九年级上学期期末数学试题 (85)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (85)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 明年10月有31天
B. 校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C. 从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡
D. 在足球赛中，弱队战胜强队
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了必然事件，根据一定会发生的事件是必然事件逐项判断即可得出答案，熟练掌握必然事件的定义是解此题的关键．
【详解】解：A．明年10月有31天，是必然事件，故此选项符合题意，
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军随机事件，故此选项不符合题意，
C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡是不可能事件，故此选项不符合题意，
D．在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，故此选项不符合题意．
故选：A．
2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解．
【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1，
∴灰色区域的面积为,
∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用今年5月份的售价=今年3月份的售价×（1该款汽车这两月售价的月平均降价率）2，即可列出关于的一元二次方程，可得答案．
【详解】解：∵今年月份售价为万元，月份售价为万元．这两个月售价的月均下降率是，
∴．
故选：B．
6. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，当，，三点共线时，的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得出，等边对等角得出，根据三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，则，
∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，三点共线，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的形状，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A. 抛物线的对称轴为直线B. 抛物线的顶点坐标为
C. ，两点之间的距离为D. 当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．
9. 嘉琪同学在研究二次函数（为常数）的性质时得到以下结论：
①这个函数图像的顶点始终在直线上；
②当时，随的增大而减小，则的取值范围为；
③点与点在函数图像上，若，则；
④存在一个的值，使得函数图像与轴的两个交点和函数图像的顶点构成等腰直角三角形．
其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得顶点坐标为，所以这个函数图象的顶点始终在直线上，即可判断①，抛物线开口向下，对称轴为直线，由此可判断②，由抛物线开口向下，可判断③，假设存在一个h的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，令，得，其中，进而可求解即可判断④．
【详解】解：抛物线（为常数），
①∵顶点坐标为，
∴这个函数图象的顶点始终在直线上，
故结论①正确；
②∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
∴a的取值范围为，
故结论②正确；
③∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远的点函数值越小，
∵点与点在函数图像上，若，
∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，
∴，
故结论③正确；
④假设存在一个h的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，
令，得，其中，
解得：，．
∵顶点坐标为，且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，
∴，
解得：或1，
当时，二次函数，此时顶点为，与x轴的交点也为，不构成三角形，舍去；
∴存在，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，
故结论④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）

A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的底边为定值，
∴使得底边上的高最大时，面积最大，
点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，

∵，的半径为1，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为______．
【答案】或
【解析】
【分析】此题考查用一元二次方程解决问题，考查学生的分析问题和探索问题的能力．此题将规定的一种新运算引入题目中，题型独特、新颖，难易程度适中，解题的关键是理解题意．
在此题中，，代入所给公式得：，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
【详解】解：据题意得，

，
，
或．
故答案为：或．
12. 小明做试验：在平整的桌面上摆放一张的正方形白纸，并画出正方形的内切圆，随机将一把大米撒到白纸上（若大米落在白纸外，则重新试验），统计落在圆内的米粒数a、落在正方纸上的米粒数b．当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在常数________（结果保留）附近摆动．
【答案】##0.25π##
【解析】
【分析】当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在附近摆动．
【详解】解：如图，正方形ABCD的内切圆圆心为O，点E和点F为两个切点，
∵正方形ABCD的内切圆圆心为O，
∴ OE⊥BC，OF⊥AD
∵ADBC
∴OF⊥BC
∴点E、O、F在同一条直线上
∵∠A＝∠B＝∠BEF＝90°，
∴四边形ABEF是矩形
∴EF＝AB＝30cm
∴OE＝OF＝15cm
∴（cm2）
∴
由题意可知当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在附近摆动．
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的内切圆、正方形的性质、圆的面积、正方形的面积等知识，判断出大米落在圆内的频率会在附近摆动是解题的关键．
13. 如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为，点的坐标是．若将此透明胶片进行平移后，使点的坐标为，则此时抛物线的解析式为_________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，坐标与图形变化—平移，先根据平移前后点的坐标判断出平移方式，再根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案．熟练掌握平移规律是解题关键．
【详解】解：∵点的坐标是．若将此透明胶片进行平移后，使点的坐标为，
∴抛物线的平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后的解析式为．
故答案为：
14. 如图，点O是正六边形的中心，以为边构造正五边形，则___________．

【答案】##48度
【解析】
【分析】连接，根据正六边形的性质得出是等边三角形，得到，再根据正五边形的内角和求出的度数，即可得到答案．
【详解】解：连接,

∵点O是正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．
15. 商场卫生间旋转门锁的局部图如图①所示，图②是其工作简化图，其中，在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达处）．旋转一定角度，使得把手底端恰好卡在门边，此时底端，的竖直高度差为，则的长度是______．当把手旋转到时，此时，则点与点的高度差是______．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】过作于点，延长，交于点，可得四边形是矩形，设，根据矩形的性质，利用勾股定理列方程求出的值可得的长，利用证明，根据全等三角形的性质得出，进而求出的长即可得答案．
【详解】如图，过作于点，延长，交于点，则，，

∴四边形是矩形，
∴，
∵底端，的竖直高度差为，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得：．
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴
在和中，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：，
【点睛】本题考查旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
16. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③；④若点为的中点，则，其中一定正确的序号是______．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】根据点是的内心，可得，故①正确；连接，可得，从而得到，进而得到∠BEC=120°，故②正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，故③正确；，得出，再由点为的中点，则成立，故④正确．
【详解】解：∵点是的内心，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵点是的内心，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵点是的内心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵点是的内心，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴线段经过圆心O，
∴成立，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心的定义，圆周角定理，垂径定理及其推论是解题的关键．
三、解答题（本题有7小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
（1）先把原方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
【小问1详解】
解：
解得：，．
【小问2详解】
解得：，．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为，，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
（1）根据一元二次方程根的判别式可得，由此即可得出答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入得出关于的方程，解之即可．
【小问1详解】
证明：∵
，
∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：由根与系数的关系，得，，
由，得，
解得．
19. 为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是_________．
（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区A和景区B门票的情况，即可求解.
【小问1详解】
解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回，
∴每张卡片抽到的概率都是，
设小明恰好抽到景区A门票为事件，则,
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意，画树状图如下：

∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，
∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为；
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
20. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．

（1）若，求的度数；
（2）若,，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理．
（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
小问2详解】
∵，,，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴在中，．
21. 如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接、，证出，即可得出结论；
（2）根据，分别求出和即可得出答案．
【小问1详解】
连接、，

，
，
，
，
，
点是弧的中点，
，
，
，
为半径，
是的切线；
【小问2详解】
，，
为等腰直角三角形，
设，则，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理．
22. 如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．

（1）求点的坐标；
（2）若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
【答案】（1）
（2）或或
【解析】
【分析】（1）令求得点横坐标即可解答；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点P作轴，垂足为H，可得；由题意可得，解得；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可．
【小问1详解】
解：令，则有：，解得：或，
∴．
【小问2详解】
解：∵抛物线过
∴抛物线的对称轴为，
设，
∵，
∴,
如图：连接，则，
∴，
∴切线为边长的正方形的面积为，
过点P作轴，垂足为H，则：，
∴
∵，
∴，

假设过点,则有以下两种情况：
①如图1：当点M在点N的上方，即

∴，解得：或，
∵
∴；
②如图2：当点M在点N的下方，即

∴，解得：，
∵
∴；
综上，或．
∴当不经过点时，或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
23. 某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，从箱外向箱内投弹珠，并建立了如图所示的平面直角坐标系(正方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行)某同学将弹珠从点处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线(单位长度为)的一部分，且抛物线经过，已知．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子；
（3）若在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，直接写出m的值；
（4）若弹珠投入箱子后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）弹珠能投入箱子，见解析，
（3）m值为或
（4）弹珠能弹出箱子，见解析．
【解析】
【分析】（1）将点和代入解方程即可算出b和c，然后将一般式转化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）令抛物线的纵坐标为2，判断所得的横坐标是否介于点D和点C的横坐标之间，若在则可以投进箱子，若不在，则不能投进箱子；
（3）根据（1）可知，当时，抛物线有最大值4，故不在取值范围内，然后根据最值要求，对所在位置进行分类讨论，位于对称轴左侧或者右侧，进行计算即可；
（3）根据抛物线L中,可得到弹珠落点的坐标，因为抛物线L形状相同的抛物线M相同，则可假设抛物线M的表达式为，然后将落点坐标代入即可算出抛物线M的表达式，然后令抛物线M中，可得到对应纵坐标，与点C纵坐标进行对比计算，若大于点C纵坐标，则可弹出，若小于点C纵坐标，则不能弹出．
【小问1详解】
将和代入可得：
，解得，
∴抛物线的解析式为；
，
顶点坐标为；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴点D横坐标是2，点C横坐标是4，
令，则，解得，（舍）.
∵，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子；
【小问3详解】
若，即，在此情况下，
当时，，解得，（舍）；
若，在此情况下，
当时，，解得，（舍）.
综上所述，m的值为或
【小问4详解】
弹珠能弹出箱子；
理由：当时，，解得，(舍)，
∴抛物线L与x轴正半轴的交点为，
根据题意设抛物线M的解析式为.
把点代入，解得，.
又∵抛物线M的对称轴在直线的右侧，
∴，
∴抛物线M的解析式为：．
当时，，
∴弹珠能弹出箱子.