九年级上学期期末数学试题 (87)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (87)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题有四个选项，其中只有一个选项符合题意）
1. 一元二次方程的根是（ ）
A. ，B. ，C. ，D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用开平方法解方程即可．
【详解】解；∵，
∴，
解得，，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
2. 一个不透明的袋中装有3个白球和若干个红球，它们只有颜色上的区别．从袋中随机摸出一个球，若摸到白球的可能性更大，则袋中红球可能有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了可能性的大小，根据题意判断出白球的数量大于红球的数量是解题的关键． 根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，即可求解．
【详解】解：由题意可得袋中的白球数量大于红球数量，故袋中红球的个数少于3，
故选：A
3. 如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D
【答案】B
【解析】
【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【详解】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，；
此时OM最短，
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（^$^$）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
4. 如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A. 30°B. 32°C. 36°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA，OE，由圆的内接正多边形先得到中心角的度数，再由圆周角定理即可求得∠ADE的度数．
【详解】
如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键．
5. 已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
关于它的图象，下列判断正确的是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴是直线
C. 一定经过点 D. 在对称轴左侧部分自左至右是下降的
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点，，可知抛物线的对称轴为直线．设抛物线的解析式为，将，分别代入，可解得，再进一步解答即可．
【详解】解：∵点，在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线．
设抛物线的解析式为，将，分别代入，
，
可解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的．
将代入，得．
故选C．
6. 某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件.经调查当单价每涨l元时，每天少售出10件.若商场想每天获得3750元利润，设每件玩具涨元，可列方程为：.对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是（ ）
A. 表示涨价后玩具的单价
B. 表示涨价后少售出玩具的数量
C. 表示涨价后销售玩具的数量
D. 表示涨价后的每件玩具的单价
【答案】D
【解析】
【分析】由涨价x元，分别表示出销量，涨价后的单价，涨价后的每件玩具的利润，判断即可．
【详解】解：设涨价x元，根据题意可得：
A、∵（30＋x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确；
B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确；
C、∵（300−10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确；
D、∵（30＋x−20）表示涨价后的每件玩具的利润，故D选项错误，
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出销量，涨价后的单价，涨价后的每件玩具的利润．
7. 课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是的外心，，求”．小亮的解答为：如图，画以及它的外接圆O，连接，由，得．而小莹说：“小亮考虑的不周全，应该还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A. 小亮求的结果不对，应该是B. 小莹说的不对，就是
C. 小莹说的对，的另一个值是D. 两人说的都不对，的值有无数个
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示：还应有另一个不同的值与互补，
故．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，正确分类讨论是解题的关键．
8. 一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了概率的计算，根据题意画出图形，得出所有可能的情况数，然后找出符合题意的情况数，最后根据概率公式求出结果即可．
【详解】解：如图，
根据图可知：以B，C，D随机而坐的结果数共有6种，其中A与B不相邻而坐的结果有2种，
∴A与B不相邻而坐的概率为：．
故选：A．
9. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+ ）x+c＝0（a≠0）的两根之和（ ）

A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】设的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：设的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知，，
．
设方程的两根为m，n，则
.
故选C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
10. 如图，正方形中，，点、同时从点出发，以的速度分别沿、运动，到点时停止运动设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，分当时，点F在上，点E在上，根据求出S与t之间的函数关系式；当时，点F在上，点E在上，此时，则，据此可得答案．
【详解】解：当时，点F在上，点E在上，此时，
∴，
∴
；
当时，点F在上，点E在上，此时，
∴，
∴四个选项中只有D选项中的函数图象符合题意，
故选D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是______．
【答案】
【解析】
分析】直接由概率公式求解即可．
【详解】解：“馬”移动一次可能到达的位置共有8种，
到达“－－－”上方的由2种，
故则“馬”随机移动一次，
到达的位置在“－－－”上方的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用概率公式计算简单概率问题，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
12. 写出一个图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式____________________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数中，时图象开口向上，时，图象与y轴的交点为，因此只要满足，即可．
【详解】解：根据二次函数图象与系数的关系可得：
图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式，只要满足，即可，
因此二次函数解析式可以为：(答案不唯一)．
故答案为：(答案不唯一)．
13. 已知一等腰三角形的底边长为5，腰长为方程的根，该等腰三角形的周长为 _____．
【答案】17
【解析】
【分析】先求出一元二次方程的根，再根据三角形三边长关系进行判断即可．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
所以或，
解得：或，
当时，三边为2，2，5，不能构成三角形；
当时，三边为6，6，5，能构成三角形，
综上，该等腰三角形的周长为17．
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边长关系，掌握因式分解法求一元二次方程的解是关键．
14. 如图1，是一枚残缺的古代钱币，如图2，经测量发现，钱币完好部分的弧长为3π，其内部正方形ABCD的边长为1．已知正方形ABCD的中心与⊙O的圆心重合，且点E，F分别是边BC，CD的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长DA交⊙O于M，延长AB交⊙O于N．先利用弧长公式求出r，再利用分割法求解即可．
【详解】解:如图，延长DA交⊙O于M，延长AB交⊙O于N．
设⊙O的半径为r．
由题意，钱币完好部分的弧长为3π，
∴ ×2πr＝3π，
∴r＝2，
∴S阴＝（πr2﹣1）＝π﹣．
【点睛】本题考不规则图形的面积，熟练掌握弧长公式、分割法求面积是解决本题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，某京剧脸谱轮廓可以近似看成是一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B是图形G的最低点，且坐标为，线段为半圆的直径，且，点O为半圆的圆心，点M在半圆上，点N在抛物线上，点N的纵坐标为，与y轴平行．下列关于图形G的四个结论，其中正确的有________．（填所有正确结论的序号）
①图形G关于y轴对称；
②线段的长为；
③图形G围成的区域内（不含边界）恰有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④当时，直线与图形G有两个公共点．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据圆与抛物线的性质可判断①，用待定系数法求出抛物线表达式，从而得出对称轴，令求出点坐标，结合圆与勾股定理求出得出的长，可判定②，结合图形可得整点的数量，可判定③，由图象得出当时，直线与图形的交点个数，可判定④．
【详解】解：由题意可知图形G关于y轴对称，故①正确．
如图所示，记和x轴相交于点E．
∵线段为半圆的直径，且，
∴C−2,0，．
∵点B的坐标为，
∴可设抛物线的解析式为，把点C−2,0的坐标代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为．
∵点N在抛物线上，点N的纵坐标为，
∴，解得，
∴，，即，．
∵，
∴，
∴，故②正确．
如图，
图形G围成的区域内（不含边界）的整点有，1,0，，，0,1，，，，，−1,1，，，
共有12个整点，故③错误．
由图形可知，当时，直线与图形G有两个公共点，故④正确．
故答案为：①②④
【点睛】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景，曲线的对称性、整点问题，构造直角三角形，利用勾股定理求点的坐标，熟练的利用数形结合解题是关键．
三、解答题（共8小题，共75分）
16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A、B均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格内按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中，以线段为边画一个中心对称四边形，使其面积为6；
（2）在图②中，以线段为边画一个四边形，使其即是轴对称图形又是中心对称图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）作一个正方形即可．
【小问1详解】
解：如图①中，四边形即为所求；
【小问2详解】
解：如图②中，正方形即为所求．
【点睛】本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
17. 若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．
【答案】（1）3x2±5x+4＝0；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由a＝3，b＝4，由a2+b2＝c2求出c＝±5，从而得出答案；
（2）只要根据一元二次方程根的判别式证明△≥0即可解决问题．
【详解】（1）解：由a2+b2＝c2可得：
当a＝3，b＝4时，c＝±5，
相应的勾系一元二次方程为3x2±5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
△＝（c）2﹣4ab
＝2（a2+b2）﹣4ab
＝2（a﹣b）2≥0
∵△≥0，
∴勾系一元二次方程ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
18. 如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D'CE'（如图乙）．这时AB与CD'相交于点O，D'E'与AB相交于点F．求线段AD'的长．
【答案】5cm
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠D'CE'＝60°，∠BCE'＝15°，可求∠COB＝90°，由等腰直角三角形的性质可求AO＝CO＝BO＝3cm，由勾股定理可求解．
【详解】解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，
∴∠DCE＝60°，∠B＝45°
∵把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D'CE'，
∴∠D'CE'＝60°，∠BCE'＝15°，
∴∠OCB＝45°，
又∵∠B＝45°，
∴∠COB＝90°，
又∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AO＝CO＝BO＝3cm，
∴D'O＝4cm，
∴AD'＝＝＝5cm．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19. 2022卡塔尔世界杯正在激烈进行中，吉祥物“拉伊卜”凭借可爱的造型受到网友喜爱．如图分别是2022年和2018年世界杯的吉祥物和会徽图案，军军制作了4张正面分别印有这四个图案的卡片（卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同，这4张卡片分别用字母A，B，C，D表示），并将这4张卡片正面朝下洗匀．
（1）军军从中随机抽取1张卡片上图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是 ___________；
（2）军军从这4张卡片中任意抽取1张卡片，再从剩下的卡片中任意抽取1张卡片，请利用画树状图或列表法，求抽取的2张卡片上的图案都是吉祥物的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的2张卡片上的图案都是吉祥物的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：军军从中随机抽取1张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2张卡片上的图案都是吉祥物的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的2张卡片上的图案都是吉祥物的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率、概率公式等知识；树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图（1），在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接，延长至点，使．
（1）求证：．
（2）如图（2），当为直径，的半径为1时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得，进而可以解决问题；
（2）连接，，由（1）得，所以，可得和是等边三角形，可以求出的长，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接，，
为直径，半径为1，
，，，
由（1）知：，
，
，
和是等边三角形，
，
，
，
，，
∴，
，
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理等知识点，灵活应用是关键．
21. 某小区业主委员会决定把一块长，宽的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于，且不大于，设每块绿化区的较长边为，活动区的面积为．
（1）写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围；
（2）求活动区的面积y的最大值；
（3）预计活动区造价为50元，绿化区造价为40元，如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造，则当x为整数时，共有几种建造方案？
【答案】（1）
（2）
（3）4种
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，
（1）首先根据其宽度不小于，不大于，求出，然后用大矩形的面积减去4个小矩形的面积即可求解；
（2）将整理为顶点式，利用抛物线性质即可求解；
（3）设费用为w，由题意得，利用抛物线性质和x的取值范围结合即可求解．
【小问1详解】
出口的宽度为，
∵其宽度不小于，不大于，
∴．
解得，
∵四周的4个出口宽度相等，设绿化区的宽为a，
∴
∴
根据题意得，
∴y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
，
∵，抛物线的开口向下，对称轴为，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，．
∴活动区的面积y的最大值为；
【小问3详解】
设投资费用为w，
由题意得，，
∴当时，解得，．
∵，对称轴为，
∴当时，W随x增大而减小，
又∵w不超过72000元，
∴，且x为整数，
∴共有4种建造方案．
22. 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的部分证明过程：
证明：如图1，与相切于点A．当圆心O在弦上时，容易得到，所以弦切角．
如图2，与相切于点A．当圆心O在的外部时，过点A作直径交于点F，连接．
∵是直径，
∴，
∴，
∵与相切于点A，
∴，
∴；
∴．
（1）如图3，与相切于点A，当圆心O在的内部时，过点A作直径交于点D，在上任取一点E，连接，求证：；
（2）如图3，已知的半径为1，弦切角，求的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据直径的性质及切线的特点即可求解；
（2）先求出的圆心角度数，利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）∵是的直径
∴∠DEA=90°
∵与相切于点A，
∴∠DAB=90°
∵∠CED=∠CAD
∴∠CED+∠DEA=∠CAD+∠DAB
∴
（2）如图，连接CO
∵
∴
∴
∴的长==．
【点睛】此题主要考查切线的性质与弧长的求解，解题的关键是熟知切线的性质定理、弧长公式的运用．
23. 如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．将抛物线向右平移个单位得到抛物线与x轴交于D，E两点（点D在点E的左侧），与抛物线在第一象限交于点M．
（1）求抛物线的解析式，并写出其对称轴．
（2）①当时，直接写出抛物线的解析式；
②点M的坐标为 ．（用含m的代数式表示）
（3）连接．在抛物线向右平移的过程中，是否存在是等腰直角三角形的情况？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），对称轴为直线
（2）①；②
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求得抛物线解析式，继而根据解析式即可求得抛物线的对称轴；
（2）①利用抛物线平移规律即可求得解析式；②利用抛物线平移规律即可求得M的横坐标，进而代入抛物线解析式即可；
（3）过点M作于点N．要使是等腰直角三角形，则，，可得．再建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：（1）设抛物线的解析式为．则
解得
抛物线的解析式为，
其中对称轴是直线．
【小问2详解】
解：①由（1）知：抛物线的解析式为，
即，
当时，根据抛物线平移规律可得：
抛物线解析式为：
②根据抛物线平移规律可得，抛物线向右平移个单位得到抛物线解析式为： ，
其对称轴为：
∴交点M横坐标为：
将其代入抛物线解析式可得：
∴点M的坐标为；
【小问3详解】
解：不存在．
理由：如图，过点M作于点N．
要使是等腰直角三角形，则，，
可得．
∵，，，
∴，．
令，
解得，．
∵点M在第一象限，
∴，
∴．
又，
∴，
∴，均不符合题意，
∴不存在是等腰直角三角形的情况．x
…
0
1
3
4
5
…
y
…
…