九年级上学期期末数学试题 (7)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (7)，共25页。试卷主要包含了选择题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位可得，再向下平移3个单位可得，
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．
2. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，
则sinA的值为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA= 求解即可．
【详解】∵∠C=90°，BC=3，AC=4
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可．
3. 如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ）
A. 30°B. 45°C. 55°D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得．
【详解】解：，，
，
由旋转得，，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
4. “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，为的直径，弦于E，寸，弦寸，则的半径为多少寸 （ ）
A. 5B. 12C. 13D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】连接，构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】解：连接，如图所示，
设直径的长为，则半径，
为的直径，弦于，，
，
而，
根据勾股定理得，
解得，
即的半径为13寸．
故选C．
【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
5. 如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证得ABP∽△PCD，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可求得CD的长．
【详解】解：∵∠APC=∠ABP+∠BAP=60+∠BAP=∠APD+∠CPD=60+∠CPD，
∴∠BAP=∠CPD．
又∵∠ABP=∠PCD=60，
∴ABP∽△PCD．
∴，即．
∴CD=．
故选B．
6. 反比例函数的图象在直角坐标系中的位置如图，若点，，的在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴，
∴点在第二象限，
∴，
∵，
∴，两点在第四象限，
∴，
∵函数图象在第四象限内为增函数，
∴．
∴，，的大小关系为．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握反比例函数图象增减性，当时，该反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大．
7. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A. 12B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，则，再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得，，再根据可得是等边三角形，则，最后结合三角函数即可求解．
【详解】解：连接，交于点M，连接，
∵六边形是的内接正六边形，
∴，，
∴，
∵经过圆心O，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
8. 如图，抛物线与x轴交于点和B，下列结论：① ；②；③；④．其中正确的结论个数为 （ ）
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
【答案】B
【解析】
【分析】由图像知，，根据对称轴在y轴右侧，根据左同右异，得，即可判断①错误；根据，得，判断②错误；由抛物线与x轴交于点，得，推出，判断③错误；根据抛物线对称轴，确定点B的横坐标小于3，进而推出，判断④正确．
【详解】解：由图像知，开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴在y轴右侧
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，，
∴，故②正确；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵抛物线与x轴交于点，对称轴，
∴点B的横坐标小于3，
∴，故④正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了利用二次函数判断式子的符号，正确理解二次函数图像与字母系数的关系，对称轴公式，图像的对称性由函数图像得到字母的符号是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若，则___________．
【答案】####
【解析】
【分析】根据，得到，代入求值即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，分式求值，对分式进行正确的变形是解题关键．
10. 已知一个扇形的弧长为，圆心角是150°，则它的半径长为______，扇形的面积为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设半径为r㎝，直接用弧长公式解方程可求出半径；运用半径和圆心角度数据扇形面积公式可求出面积．
【详解】设扇形的半径为r㎝,据弧长公式得：，解得r=6；
扇形的面积为：（㎝2）．
故答案为：、．
【点睛】本题考查扇形面积弧长．其关键是理解记准扇形面积弧长公式．
11. 关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为____________．
【答案】4
【解析】
【分析】把代入原方程，解关于n的一元一次方程即可．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程有一根为，
∴，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义，灵活代入计算是解题的关键．
12. 如图，中，，于，，，则的长为___．
【答案】2
【解析】
【分析】证明，得到，代入已知数据，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
13. 如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，则的度数是_________．
【答案】##20度
【解析】
【分析】连接，则，由圆周角定理得：，进而求出的度数．
【详解】连接
∵
∴
∵过点A作的切线与的延长线交于点P
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质和圆周角定理，解题的关键是连接，运用相关定理求解．
14. 如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD=8cm，∠CDE=60°，则点C到底座DE的距离为__________cm（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作CM⊥DE，利用正弦函数即可求解．
【详解】如图，过点C作CM⊥DE，点C到底座DE的距离为CM
∵CD=8cm，∠CDE=60°，
∴CM=8sin60°=8×=4
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意构造直角三角形求解．
15. 平面直角坐标系中，已知抛物线与直线如图所示，有下面四个推断：
①二次函数有最大值；
②抛物线C关于直线对称；
③关于x的方程的两个实数根为，；
④若过动点垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点和，则当时，m的取值范围是．
其中所有正确推断的序号是___________．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】根据函数的图象逐一判断即可得到结论．
【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，
∴二次函数有最大值，故①正确；
观察函数图象可知二次函数的图象的对称轴在和之间，不是关于直线对称，故②错误；
观察函数图象可知和的交点横坐标为：和，方程的两个实数根为，，故③正确；
当或时，直线在抛物线上方，
∴m的取值范围为：或，故④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数综合，熟练运用函数图象上点的坐标特，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____．
【答案】．
【解析】
【分析】据折叠可得是正方形，，，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证∽，三边占比为3：4：5，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．
【详解】过点作，，垂足为、，
由折叠得：是正方形，，
，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，
，
解得：，
∵，，
∴∽，
∴，
设，则，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．
三、解答题（本题有10个题，共68分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】将各个特殊角三角函数值代入求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．
18. 已知：如图，在中，D为边的中点，连接，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：∵D为边的中点，，
∴，
∵，，
∴
∴，即，
解得：（负值舍去），
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．
19. 如图，在中，，平分交于点D，于点E．若，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质；
先根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质可得，即可求出的长度，再根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出．
【详解】解：∵，，，
∴在中，，
在中，根据勾股定理可得：，
∵平分， ，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
20. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
【答案】水管长为2.25m．
【解析】
【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
【详解】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a＝．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x＝0，则y＝＝2.25．
故水管长为2.25m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
21. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有_______名学生参与了本次问卷调查；
（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】（1）
（2）99
（3）小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为
【解析】
【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；
（2）用“陶艺”人数除以总人数再乘以即可求解；
（3）用画树状图法求得概率即可求解．
【小问1详解】
解：（人）
故答案：．
【小问2详解】
“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，
故答案为：99．
【小问3详解】
把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C
共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．
22. 教育部颁布《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据，，）
（1）求点B距水平地面的高度；
（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
【答案】（1）点B距水平地面的高度为5米
（2）该公司的广告牌不符合要求，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点B作于点M，根据坡度得到，设米，米，利用勾股定理求得米，进而解方程即可；
（2）作于点N，则四边形是矩形．分别在和中解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
解：过点B作于点M，
由题意可知，，
设米，米，
则米
∴，解得，
∴米，米，
即点B距水平地面的高度为5米．
【小问2详解】
解：作于点N，
∵，，
∴四边形是矩形．
∴米，米．
在中，，
∴米，米，
在中，，米，
∴米
∴米
∵，
∴该公司的广告牌不符合要求．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，涉及矩形的判定与性质、勾股定理，理解题意，作辅助线构造直角三角形和矩形进行求解是解答的关键．
23. 如图，内接于，是的直径，，垂足为D．
（1）求证：；
（2）已知的半径为5，，求长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）由垂径定理，得到，进而得到，三线合一，得到，等边对等角，得到，即可得出；
（2）先求出的长，勾股定理求出的长，垂径定理得到即可．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵的半径为5，，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
24. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中．
（1）求的值；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点在轴上，且的面积为16，求点的坐标．
【答案】（1），；
（2）或；
（3）或．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握面积的计算方法是解答本题的关键．
（1）根据点的坐标求的值即可；
（2）根据函数图象可直接写出不等式的解集；
（3）设，利用，求出的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得，
，；
【小问2详解】
解：由反比例函数图象的对称性可得点的坐标为，
由图象可得：不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：由反比例函数图像的中心对称性知点，
设，则，
解得，
或．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
（3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
【答案】（1）
（2）
（3）面积的最大值为2
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可；
（3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：把代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
【小问3详解】
解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合．
26. （1）【问题呈现】
如图1，和都是等边三角形，连接，．易知_________．
（2）【类比探究】
如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则_________．
（3）【拓展提升】
如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．
①求的值；
②延长交于点，交于点．求的值．
【答案】（1）1；（2）；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质及证明，从而得出结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质，证明，进而得出结果；
（3）①先证明，再证得，根据相似三角形的性质进而得出结果；
②在①的基础上得出，进而，再根据勾股定理及正弦的定义进一步得出结果．
【详解】解：（1）∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（2）∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）①，
，
，
，
，，
，
，
；
②由（1）得：，
，
，
，
.