（暑假班）新高一数学(人教A版)暑假讲义5.2 指数（2份，原卷版+解析版）

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1 指数运算
(1) 次方根与分数指数幂
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
负数没有偶次方根；的任何次方根都是.
注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时，
【例】若，则等于 .
解 ，是的次方根，且有两个，互为相反数，
记为，故.
【例】求值， .
解 ， .
(2) 正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义，规定：
巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母)
【例】把下列根式和指数幂相互转化：，，，.
解 ，，，.
② 正数的负分数指数幂的意义：
③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
(3) 实数指数幂的运算性质
① ；
② ；
③ .
【题型1】 指数幂运算
【典题1】 已知，则 ( )
A．B．C．D．
解析 ，故选：．
【典题2】如果，，那么 ．
解析 由，得，
则．
，.
故答案为：．
【典题3】求值.
解析 原式


.
变式练习
1.下列各式正确的是( )
A. B. C. D．
答案
解析 根据根式的性质可知正确．，条件为，故，，错．
2.计算的值为 ( )
A． B． C． D．
答案
解析 ，故选：．
3.化简得( )
A． B． C． D．
答案
解析 原式．故选：．
4.若，则等于 .
答案
解析 ，，
．
5.若，且，则的值是 ．
答案
解析 有，
又有，
联立得到
故答案为
6.计算：
答案
解析 原式.
7.计算：
答案
解析 原式．
【题型2】 条件求值问题
【典题1】 已知函数方程的两根为
(1)求的值． (2)求的值．
解析 ，
(1)；
(2)．

变式练习
1.已知函数，且，则的值是( )
A．B．C．D．
答案
解析 由题意，函数，且，可得，
又，
所以
故选：．
2.已知 (常数)，求的值．
答案
解析 (方法一)

．
(方法二)令，则，所以，两边平方整理得，
则．
3.已知实数满足，则的取值范围是 ．
答案
解析 设，，
又，，；
即，解得；
；
由已知，

，
时，的最大值为；时的最小值为；
所以的取值范围是．
故答案为：．
1.将化成分数指数幂为( )
A． B． C． D．
答案
2.计算的结果是 ( )
A． B． C． D．
答案
解析 ．故选．
3.若，则等于( )
A． B． C． D．
答案
解析 ，则．故选：．
4.若，则的值为( )
A． B． C． D．
答案
解析 ，故选：．
5.若，则的值为( )
A． B． C． D．
答案
解析 ，，．
故选：．
6.已知，则( )
A．120B．210C．336D．504
答案
解析 ，，
，，，，
．
故选：．
7.计算： .
答案
解析 原式.
8.已知，则的值为______.
答案
解析 由，两边平方得，则，
所以.
9.计算：
答案
解析 原式.
10.计算：
答案
解析 原式.
11.已知是方程的两根，且，求的值．
答案
解析 是方程的根，
由根与系数关系得，
又，．
，
．
高中要求
1理解有理指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算。