2024年中考数学真题分类汇编：知识点55 涉及内心外心的试题2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点55 涉及内心外心的试题2024（解析版），共8页。

A. 1B. 2C. D.
【答案】D【解析】如图，连接，，作于G，

∵，，∴是等边三角形，∴，∵，
∴，∴，即它的内切圆半径为，故选D．
1．【2024·滨州】刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（ ）
A．d＝a+b−cB．d=2aba+b+c
C．d=2(c−a)(c−b)D．d＝|（a−b）（c−b）|
【答案】D【解析】本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案．∵三角形ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5．选项A：d＝a+b−c＝2，选项B：d=2aba+b+c=2，选项C：d=2(c−a)(c−b)=2，选项D：d＝|（a−b）（c−b）|＝1，很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项．故选D．
另附选项AB的证明：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F．易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r，则EC＝CD＝r，∴AE＝AF＝a−r，BD＝BF＝b−r，∵AF+BF＝AB，∴a−r+b−r＝c，∴r=a+b−c2，∴d＝a+b−c．故选项A正确．∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB，∴12ab=12ar+12br+cr，∴ab＝r（a+b+c），
∴r=aba+b+c，即d2aba+b+c．故选项B正确．故选D．
二、填空题
江苏省
2．【2024·苏州】铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝23，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝ ．（结果保留π）
【答案】8π【解析】如图，过点C作CM⊥AB于点M，则AM＝BM=12AB=3，∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，∴∠AOB=360°6=60°，∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∵点O是△AOB的内心，∴∠CAB＝∠CBA=12×60°＝30°，∠ACB＝2∠AOB＝120°，在Rt△ACM中，AM=3，∠CAM＝30°，
∴AC=AMcs30°=2，∴AB的长为120π×2180=43π，∴花窗的周长为43π×6＝8π．故答案为：8π．
三、解答题
上海
25．【2024·上海】在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且AE=13AB．
（1）如图1所示，点F在边CD上，且DF=13CD，联结EF，求证：EF∥BC；
（2）已知AD＝AE＝1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长．
解：（1）证明：延长DE和CB交于点G，
∵AD∥BC，∴AEBE=DEEG，
∵AE=13AB，DF=13CD，∴AEBE=12，DFFC=12，
∴DEEG=DFFC，∴EF∥BC．
（2）①记点O为△ADE外接圆圆心，过点O作OF⊥AE于点F，连接OA，OD，OE．
∵点O为△ADE外接圆的圆心，
∴OA＝OE＝OD，∴AF＝EF=12AE=12.
∵AE=13AB，∴AB＝3AE＝3.
∵AE＝AD，0E＝OD，OA＝OA，
∴△AOE≌△AOD（SSS），∴∠EAO＝∠DAO.
∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.
∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴2∠EAO+2∠ABO＝180°，即∠EAO+∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°.
∵OF⊥AE，∴∠AFO＝∠AOB＝90°.
∵∠FAO＝∠OAB，∴△FAO∽△OAB，
∴AOOB=FAAO，即AO2＝AF•AB=32，
∴AO=62，∴△ADE外接圆半径为62．
②延长BA，CD交于点P，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q．
∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC，
∴PAPD=ADBC=14.
由①知AB＝3，∴PAPA+3=14，
∴PA＝1，
∵CD2＝DM•DN，∴CDDM=DNCD，
∵∠CDN＝∠MDC，∴△DCN∽△DMC，
∴∠DCN＝∠CMD，
∵∠DMC＝∠CEM，∴∠CEM＝∠DCN，
∴EM∥CD，∴BEEP=BMMC，
由AB＝3，AE＝1得，BE＝2，
∴BEEP=1=BMMC，∴BM＝MC＝2，
∴△BEM∽△BPC，∴BMBC=MEPC=12，
设ME＝2a，则PC＝4a，
∵AD∥BC，∴PDPC=PAPB=14，∴PD＝a，DC＝3a，
∵EM∥CD，∴△ENM∽△CND，∴ENCN=EMDC=23，
设EN＝2b，则CN＝3b，
∵∠DMC＝∠CEM，∠ECM＝∠MCN，
∴△CNM∽△CME，∴CNCM=CMCE，即CM2＝CN•CE，
∴4＝3b•5b，解得b=21515，∴CE=2153，
在Rt△BQE中，由勾股定理可得：
BE2−BQ2＝CN2−CQ2，
∴4−BQ2＝（2153）2−（4−BQ）2，
解得BQ=53，∴EQ2＝BE2−BQ2=119，
∵QM＝BM−BQ＝2−53=13，
∴在Rt△EQM中，由勾股定理可得，EM=EQ2+QM2=233，
∵EMDC=23，∴DC=3．
第三问方法二：
∵AD＝AE＝1，∴AB＝3AE＝3，
∵AD∥BC，BC＝4，
∴APBP=ADBC=14，即APAP+AB=14，
∴AP＝1＝AD＝AE，
∵BE＝AP−AE＝2，PE＝AE+AP＝2，
∴E为BP中点，
∵CD2＝DM•DN，∴△DCN∽△DMC，
∴∠DCN＝∠DMC＝∠CEM，
∴EM∥CD，∴M也为BC中点，
∴CM＝BM＝2，
∵BP＝BC＝4，∴∠P＝∠DMC，
∵∠ECP＝∠DMC，∴△ECP∽△DMC，∴EPCD=CPCM.
设DP＝a，则CD＝3a，CP＝4a，
∴23a=4a2，解得a=33，∴CD=3．
山东省
1．【2024·烟台】如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝22，DI=1322，求△ABC的周长．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.
又∵∠ABC＝25°，∴∠CAB＝90°−25°＝65°.
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°−∠CAB＝115°.
（2）DI＝AD＝BD，
连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI=∠BCI=12∠ACB=45°，
∴AD=BD.
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACl，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，∴DI＝AD＝BD.
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵CI=22，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI•cs45°＝2＝CP.
∵DI＝AD＝BD，DI=1322，∠ADB＝90°，
∴AB=AD2+BD2=2×1322=13，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝AB+AF+CF+CP+BP＝AB+AQ+BQ+2CF＝2AB+2CF＝2×13+2×2＝30．
四川省
22．【2024·自贡】在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝ ，BD＝ ；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 ；
（2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线．
解：（1）连接OE，OF，如图：
由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE，
∵∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
设OE＝OF＝CF＝CE＝x，则BE＝BC−CE＝4−x＝BD，AF＝AC−CF＝3−x＝AD，
∵BD+AD＝AB=AC2+BC2=32+42=5，
∴4−x+3−x＝5，解得x＝1，
∴OE＝1，即⊙O半径长为1；
故答案为：AD，BE，1.
（2）证明：过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，如图：
∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，
∴△AMN≌△ABC（AAS），∴AN＝AC，
∵AD＝AF，∴AN−AD＝AC−AF，即DN＝CF，
同（1）可知，CF＝OE，∴DN＝OE，
∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN，
∴四边形OHND是矩形，∴OH＝DN，
∴OH＝OE，即OH是⊙O的半径，
∵OH⊥MN，∴MN是⊙O的切线．