九年级上学期期末数学试题 (107)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (107)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把x=0代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程．
【详解】解：把代入一元二次方程得：
，
解得，，
∵，
∴的值为，
故选：．
3. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，，则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【详解】解：连接，
设，
∵，
∴，
∵，
∴由垂径定理可知：，
由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选C.
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．
4. 在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有（ ）
A. 15个B. 20个C. 21个D. 24个
【答案】D
【解析】
【分析】用球的总个数乘以摸到黄色球的频率的稳定值即可．
【详解】解：估计箱子里黄色球有（个），
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5. 平面直角坐标系中，二次函数图像上有三点，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断
【详解】∵ 二次函数
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
∴ 二次函数在上，y随x的增大而减小
∵二次函数图像上有三点，，，
∴点关于对称轴的对称点为
∴根据增减性得：
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，关键是掌握二次函数图像的性质．
6. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后三角形内角和定理得出，即可得出答案．
【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；解题的关键是熟练掌握等边对等角．
7. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A. 120°B. 180°C. 240°D. 300°
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故选B．
考点：圆锥的计算
8. 如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于B，则的面积为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数y系数几何意义得到，，然后利用进行计算即可．
【详解】解：∵轴于点A，交于点B，
∴，，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
9. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在上，交于点N，则的长为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设正方形的边长，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
10. 如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】三角形外心是三边垂直平分线的交点，设的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线上，由图可知线段的垂直平分线经过点，由此可得，过点M作于点D，连接，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：设的外心为M，
、，
M必在直线上，
由图可知，线段的垂直平分线经过点，
，
如图，过点M作于点D，连接，
中，，，
由勾股定理得：，
即外接圆半径的长为．
故选D．
【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出外心的位置是解题的关键．
11. 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设点A的坐标为，．则．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图像上点的坐标的特征、矩形的性质等知识点，灵活利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
12. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③正确；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D
【点睛】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 若2是关于的方程的一个根，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解的意义是解题的关键．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，
解得，
故答案为：4．
14. 把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】举出所有情况，看正面都朝上情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是．
故答案为：．
考点：列表法与树状图法．
15. 点（2，3）绕原点逆时针旋转90°对应点的坐标是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先画出平面直角坐标系，再根据旋转的性质即可得出答案．
【详解】解：由题意，画出图形如下，其中点的坐标为：
过点作轴于点，则，
因为点分别是点绕原点逆时针旋转的对应点，
所以轴，
又因为点位于第二象限，
所以点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求绕原点逆时针旋转的点坐标，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
16. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．
【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
17. 如图所示，点B，A分别在反比例函数和图象上，轴，点C在x轴的负半轴上，若，则的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】设A、B点的坐标，利用纵坐标相等和列等式计算即可．
【详解】解：设A点坐标为，B点坐标为，
∴
∵轴，
∴
∵
∴，
∵点在上，
∴
，
，
∵点B，A分别在反比例函数和的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，能够运用坐标求线段长度是解答本题的关键．
18. 如图，抛物线交轴于，两点；将绕点旋转得到抛物线，交轴于；将绕点旋转得到抛物线，交轴于，，如此进行下去，则抛物线的解析式是_________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与几何变化．将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到轴的距离相等，且，照此类推可以推导知道抛物线的顶点，即可求得抛物线的解析式．
【详解】解：，
配方可得，
顶点坐标为，
坐标为
由旋转得到，
，即顶点坐标为，；
照此类推可得，顶点坐标为，；
顶点坐标为，；
，
抛物线的顶点坐标是，，．
抛物线的解析式是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
（1）使用配方法解题即可；
（2）使用因式分解法解题即可．
【小问1详解】
解：，
解得：，；
【小问2详解】
解：
或，
解得：，．
20. 在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作图树状图，可知共有6种可能情况，而满足条件的有2种情况，进而求概率即可．
【详解】解：根据题意，可作树状图如下，
由树状图可知，共有6种可能情况，满足条件的有2种情况，
所以，得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率的知识，能够正确作出树状图是解题关键．
21. 边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若CF的长为1，求CE的长．
【答案】（1）见解析 （2）CE=2
【解析】
【分析】（1）结合图形由∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°推出∠BAE=∠FEC，根据正方形的性质得到∠B=∠C=90°，从而推出△ABE∽△ECF；
（2）根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可．
【小问1详解】
证明：∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF；
【小问2详解】
解：∵△ABE∽ECF，
∴，
∴，
解得CE=2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应从图形入手，寻找判定相似三角形的条件（∠BAE=∠FEC，∠B=∠C=90°），再根据相似三角形的性质进行求解，注意运用数形结合的思想方法．
22. 脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=-2x+160；
（2）销售单价定为55元时，该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元
【解析】
【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【小问1详解】
解：设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，
将点（30，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：
，
解得：．
∴函数关系式为y=-2x+160；
【小问2详解】
解：由题意得：
w=（x-30）（-2x+160）
=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴当x=55时，w有最大值，此时w=1250．
∴销售单价定为55元时，才能使销售该商品每天获得利润w（元）最大，最大利润是1250元．
【点睛】本题考查了二次函数和二元一次方程组在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积；
（3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）、；
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值；
（2）求得C的坐标，然后根据求得即可；
（3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．
【小问1详解】
解：把，两点的坐标代入，
得，
，解得，
则、，
把代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵一次函数的图象与y轴交于点C，
∴，
∴，
∵、，
∴；
【小问3详解】
解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，
∵，
∴此时的值最小，
设直线的解析式为，
把点，的坐标代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得：，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点B关于x轴的对称点，求得对称点的坐标．
24. 如图，中，，点D为斜边的中点，以为直径作，分别与边交于点E、F，过点E作，垂足为G．
（1）求证：是的切线；
（2）已知的半径为6，若，求BE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，通过直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到，即可求证；
（2）连接，由圆的性质以及矩形的判定可得，四边形为矩形，利用矩形的性质以及勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵中，D为边中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴EG是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了切线的判定与性质，矩形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
25. 已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
（1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含a的代数式表示）
（2）若a＞0，且P（m，y1）与Q（5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＞y2，求m的取值范围；
（3）如图，当a＝1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线BC下方抛物线上的一个动点，AD交BC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值．
【答案】（1）对称轴x＝1，顶点坐标（1，﹣4a）；（2）m＜﹣3或m＞5；（3）当n＝时，S取得最大值，最大值为．
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解即可．
（2）分两种情形：点P在对称轴的右侧或左侧，分别构建不等式求解即可．
（3）过点A作AF//y轴交BC于F，过点D作DH⊥x轴于H，交y轴于G．则△DEG∽△AEF，根据，构建二次函数，利用二次函数的性质，求解即可．
【详解】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x+1﹣1）﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点坐标（1，﹣4a），对称轴x＝1．
（2）∵a＞0，抛物线的对称轴x＝1，
∴当x≥1时，y随x的值的增大而增大，
当点P（m，y1）在对称轴的右侧，
∵y1＞y2，
∴m＞5．
当P（m，y1）在对称轴的左侧时，即m＜1时，
作点P关于对称轴的对称点Q（2﹣m，y1），
∵y1＞y2，
∴2﹣m＞5，
解得m＜﹣3，
综上所述，m的取值范围为m＜﹣3或m＞5．
（3）a＝1时，抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
由y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
由x＝0，得到y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
过点A作AF//y轴交BC于F，过点D作DH⊥x轴于H，交y轴于G．则△DEG∽△AEF，
∴，
∵A（﹣1，0），
∴F（﹣1，﹣4），
∴AF＝4，
设D（x，x2﹣2x﹣3），则G（x，x﹣3），
∴DG＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴，
∵，
∴x＝时，S取得最大值为，
此时D为（，﹣），
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣，
由，解得，
∴n＝，
故当n＝时，S取得最大值，最大值为．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70