
2、规定：空集是任何集合的子集，即．
3、子集的性质：
（1）任何一个子集都是它本身的子集，即．
（2）若，且，则．
知识点二：韦恩图
韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示：

B
A
知识点三：真子集
1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）．
2、真子集的性质
（1）空集是任何非空集合的子集．
（2）若A B，B C，则A C．
知识点四：集合的相等与子集的关系
1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B．
2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A．
知识点五：有限集合的子集个数
若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2．
知识点六：补集
1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示．
2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作．
3、数学表达式：．
4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示：
U
A
5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③．
【典例例题】
题型一：集合的包含关系判断
例1．（2023·高一课时练习）设集合，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，所以，
故选：B
例2．（2023·四川巴中·高一校考期中）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以或.
故选：B
例3．（2023·高一课时练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
，
，
所以.
故选：B．
变式1．（2023·陕西安康·高一校考阶段练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对集合，其集合中的元素为的整数倍加1，
对集合，其集合中的元素为的整数倍加1，
的整数倍加1必为的整数倍加1，反之则不成立，
即中的元素必为中的元素，而中的元素不一定为中的元素，
故为的真子集，即，
故选：A
变式2．（2023·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，
，
所以.
故选：B.
题型二：集合的相等
例4．（2023·江西赣州·高一统考期末）下列与集合表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】方程的解为或，所以，C选项正确；
A选项不是集合，BD选项表示的是点集，只有C选项符合.
故选：C
例5．（2023·贵州安顺·高一统考期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对AD，两集合的元素类型不一致，则，AD错；
对B，由集合元素的无序性可知，，B对；
对C，两集合的唯一元素不相等，则，C错；
故选：B
例6．（2023·湖北武汉·高一武汉市第六中学校考阶段练习）已知集合，若，则（ ）
A．1B．0C．D．无法确定
【答案】B
【解析】由可知，，
因为，所以或，
①当时，得或（舍），则，解得或（舍），
此时，符合题意，
此时；
②当时，得或（舍），则，解得或（舍），
此时，符合题意，
此时.
综上所述：.
故选：B
变式3．（2023·陕西榆林·高一校考阶段练习）设集合，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，解得，
所以1.
故选：B.
变式4．（2023·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【解析】因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
变式5．（2023·高一单元测试）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5}B．{1}C．{0，5}D．{0，1}
【答案】C
【解析】因为，
所以，
解得或，
的取值集合为，
故选：C
题型三：空集的定义、性质及运算
例7．（2023·高一课时练习）下列集合中为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意；
对于D中，不等式，解得，，不符合题意.
故选：C.
例8．（2023·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中不正确的是（ ）
A．①③④B．②④⑤C．②⑤⑥D．③④
【答案】D
【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合，故正确，即②正确；
对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；
对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；
对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；
对⑥：显然成立，因此⑥正确．
综上，本题不正确的有③④，
故选：D
例9．（2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）①，②，③，④满足的集合A的个数是4个，以上叙述正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】对于①：不含任何元素，，所以①错误；
对于②：是以为元素的集合，所以正确，则②正确；
对于③：不含任何元素，而的元素是0，所以两者不相等，则③错误；
对于④：因为，所以集合A中必有1和2，可能含有3或 4，
所以共3个，则④错误；
所以正确的只有1个，
故选：A.
变式6．（2023·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
变式7．（2023·高一课时练习）下列关于方程的说法中，正确的是（ ）
A．两根之和为2B．解集为C．两根之和为1D．有两不等实根
【答案】B
【解析】中，，故解集为.
故选：B
变式8．（2023·新疆昌吉·高一校联考阶段练习）下列关系表述正确的是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，空集不含任何元素，故A错误；
对于B，是只含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合，故B错误；
对于C，是含有一个元素的集合，是不含任何元素的集合，故C错误；
对于D，表述正确，故D正确，
故选：D
变式9．（2023·河南南阳·高一校考阶段练习）下列四个命题：
①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；
③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.
答案：A.
变式10．（2023·福建宁德·高一福建省宁德第一中学校考阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
题型四：子集与真子集的个数问题
例10．（2023·高一课时练习）集合且的真子集的个数是（ ）
A．16B．15C．8D．7
【答案】B
【解析】，集合A含有4个元素，真子集的个数是，
故选：B．
例11．（2023·高一课时练习）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2B．4
C．6D．8
【答案】D
【解析】含有元素0的A的子集有，，，，，，，，
故含有元素0的A的子集个数为8.
故选：D.
例12．（2023·高一课时练习）已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集，
对B，由真子集定义知，是集合A的真子集，
C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误，
故选：B.
变式11．（2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习）符合的集合的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【解析】由，设，，故有个.
故选：A.
变式12．（2023·高一单元测试）集合的子集个数为（ ）．
A．4B．7C．8D．16
【答案】C
【解析】因为，
所以该集合的子集的个数为，
故选：C．
变式13．（2023·浙江宁波·高一效实中学校考期中）集合的子集个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】集合的子集有，，，，，，，共8个.
故选：D.
变式14．（2023·吉林·高一吉林毓文中学校考阶段练习）已知，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】因为，所以或或或或或或或，即满足条件的集合的个数为8，
故选：D．
变式15．（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
【答案】D
【解析】集合，,
，
故有个子集.
故选：D．
变式16．（2023·全国·高一专题练习）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】因为，
所以集合可以为：，
共8个，
故选：C.
变式17．（2023·海南儋州·高一校考期中）写出集合的所有子集和它的真子集.
【解析】集合的所有子集为；
集合的所有真子集为.
变式18．（2023·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知集合，且.
(1)求实数的取值的集合；
(2)写出（1）中集合的所有子集.
【解析】（1）因为，且，
所以或，解得或或，
当时，，集合中出现两个0，故舍去；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
∴实数的取值的集合
（2）因为，所以集合的子集有：
题型五：补集及其运算
例13．（2023·广西贺州·高一校考阶段练习）已知全集U={x∈Z|-1≤x≤3}，集合A={x∈Z|0≤x≤3}，则 =______
【答案】
【解析】因为，
，
所以，
故答案为：.
例14．（2023·上海静安·高一校考期中）设全集，集合，则__________.
【答案】
【解析】根据已知条件可得：.
故答案为：.
例15．（2023·四川·高一统考期中）已知全集，集合，，则________.
【答案】8
【解析】因为全集，集合，，
所以，即，
所以.
故答案为：8.
变式19．（2023·江西上饶·高一校考期中）已知集合，则________．
【答案】
【解析】由题意知，，
所以.
故答案为：.
变式20．（2023·浙江温州·高一校联考期中）已知全集，集合，，则实数a的值为__________．
【答案】1或-3
【解析】全集，集合，，则，解得或，
所以实数a的值为1或-3.
故答案为：1或-3
变式21．（2023·北京·高一北京市八一中学校考阶段练习）设全集，则__________.
【答案】7
【解析】因为，所以，，
解得：，故.
故答案为：7
题型六：集合关系中的参数取值问题
例16．（2023·高一课时练习）已知集合.
(1)若，则实数a的值是多少?
(2)若，则实数a的取值范围是多少?
(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?
【解析】（1）因为集合，，
所以.
（2）因为，如图，
由图可知，即实数a的取值范围是.
（3）因为B⫋A，如图，
由图可知，即实数a的取值范围是.
例17．（2023·高一单元测试）已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
【解析】（1）因为，且，
所以或，
解得或，
故.
（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，
所以.
当时，，满足题意；
当时，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
综上，a的取值范围为.
例18．（2023·高一课时练习）已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的两根为或，
利用韦达定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以时，则，即，解得或；
当时，
若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
变式22．（2023·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.
【解析】由，则.
，
为方程的解集.
①若，则，
或或，
当时有两个相等实根，即不合题意，同理，
当时，符合题意；
②若则，即，
综上所述，实数的取值范围为或
变式23．（2023·高一课时练习）已知集合，，且，求实数a的取值范围．
【解析】由题意知，若，则，解得，
若， ，解得或，
当时，则方程为，解得，此时，不合题意，舍去，
当时，则方程为，解得，，不合题意，舍去，
当，即，解得或，则由题意知，
则1,4为方程两根，根据韦达定理得，
综上所述的范围是或.
变式24．（2023·高一课时练习）已知集合，，若，求a的取值范围．
【解析】当时，，解得，
当时，因为，则，解得，
综上.
变式25．（2023·甘肃酒泉·高一校考期中）设，，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】（1）已知，，则，
因为，，所以，即实数的取值范围为.
（2）由题意可知，因为，
所以，即实数的取值范围为.
变式26．（2023·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）设集合，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【解析】（1），
所以或
（2）由，，，
得 ，所以，
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于表示一元二次方程的解的集合，
而最多有两个不相等的实数根，
由于，所以
故由韦达定理可得，
故选：C
2．（2023·辽宁锦州·高一统考期末）已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合，，韦恩图中表示的集合为，
则或，所以.
故选：B.
3．（2023·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知集合，，若，则实数组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，，
或，
解得或或，
故实数组成的集合为.
故选：C.
4．（2023·福建南平·高一统考期末）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】集合，则
则图中阴影部分表示的集合是.
故选：D.
5．（2023·高一单元测试）已知集合，，若，则实数a组成的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，则有：或，解得：或或，
∴实数a组成的集合为.
故选：D.
6．（2023·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中不正确的是（ ）
A．①③④B．②④⑤C．②⑤⑥D．③④
【答案】D
【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合，故正确，即②正确；
对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；
对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；
对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；
对⑥：显然成立，因此⑥正确．
综上，本题不正确的有③④，
故选：D
7．（2023·四川眉山·高一仁寿一中校考期末）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（ ）
A．M=PB．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
，
所以.
故选：B.
8．（2023·江苏·高一淮阴中学校考期中）已知集合，若是的子集，且同时满足：①若，则；②若，则；则集合的个数为（ ）
A．8B．16C．20D．24
【答案】B
【解析】由题意当时，，当时，，
当时，，当时，，元素5与7没有限制，
则集合的个数等于的子集个数，集合有个子集，
集合可以为：，， ，，，，，，
，，，，，，，，共16个，
故选：B
二、多选题
9．（2023·高一课时练习）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若集合A=B，则A、B都是有限集
B．若A⫋B，则B不可能是空集
C．{x|x-1=0}⫋{x|x+1>0}
D．集合{7，8，9}的子集有8个
【答案】BCD
【解析】A项，集合A、B也可能都是无限集或都是空集，故A错误；
B项，空集是任意非空集合的真子集，若B不是空集，则A有可能是空集，故B错误；
C项，，，显然C正确；
D项，均为{7，8，9}的子集，其实含有个元素的集合其子集个数为，故D正确.
故选：BCD
10．（2023·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】对A：写法不对，应为或，A错误；
对B：是任何集合的子集，故成立，B正确；
对C：是不含任何元素的集合，故，C错误；
对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确.
故选：BD.
11．（2023·广东广州·高一校考期末）设集合，若，则a的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】因为，如图：
所以，所以， 故a的可能取值为，.
故选：CD.
12．（2023·湖北十堰·高一校考阶段练习）已知集合，，则下列说法错误的是（ ）
A．不存在实数使得B．存在实数使得
C．当时，D．当时，
【答案】BD
【解析】A：当时，无解，正确；
B：当时，无解，错误；
当时，若，则，即；
若，则，无解，
综上，时有.
所以C正确，D错误.
故选：BD
三、填空题
13．（2023·高一课时练习）全集或，则为__________．
【答案】
【解析】因为或，
所以.
故答案为：
14．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）已知，若集合B满足，则满足条件的B的个数为_____.
【答案】8
【解析】，则集合的子集个数为，
即满足的集合B的个数为8.
故答案为：8
15．（2023·高一单元测试）已知，，且，则a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】由题意，集合，
当时，即，解得，此时满足，
当时，要使得，则或，
当时，可得，即，此时，满足；
当时，可得，即，此时，不满足，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：.
16．（2023·全国·高一专题练习）给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．
【答案】6
【解析】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，
故不含好元素的集合共有，
共有6个.
故答案为：6．
四、解答题
17．（2023·高一课时练习）已知集合，若，求实数a，b的值．
【解析】由于，由于集合中有元素0，而集合中的不能为0，所以必然是，此时集合，
由于集合中有元素1，
若，则，
故
18．（2023·高一课时练习）设，且，求实数x，y的值．
【解析】由于，所以且，
若集合中，则，此时，由得，所以此时符合要求，
若集合中，则，此时这与矛盾，故这种情况不成立，
综上可知
19．（2023·四川·高一校考阶段练习）设集合，.
(1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值；
(2)若求实数m的值.
【解析】（1）解法一：因为，整理可得，解得或，又B中只有一个元素，故.
解法二：B中有且只有一个元素，所以方程有唯一实根，从而，所以m＝1.
（2）由，解得或，
由，整理可得，解得或，
B⊆A，当m＝1时，B＝{﹣1}，满足B⊆A，
当m＝2时，B＝{﹣1，﹣2}同样满足B⊆A，故m＝1或m＝2.
20．（2023·河南开封·高一校考期末）设集合，，且．
(1)若，求实数的值；
(2)若，且，求实数的值．
【解析】（1）由解得，所以，
因为，所以是集合中元素，
所以将代入得，解得，.
（2）因为，由（1）得是集合中元素，
当即时，此时符合题意；
当时，①，此时符合题意；
②，此时不满足集合元素的互异性，舍去；
综上或.
21．（2023·青海·高一青海师大附中校考阶段练习）求实数a的值.
(1)已知,,求实数a的值;
(2)已知集合,若集合A有两个子集,求实数a的值.
【解析】（1）解:由题知因为,故,
又因为,
则或,
①当时,即,
此时,
集合A中的元素不满足互异性,
故舍;
②当时,即,
解得或（舍）,
此时,,
集合A中的元素满足互异性,
综上所述,;
（2）由题因为集合有两个子集,
所以集合A中有一个元素,
①当时,,集合A有两个子集,符合题意;
②当时,,
即,
此时,集合A有两个子集,符合题意;
综上所述,或.
22．（2023·江苏盐城·高一江苏省阜宁中学校考阶段练习）已知集合，，
(1)若集合，求实数的值；
(2)若集合，求实数的取值范围.
【解析】（1）易知集合，由得： 或，解得：.
（2）（1）当时满足；
（2）当时
①当即时，满足，.
②当即时，，不满足.
③当即时，满足，只能， 无解.
综上所述：或.