九年级上学期期末数学试题 (37)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (37)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 2022年2月4日中国将举办第24届冬季奥林匹克运动会，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，下面是本届冬奥会及往届冬奥会的会徽，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2. 一元二次方程的实数根是（ ）
A. 0或1B. 0C. 1D. ±1
【答案】A
【解析】
【分析】先移项得到x2－x＝0，再把方程左边分解得到x（x－1）＝0，原方程转化为x＝0或x－1＝0，然后解一次方程即可．
【详解】∵x2－x＝0，
∴x(x－1)＝0，
∴x＝0或x－1＝0，
∴x1＝0，x2＝1.
故答案为C.
【点睛】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 概率很小的事件是不可能事件
B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C. 某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
D. 只要试验的次数足够多，频率就等于概率
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率意义、随机事件、中心对称的知识逐项分析即可解答．
【详解】解：A、概率很小的事件是随机事件，故此选项错误；
B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”这个事件是随机事件，故此选项错误；
C. 某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，故此选项错误；
D、只要试验的次数足够多，频率就无限接近于概率，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要查考了概率的意义、随机事件、中心对称等知识点，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
4. 从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，只要图形中两者相等即可配成一个圆锥体即可．
【详解】选项A、C、D中，小圆的周长和扇形的弧长都不相等，故不能配成一个圆锥体，只有B符合条件．
故选B．
【点睛】本题考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
5. 港珠澳大桥桥隧全长55千米，其中主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过时，汽车的平均速度 v（千米/时）与时间 t（小时）的函数关系式为（ ）
A. B. C. v=29．6tD.
【答案】D
【解析】
【分析】先找到要行驶的路程，再由等量关系“速度＝路程÷时间”列出关系式即可．
【详解】解：由主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过知行驶的路程为29.6千米，得到汽车的平均速度 v（千米/时）与时间 t（小时）的函数关系式为
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
6. 下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断
【详解】解：A、，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，错误；
B、（x＞0），故当图像在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，正确；
C、，k=1＞0，分别在一、三象限里，每个象限内y随x的增大而减小，错误；
D、（x＞0），故当图像在对称轴右侧，y随着x的增大而减小，错误．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想是解答本题的关键.
7. 如图，已知是⊙O的直径，是弦，若，则 等于（ ）
A. 16°B. 24°C. 34°D. 46°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆周角定理由是的直径得到 ，再根据互余得到，然后根据圆周角定理求解．
【详解】解：是的直径，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，熟悉相关性质是解题的关键．
8. 一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2(k1•k2≠0)的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是( )
A. ﹣1＜x＜0或x＞4B. ﹣1＜x＜4
C. x＜﹣1或x＞4D. x＜﹣1或0＜x＜4
【答案】D
【解析】
【分析】观察函数图象即可求解．
【详解】解：观察函数图象知，若y1＞y2，则x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜4．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据函数图象的位置关系，确定x的取值范围．
9. 如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接,由题意可证明，利用相似三角形线段成比例即可求得OC长，即得点的坐标．
【详解】如图，连接，因为轴，
绕点顺时针旋转得到，
所以，
,
故答案为B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，找到是解题的关键．
10. 已知二次函数的图象如图所示，若方程的两个根为，，下列结论中：①；②；③；④．其中所有正确的结论有（ ）
A. ①②B. ③④C. ②③④D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】由方程的两个根为，方程变为，比较系数得，①，故①不正确，②正确，③③正确，④换成计算即可确定④正确．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，，
∵方程的两个根为，，
∴，
∴，
比较系数得：，
①，故①不正确，
②正确，
③，③正确，
④，④正确．
故选择：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，掌握一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，解题关键是找出b,c与的关系．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 当_____时，代数式与的值互为相反数．
【答案】或
【解析】
【分析】根据互为相反数的定义列方程式，然后把方程化为一般式后，解一元二次方程即可．
【详解】∵代数式与的值互为相反数，
∴
整理：
∴
∴，
∴当或2时，代数式与的值互为相反数．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相反数的定义和一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．
12. 如图，在Rt△ABC中，，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝__________．
【答案】9
【解析】
【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.
【详解】解：∵，,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BCD∽△BAC,
∴ ,
∴,
∴BD=9.
故答案为：9.
【点睛】本题考查利用相似三角形的性质求线段长，证明两三角形相似注意题中隐含条件，如公共角，对顶角等，利用相似的性质得出比例式求解是解答此题的关键.
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,3，点的坐标为2,1，点的坐标为．经画图操作可知的外心坐标可能是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了三角形外心的知识．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心．
【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的交点即为所求的的外心，
的外心坐标是．
故答案为：．
14. 如图，反比例函数的图象与以原点为圆心的圆相交，其中，则图中阴影部分面积为________（结果保留π）.
【答案】
【解析】
【分析】根据，即可求出圆的半径和∠AOB，根据反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形可得：图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积，利用扇形面积公式即可解答.
【详解】
如图，∵
∴∠AOD=60°，OA=2
∵A、B关于直线y=x对称，
∴∠AOB=2×(60°-45°)=30°
∵反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形
∴S阴影=S扇形AOB=
故答案为
【点睛】本题考查了反比例函数和圆，熟练掌握反比例函数的性质以及扇形的面积公式是解题关键.
15. 在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．
【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，
以为圆心为半径作圆，则点在圆上，
,
线段长度的最小值为: ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）移项整理后，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程整理后，利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：
解得：；
【小问2详解】
解：
整理得：
∴a＝1，b＝2，c＝－4
∴
∴
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
17. 课堂上，老师在平面直角坐标系中画出了，且三个顶点，，均在边长为1的正方形网格的格点上，如图所示．
请你按照老师的要求解答下列问题：
（1）作出绕点顺时针旋转90°后的，并直接写出点的坐标．
（2）作出以点为位似中心，的位似图形，使与的位似比为，且与位于点的两端．
（3）点，之间的距离为_________．
【答案】（1）画图见解析，；（2）见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）先将中的点绕点顺时针旋转90°后，得到，再依次连接，根据图象直接解出点的坐标即可；
（2）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，根据题意与位于点的两端作图即可；
（3）由（2）得到，再利用勾股定理即可解题．
【详解】解：（1）如图，即是所作的图形，；
（2）如图，即是所作的图形；

（3）由（2）知，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—旋转变换、位似变换、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18. 小贤同学总是不爱整理自己的物品，他的床头抽屉里放着3只白袜子和1双黑袜子，这些袜子除了颜色不同外没有任何区别，并且袜子在抽屉里是散开混在一起的．
（1）若小贤从抽屉里随机摸出一只袜子，则摸到白袜子的概率是__________．
（2）若小贤从抽屉中随机一次性摸出两只袜子，请用列表法或画树状图法求小贤摸出的袜子恰好颜色相同的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）抽屉里有3只白袜子和2只黑袜子，共5只袜子，据此解得摸到一只白袜子的概率；
（2）用列表法先分析从5只袜子中随机摸出两只袜子的所有可能情况，再找出摸出的两只袜子恰好颜色相同的所有结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：（1）摸到白袜子的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知，共有20种等可能的结果，其中恰好颜色相同的结果有8种，
∴恰好颜色相同的概率．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19. 如图，的直径，，为上一点，过点作，垂足为，且为的切线．
（1）求证：平分．
（2）求的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）S△PAD．
【解析】
【分析】（1）连结OD， 由PD是圆O的切线，可得OD⊥PD，由PD⊥AC，可得OD∥AC，利用两直线平行内错角相等∠ODA=∠DAP，由半径OA=OD可得∠ODA=∠OAD，利用等量代换∠DAP=∠DAO即可；
（2）连结BC，延长DO交BC于F，过A作AE⊥OD于E，由AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，由勾股定理BC=，可证四边形DPCF为矩形，由性质OF⊥BC，可得BF=CF，可求PD=4，再证四边形DPAE也是矩形，利用性质可得DE=PA ,AE=DP=4，由AO=OB，利用勾股定理OE=，PA=DE=2，利用面积公式即可求出面积．
【详解】解：（1）连结OD，
∵PD是圆O的切线，
∴OD⊥PD，
∵PD⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAP，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠DAP=∠DAO，
∴AD平分∠BAP；
（2）连结BC，延长DO交BC于F，过A作AE⊥OD于E，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，
由勾股定理BC=，
∵∠FDP=∠DPC=∠PCF=90°，
∴四边形DPCF为矩形，
∴OF⊥BC，
∴BF=CF=，
∴PD=4，
∵AE⊥OD，
∴∠EDP=∠DPA=∠DEA=90°，
∴四边形DPAE也是矩形，
∴DE=PA ,AE=DP=4，
∵AO=OB=，
在Rt△OEA中，
由勾股定理OE=，
∴DE=OD-OE=5-3=2，
∴PA=DE=2，
∴S△PAD=12AP⋅PD=12×2×4=4．
【点睛】本题考查圆的切线性质，等腰三角形性质，角平分线的判定，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，掌握圆的切线性质，等腰三角形性质，角平分线的判定，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．
20. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）50元；（2）八折
【解析】
【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）设每件的售价定为x元，
则有：，
解得：(舍)，
答：每件售价为50元；
（2）设该商品至少打m折，
根据题意得：，
解得：，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．
21. 某药研所研发了一种治疗某种疾病的新药，经测试发现：新药在人体的释放过程中，10分钟内（含10分钟），血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的关系满足；10分钟后，y与x的关系满足反比例函数．部分实验数据如表：
（1）分别求当和时，y与x之间满足的函数关系式．
（2）据测定，当人体中每毫升血液中的含药量不低于3微克时，治疗才有效，那么该药的有效时间是多少？
【答案】（1）当时，；当时，；（2）99分钟
【解析】
【分析】（1）根据题意及图表数据列式求解即可求解．
（2）将y=3代入，分别得出时间，求时间差即可得出结果．
【详解】解：（1）当时，将代入，
解得，即；
当时，将代入中，
解得，即．
（2）当时，，
解得；
当时，，解得，
∴有效时间为（分钟）．
【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数及反比例函数的解析式及函数的实际应用，解题的关键是理解题意并通过题意获得解决问题所需的相关数据．
22. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数经过点，且与一次函数的图象交于点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式．
（2）在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）一次函数解析式为，二次函数解析式为：；（2）存在，点的坐标为（0，4）或（0，10）．
【解析】
【分析】（1）由一次函数的图象与轴交于点，可求B（0，-2），由一次函数的图象过点，可求，一次函数解析式为，由经过点，点，代入得，解方程组求出即可；
（2）存在，先求出OA=2,OB=2,∠AOB=90°，由勾股定理AB=，BC=，分类考虑当点M为直角顶点时，当点C为直角顶点时，利用相似三角形及其性质，可求BM=6或12，即可求出点M的坐标．
【详解】解：（1）∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当x=0时，y=-2，B（0，-2），
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为，
∵经过点，点，
代入得，
解方程组得，
∴二次函数解析式为：；
（2）存，理由如下，
∵已知一次函数的图象与轴交于点，
∴y=0，x=2，
∴A(2,0),B(0,-2),
∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理AB=，
由勾股定理BC=，
①当点M为直角顶点时，CM⊥y轴，CM∥OA，
∴∠MCB=∠OAB，∠MBC=∠OBA，
∴△CMB∽△AOB，
∴即，
∴，
∴OM=MB-OB=6-2=4，
∴M（0，4），
②当点C为直角顶点时，
∴CM⊥BC，
∴∠MCB=∠AOB=90°，∠MBC=∠ABO，
∴△MCB∽△AOB，
∴即，
∴，
∴OM=MB-OB=12-2=10，
∴M（0，10），
∴以点，，为顶点的三角形与相似点的坐标为M（0，4）或（0，10）．
【点睛】本题考查一次函数解析式与二次函数解析式，等腰直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握一次函数解析式与二次函数解析式，等腰直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题关键是分类考虑以点C与点M为直角时的相似三角形．
23. 如图1，已知中，，，，将绕点逆时针旋转一定的角度得到．
（1）若，则的长为________．
（2）如图2，若，直线分别交，于点，，当为等腰三角形时，求的长．
（3）如图3，若，为边的中点，为的中点，请直接写出的最大值．
【答案】(1)5 ；(2)1或； (3).
【解析】
【分析】(1)根据勾股定理，得AB= =5，根据旋转的性质，AB==5，利用△是等腰直角三角形即可求解；
(2)分AG=AH，GH=GA，HG=HA三种情形画出图形求解；
(3)连接BM，取AB的中点D，连接DC，DN，根据两点之间，线段最短原理计算即可.
【详解】(1)如图1，根据勾股定理，得AB= =5，
根据旋转的性质，AB==5，
∵，
∴△是等腰直角三角形，
∴==5 ；
(2)如图4，当GH=GA时，
连接BH，
∵BC= ，BH=BH，
∴△BCH≌△H（HL），
∴CH=H，
∵GH=GA，
∴∠A=∠GHA，
∵∠A=∠，
∴∠=∠GHA，
∴B∥HA，
∴∠BG=∠A，∴∠BG=∠，
∴GB=G，
∵H=+，
∴H=4+CH，
∵G=BG=5-GA=5-GH，
∴4+CH-G =GH，
∴4+CH-5+GH =GH，
∴CH=1；
如图5，当AH=GA时，
连接BH，
∵BC= ，BH=BH，∴△BCH≌△H（HL），
∴CH=H，
∵AH=GA，
∴∠AHG=∠AGH，
∴∠BG=∠GB，
∴B=G=5，
∴=G-=5-4=1，
∴BG==，
∴AG=AH=AB-BG=5-，
∴CH=AC-AH=4-(5-)=-1；
当HG=HA时，CH=4，如图6，此时三角形AGH不存在；
综上所述，CH的长为1或-1；
(3)如图7， 连接BM，
取AB的中点D，连接DC，DN，
∵=3，，
∴BM==，
∵DN是△ABM的中位线，
∴DN=，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴DC=，
∵DC+DN≥CN，
∴当DC，DN，CN共线时，CN最大，
此时，CN的最大值为=.
.
时间x（分钟）
…
10
15
…
含药量y（微克）
…
30
20
…