2024年中考数学真题分类汇编：知识点46 新定义型、阅读理解型问题2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点46 新定义型、阅读理解型问题2024（解析版），共29页。学案主要包含了2024·河北12题，2024·河北15题，2024·威海，2024·德阳，2024·湖南10题，2024·眉山，2024·宜宾，2024·遂宁等内容，欢迎下载使用。
12．【2024·河北12题】在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】B【解析】设A（a，b），AB＝m，AD＝n，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m，∴D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n）.∵ba+m＜ba＜b+na，而ba+m＜b+na+m，∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.故选B．
15．【2024·河北15题】“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“■”表示5
C．运算结果小于6000
D．运算结果可以表示为4100a+1025
【答案】D【解析】设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10m+n，如图2：
则由题意得：mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，∴mznx=4，即m＝4n，∴当n＝2，y＝1 时，z＝2.5不是正整数，不符合题意，故舍去；当n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，如图3：
∴A、“20”左边的数是2×4＝8，故本选项不符合题意；B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
∴a上面的数应为4a，如图4：
∴运算结果可以表示为：1000（4a+1）+100a+25＝4100a+1025，∴D选项符合题意，
当a＝2时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意.故选D．
山东省
7．【2024·威海】定义新运算：
①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（−2，1）．
②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．
若{3，5}+{m，n}＝{−1，2}，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝2，n＝7B．m＝−4，n＝−3C．m＝4，n＝3D．m＝−4，n＝3
【答案】B
1．【2024·德阳】宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D【解析】∵PB⊥PC，∴点P在以BC为直径的圆上．如图所示.∵四边形ABCD是黄金矩形，∴令AB＝CD＝（5−1）a，AD＝BC＝2a，∴⊙M的半径为a．∵(5−1)a−a=(5−2)a＞0，∴AD边与⊙M相离，∴AD边上满足PB⊥PC的点P的个数为0．故选D．
湖南省
10．【2024·湖南10题】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当yx（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a−4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A．a＜−3
B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个
D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
【答案】C【解析】∵点P（2a−4，a+3）在第二象限，∴2a−4＜0a+3＞0，解得−3＜a＜2.故选项A不正确，不符合题意；∵点P（2a−4，a+3）为“整点”，∴a为整数.又∵−3＜a＜2，∴a＝−2，−1，0，1，当a＝−2时，2a−4＝−8，a+3＝1，此时点P（−8，1）；当a＝−1时，2a−4＝−6，a+3＝2，此时点P（−6，2）；当a＝0时，2a−4＝−4，a+3＝3，此时点P（−4，3）；当a＝1时，2a−4＝−2，a+3＝4，此时点P（−2，4）；∴“整点”P的个数是4个，故选项B不正确，不符合题意；根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（−2，4）是“超整点”，∴点P为“超整点”，则点P的个数为1个，故选项C正确，符合题意；当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：|−2|+|4|＝6，故选项D不正确，不符合题意．故选C．
四川省
10．【2024·眉山】定义运算：a⊗b＝（a+2b）（a−b），例如4⊗3＝（4+2×3）（4−3），则函数y＝（x+1）⊗2的最小值为（ ）
A．−21B．−9C．−7D．−5
【答案】B【解析】由题意得，y＝（x+1）⊗2＝（x+1+2×2）（x+1−2）＝（x+5）（x−1），即y＝x2+4x−5＝（x+2）2−9，
∴函数y＝（x+1）⊗2的最小值为−9．故选B．
6．【2024·宜宾】如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且6＝1+2+3，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8B．18C．28D．32
【答案】C【解析】A．8的因数有：1，2，4，8；1+2+4＝7，8不是“完美数”，故A错误；B．18的因数有1，2，3，6，9，18；1+2+3+6+9＝21，18不是“完美数”，故B错误；C．28的因数有：1，2，4，7，14，28；1+2+4+7+14＝28，28是“完美数”，故C正确；D．32的因数有：1，2，4，8，16，32，1+2+4+8+16＝31，32不是“完美数”，故D错误；故选C．
9．【2024·遂宁】如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】D【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．在△ABE和△ACD中，AB=AC∠B=∠CBE=CD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE．∵AB＝AB，∠B＝∠B，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE，∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”．同理可得，△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”．△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”．△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”．所以图中的“伪全等三角形”共有4对．故选D．
1．【2024·泸州】宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin∠DAE的值为（ ）
A．55B．12C．35D．255
【答案】A【解析】由题知，令AD＝BC＝（5−1）a，AB＝CD＝2a，由翻折可知，∠EAC＝∠BAC．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AE＝EC．令DE＝x，则AE＝EC＝2a−x，在Rt△ADE中，[（5−1）a]2+x2＝（2a−x）2，解得x=5−12a，∴DE=5−12a，AE＝2a−5−12a=5−52a．在Rt△DAE中，sin∠DAE=DEAE=5−12a5−52a=55．故选：A．
二、填空题
上海
18．【2024·上海】对于一个二次函数y＝a（x−m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′−m＝y′−k≠0，则称2|x′−m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=−12x2+13x+3“开口大小”为 ．
【答案】4【解析】∵抛物线y=−12x2+13x+3=−12（x−13）2+5518，∴x′−13=−12（x′−13）2+5518−5518，解得x′−13=−2，
∴抛物线y=−12x2+13x+3“开口大小”为2|x′−13|＝2×|−2|＝4，故答案为4．
重庆
18．【2024·重庆B卷】一个各数位均不为0的四位自然数M=abcd，若满足a+d＝b+c＝9，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵1+8＝2+7＝9，∴1278是“友谊数”．若abcd是一个“友谊数”，且b−a＝c−b＝1，则这个数为 ；若M=abcd是一个“友谊数”，设F（M）=M9，且F(M)+ab+cd13是整数，则满足条件的M的最大值是 ．
【答案】3456 6273【解析】∵abcd是一个“友谊数”，∴a+d＝b+c＝9，又∵b−a＝c−b＝1，∴b＝4，c＝5，∴a＝3，d＝6，∴这个数为3456；∵M=abcd是一个“友谊数”，∴M＝1000a+100b+10c+d＝1000a+100b+10（9−b）+9−a＝999a+90b+99，∴F(M)=M9=111a+10b+11，∴F(M)+ab+cd13=111a+10b+11+10a+b+10c+d13=111a+10b+11+10a+b+10(9−b)+9−a13=120a+b+11013=9a+8+3a+b+613，∵F(M)+ab→+cd→13是整数，∴9a+8+3a+b+613是整数，即3a+b+613是整数，∴3a+b+6是13的倍数，∵a、b、c、d都是不为0的正整数，且a+d＝b+c＝9，∴a≤8，∴当a＝8时，31≤3a+b+6≤38，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；当a＝7时，28≤3a+b+6≤35，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；当a＝6时，25≤3a+b+6≤32，此时可以满足3a+b+6是13的倍数，即此时b＝2，则此时d＝3，c＝7，∵要使M最大，则一定要满足a最大，∴满足题意的M的最大值即为6273；
故答案为：3456；6273．
18．【2024·重庆A卷】我们规定：若一个正整数A能写成m2−n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2−n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602＝252−23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602＝252−23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝m2−n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），则满足条件的正整数A为 ．
【答案】82 4564【解析】①设m＝10a+b，则n＝10a+8−b（1≤a≤9，0≤b≤8），由题意得：m2−n＝（10a+b）2−（10a+8−b），∵1≤a≤9，∴要使“方减数”最小，需a＝1，∴m＝10+b，n＝18−b，∴m2−n＝（10+b）2−（18−b）＝100+20b+b2−18+b＝82+b2+21b，当b＝0时，m2−n 最小为82；②设m＝10a+b，则n＝10a+8−b（1≤a≤9，0≤b≤8），∴B＝1000a+100b+10a+8−b＝1010a+99b+8，∵B除以19余数为1，∴1010a+99b+7能被19整除，∴B−119=53a+5b+3a+4b+719 为整数，又 2m+n＝k2 （k为整数），∴2（10a+b）+10a+8−b＝30a+b+8是完全平方数，∵1≤a≤9，0≤b≤8，∴30a+b+8最小为49，最大为256，即7≤k≤16，设3a+4b+7＝19t，t为正整数，则1≤t≤3，
（Ⅰ） 当t＝1时，3a+4b＝12，则b＝3−34a，30a+b+8＝30a+3−34a+8是完全平方数，又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解，（Ⅱ）当t＝2时，3a+4b＝31，则b=31−3a4，30a+b+8＝30a+31−3a4+8是完全平方数，又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解，（Ⅲ）当t＝3时，3a+4b＝50，则b=50−3a4，30a+b+8=30a+50−3a4+8 是完全平方数，若a＝6，b＝8，则3a+4b+7＝57＝19×3，30×6+8+8＝196＝142，∴t＝3，k＝14，此时m＝10a+8＝68，n＝10a+8−a＝60，∴A＝682−60＝4564，故答案为：82，4564．
四川省
16．【2024·乐山】定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
①y＝−x+3；
②y=2x；
③y＝−x2+2x−1．
（2）若一次函数y＝mx−3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
【答案】（1）③（2）0＜m≤12或−12≤m＜0【解析】（1）①当x＝0时，y＝3，当y＝0时，−x+3，∴x＝3，∴y＝−x+3与两坐标的交点分别为（0，3）和（3，0），∴函数y＝−x+3的图象上不存在“近轴点”；②∵y=2x中，在每一象限内y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝2，当y＝1时，x＝2，∴函数y=2x的图象上不存在“近轴点”；③∵y＝−x2+2x−1＝−（x−1）2，当x＝1时，y＝0；当x＝0时，y＝−1；∴函数y＝−x2+2x−1的图象上存在“近轴点”；故答案为③；（2）∵y＝mx−3m＝m（x−3），∴一次函数y＝mx−3m经过（3，0），分两种情况：①当m＞0时，如图1，当x＝1时，y＝m−3m＝−2m，∵一次函数y＝mx−3m图象上存在“近轴点”，∴−1≤−2m＜0，∴0＜m≤12；②当m＜0时，如图2，由①知：点A的坐标为（1，−2m），∵一次函数y＝mx−3m图象上存在“近轴点”，∴0≤−2m＜1，∴−12≤m＜0；综上，m的取值范围为：0＜m≤12或−12≤m＜0．故答案为0＜m≤12或−12≤m＜0．
24．【2024·内江】一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m为“极数”，且m33是完全平方数，则m＝ ．
【答案】1188或4752【解析】设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数），
∴m＝1000（9−y）+100（9−x）+10y+x＝99（100−10y−x）.∵m是四位数，∴99（100−10y−x）是四位数，即1000≤99（100−10y−x）＜10000.∵m33=3(100−10y−x)，∴301033≤3(100−10y−x)＜303133.∵m33是完全平方数，∴
3（100−10y−x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100−10y−x）只有36，81，144，225这四种可能，∴m33是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425.又m是偶数，∴m＝1188或4752，故答案为1188或4752．
1．【2024·泸州】定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a（a＞0）个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ（a，θ）变换．如：点A（2，0）按照ρ（1，90°）变换后得到点A'的坐标为（−1，2），则点B（3，−1）按照ρ（2，105°）变换后得到点B'的坐标为 ．
【答案】（−2，2） 【解析】由题知，将点B（3，−1）向上平移2个单位所得点M的坐标为（3，1）．
如图所示，过点M作x轴的垂线，垂足为F，则OF=3，MF＝1．在Rt△MOF中，tan∠MOF=MFOF=33，OM=12+(3)2=2，所以∠MOF＝30°．由旋转可知，B′O＝MO＝2，∠MON＝105°，所以∠B′OF＝135°．
过点B′作y轴的垂线，垂足为E，则∠B′OE＝135°−90°＝45°，所以△B′OE是等腰直角三角形．又因为B′O＝2，所以B′E＝OE=2，所以点B′的坐标为（−2，2）．故答案为：（−2，2）．
广东省
15．【2024·广州】定义新运算：a⊗b=a2−b，a≤0，−a+b，a＞0.例如：−2⊗4＝（−2）2−4＝0，2⊗3＝−2+3＝1．若x⊗1=−34，则x的值为 ．
【答案】−12或74【解析】∵x⊗1=−34，∴当x≤0时，x2−1=−34，解得x=−12或x=12（不合题意，舍去）；当x＞0时，−x+1=−34，解得x=74；由上可得，x的值为−12或74，故答案为：−12或74．
甘肃省
13．【2024·甘肃13题】定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn−mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23−2×3＝2，则（−2）*2＝ ．
【答案】8
内蒙古
16．【2024·兴安盟、呼伦贝尔市】对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a+3b，例如5※2＝5+3×2＝11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 ．
【答案】0≤m＜13 【解析】由题知，x※m＝x+3m，所以x+3m＜2，解得x＜−3m+2．因为此不等式有且只有一个正整数解，所以1＜−3m+2≤2，解得0≤m＜13．故答案为0≤m＜13．
三、解答题
北京
28．【2024·北京28题】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”．
（1）如图，点A（0，1），B（1，0）．
①在点C1（2，0），C2（1，2），C3(12，0)中，点 是弦AB的“α可及点”，其中α＝ °；
②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为 ；
（2）已知P是直线y=3x−3上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围．
解：（1）①反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O，
∵若点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，
∴点C应在⊙O'的圆内或圆上，
∵点A（0，1），B（1，0），∴OA＝OB＝1，
∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
由对称得：∠O'BA＝O'AB＝45°，
∴△O′BA为等腰直角三角形，∴O'（1，1），
设⊙O半径为R，
则C1O′=12+12=2＞R=1，故C1在⊙O'外，不符合题意；
C2O'＝2−1＝1＝R，故C2在⊙O'上，符合题意；
C3O′=(12)2+12=52＞R=1，故C3在⊙O'外，不符合题意，
∴点C2是弦AB的“α可及点”，
可知B，O′，C2三点共线，
∵AB=AB，∴α=∠AC2B=12∠AO′B=45°，
故答案为：C2，45；
②取AB中点为H，连接DH，
∵∠ADB＝90°，∴HD＝HA＝HB，
∴点D在以H为圆心，HA为半径的AB上方半圆上运动（不包括端点A、B），
∴当DH∥x轴时，点D横坐标最大，
∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，∴AB=2，
∴HD=12AB=22，
∵点A（0，1），B（1，0），∴H(12，12)，
∴xD=xH+DH=1+22，
∴点D的横坐标的最大值为1+22，
故答案为：1+22；
（2）反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O'，
∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，
∴点C应在⊙O'的圆内或圆上，
∴点P需要在⊙O'的圆内或圆上，
作出△MPN的外接圆⊙O″，连接O″M，O″N，
∴点P在以O″为圆心，MO″为半径的MN上运动（不包括端点M、N），
∴∠MO″N＝2∠MPN＝120°，∴∠O″MN＝30°，
由对称得点O，O'在MN的垂直平分线上，
∵△MPN的外接圆为⊙O″，
∴点O″也在MN的垂直平分线上，记OO'与NM交于点Q，
∴MQ=MO“⋅cs30°=32MO“，
∴MN=2MQ=3MO“，
随着MN的增大，⊙O'会越来越靠近⊙O，当点O'与点O″重合时，点P在⊙O'上，即为临界状态，此时MN最大，MN=3MO“=3，
连接O″P，OP，
∵OP≤OO″+O″P，
∴当MN最大，MN=3时，此时△MNP为等边三角形，
由上述过程知MN=2MQ=3MO“，
∴MO“=O“P=33=1，
∴当r＝1，OP的最大值为2，
设P(t，3t−3)，则OP2=(t−0)2+(3t−3)2=4t2−6t+3=4，解得t=3±134，
记直线y=3x−3与⊙O交于T，S，与y轴交于点K，过点S作SL⊥x轴，
当x＝0，y=−3，当y＝0时，3x−3=0，
解得x＝1，∴与x轴交于点T（1，0），∴tan∠OTK=OKOT=3，
∵OT＝OS，∴△OTS为等边三角形，
∴∠TOS＝60°，∴OL=12，LS=32，∴S(12，−32)，
∴t的取值范围是3−134≤t＜12或1＜t≤3+134．
山西省
21．【2024·山西】阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
（2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
解：（1）240
（2）∠BAD＝∠FAD．
理由如下：连接BD，FD．
∵六边形ABCDEF是等边半正六边形．
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠C＝∠E．
∴△BCD≌△FED．∴BD＝FD．
在△ABD与△AFD 中，AB=AF，BD=FD，AD=AD，
∴△BAD≌△FAD．∴∠BAD＝∠FAD．
（3）答案不唯一，
作法一：作法二：
如图，六边形ABCDEF即为所求．
山东省
21．【2024·威海】定义ㅤ我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a−b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a−0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0−a．
应用ㅤ如图，在数轴上，动点A从表示−3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
解：（1）设经过x秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，
则：|（−3+x）−（12−2x）|＝3，
解得：x＝4或x＝6，
答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度.
（2）设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，
则y＝|−3+x|+|12−2x|，
当x≤3时，y＝|−3+x|+|12−2x|＝3−x+12−2x＝−3x+15，
当x＝3时，y值最小，为6，
当3＜x≤6时，y＝|−3+x|+|12−2x|＝−3+x+12−2x＝−x+9，
当x＝6时，y值最小，为3，
当x＞6时，y＝|−3+x|+|12−2x|＝−3+x−12+2x＝3x−15，
当x＝6时，y有极小值，为3.
综上所述，点A，B到原点距离之和的最小值为3．
1．【2024·滨州】欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称Pn=an(a−b)(a−c)+bn(b−c)(b−a)+cn(c−a)(c−b)(n=0，1，2，3）为欧拉分式．
（1）写出P0对应的表达式；
（2）化简P1对应的表达式．
解：（1）由题意可得，
P0=a0(a−b)(a−c)+b0(b−c)(b−a)+c0(c−a)(c−b)=1(a−b)(a−c)+1(b−c)(b−a)+1(c−a)(c−b)；
（2）由题意可得，
P1=a1(a−b)(a−c)+b1(b−c)(b−a)+c1(c−a)(c−b)
=a(a−b)(a−c)−b(b−c)(a−b)+c(a−c)(b−c)
=a(b−c)−b(a−c)+c(a−b)(a−b)(b−c)(a−c)
=ab−ac−ab+bc+ac−bc(a−b)(b−c)(a−c)
=0(a−b)(b−c)(a−c)
＝0．
湖南省
24．【2024·长沙24题】对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有R=2r． （ ）
（2）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD．
①该四边形ABCD是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是⊙O的直径．
（3）已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H．
①如图2，连接EG，FH交于点P．求证：EG⊥FH；
②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若OA＝2，OB＝6，OC＝3，求内切圆⊙O的半径r及OD的长．
解：（1）①∵平行四边形对角不互补，∴平行四边形无外接圆.
∵平行四边形对边之和也不相等，
∴平行四边形无内切圆．
∴平行四边形是“平凡型无圆”四边形.
故①错误；
②∵内角不等于90°的菱形对角不互补，但是对边之和相等，
∴菱形是“内切型单圆”四边形.
故②正确；
③由题可知外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，
如图，此时OM＝r，ON＝R.
∵△OMN是等腰直角三角形，
∴ON=2OM，
∴R=2r.
故③正确．
故答案为：①（×）；②（√），③（√）．
（2）①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形；
理由：∵AB+CD≠BC+AD，
∴四边形ABCD无内切圆．
∴四边形ABCD是“外接型单圆”四边形.
②证法1：如图1，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴BE=DE，BF=DF，
∴BE+BF=DE+DF，即EBF=EDF，
∴EBF与EDF均为半圆，
∴EF是⊙O的直径．
证法2：如图1，连接AF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠1=12∠BAD，∠2=12∠BCD，
∴∠1+∠2＝90°，
由同弧所对的圆周角相等可得∠2＝∠3，
∴∠1+∠3＝90°，即∠EAF＝90°，
∴EF是⊙O的直径.
证法3：如图2，连接FD，ED．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°.
由题意，得∠1=12∠BAD，∠2=12∠BCD，
∵由同弧所对的圆周角相等可得：∠EFD＝∠1，∠FED＝∠2，
∴∠EFD+∠FED=12(∠BAD+∠BCD)=90°，
∴∠FDE＝90°，
∴EF是⊙O的直径．
（3）①证明：如图3，连接OE，OF，OG，OH，HG．
∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD．
∴∠OEA＝∠OHA＝90°．
∴在四边形EAHO中，∠A+∠EOH＝360°−90°−90°＝180°．
同理可证∠FOG+∠C＝180°，
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
∴四边形ABCD有外接圆，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠EOH＝∠C．
∴∠FOG+∠EOH＝180°.
又∵∠FHG=12∠FOG，∠EGH=12∠EOH，
∴∠FHG+∠EGH＝90°．
∴∠HPG＝90°，即EG⊥FH．
②方法1：如图4，连接OE，OF，OG，OH．
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
∴∠OAH+∠OAE+∠OCG+∠OCF＝180°．
∵⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H，
∴∠OAH＝∠OAE，∠OCG＝∠OCF．
∴∠OAH+∠OCG＝90°．
∵∠COG+∠OCG＝90°，
∴∠OAH＝∠COG．
∵∠AHO＝∠OGC＝90°，
∴△AOH∽△OCG．
∴AOOC=OHCG，即23=rCG，解得CG=32r，
在Rt△OGC中，有OG2+CG2＝OC2，即r2+(32r)2=32，
解得r=61313，
在Rt△OBE中，BE=OB2−r2=62−3613=121339
同理可证△BEO∽△OHD，
所以BEOH=OBOD，即123961313=6OD，解得OD=3．
方法2：如图4，
由△AOH∽△OCG，得AOOC=OHCG，即23=r32−r2，
解得r=61313，
由△BEO∽△OHD，
得BEOH=OBOD，即36−361361313=6OD，解得OD=3．
江苏省
1．【2024·盐城25题】如图1，E、F、G、H分别是▱ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为▱ABCD的“中顶点四边形”．
（1）求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
（2）①如图2，连接AC、BD交于点O，可得M、N两点都在BD上，当▱ABCD满足 时，中顶点四边形AMCN是菱形；
②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
解：（1）证明：∵▱ABCD，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.
∵点E、F、G、H分别是▱ABCD各边的中点，
∴AE=12AB=12CD=CG，AE∥CG，
∴四边形AECG为平行四边形.
同理可得：四边形AFCH为平行四边形，
∴AM∥CN，AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形.
（2）①当平行四边形ABCD满足AC⊥BD时，中顶点四边形AMCN是菱形，
由（1）得四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴MN⊥AC，∴中顶点四边形AMCN是菱形.
故答案为AC⊥BD.
②如图所示，即为所求，连接AC，作直线MN，交于点O，然后作ND＝2ON，MB＝2OM，然后连接AB、BC、CD、DA即可，
∴点M和N分别为△ABC和△ADC的重心，符合题意；
证明：∵矩形AMCN，
∴AC＝MN，OM＝ON，
∵ND＝2ON，MB＝2OM，
∴OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形；
分别延长CM、AM、AN、CN交四边于点E、F、G、H如图所示.
∵矩形AMCN，∴AM∥CN，MO＝NO.
由作图得BM＝MN，
∴△MBF∽△NBC，∴BFBC=BMBN=12，∴点F为BC的中点，
同理得：点E为AB的中点，点G为DC的中点，点H为AD的中点．
四川省
28．【2024·甘孜州】【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a（x−b）2+c和y＝−a（x−p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
【理解与运用】
（1）若二次函数y=−12（x−2）2+m和y=−12（x−n）2+12的图象都是抛物线y=12x2的伴随抛物线，则m＝ ，n＝ ．
【思考与探究】
（2）设函数y＝x2−2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y＝−x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
解：（1）由题意，∵二次函数y=−12（x−2）2+m和y=−12（x−n）2+12的图象都是抛物线y=12x2的伴随抛物线，
∴12×22＝m，12×n2=12，∴m＝2，n＝±1，
故答案为：2，±1.
（2）①由题意，∵y＝x2−2kx+4k+5＝（x−k）2−k2+4k+5，
∴抛物线C2的顶点为（k，−k2+4k+5），
又C2始终是C0的伴随抛物线，
∴可令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8），
∴e=5−1+d+e=5，∴d＝4，e＝5.
②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），
由①得：函数y＝−x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，
∴顶点坐标（k，−k2+4k+5）在y＝−x2+4x+5＝−（x−2）2+9图象上滑动，顶点为（2，9），
当−x2+4x+5＝0时，解得：x＝−1或x＝5，
抛物线与x轴交于（−1，0）（5，0）两个点，
当顶点在（−1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜−1；
∵若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上，
∴（2，9）在C2上，
当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5；
综上可得：2＜x1＜5或x1＜−1．
25．【2024·乐山】在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线y＝ax2−2ax+2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A．
（1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线y＝x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，抛物线y＝x2−2x+2＝（x−1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标（1，1）；
（2）当x＝0时，y＝2a，即抛物线与y轴的交点A坐标为（0，2a），
∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，即“完美点”的个数为4个或5个，而a＞0，
∴当“完美点”个数为4个时，这4个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），
当“完美点”个数为5个时，这5个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），
∴3≤2a＜5，
∴a的取值范围是32≤a＜52；
（3）易知抛物线的顶点坐标为（1，a），过点P（2，2a），Q（3，5a），R（4，10a）．
显然，“完美点”（1，1），（2，2），（3，3）符合题意．
下面讨论抛物线经过（2，1），（3，2）的两种情况：
①当抛物线经过（2，1）时，解得a=12．此时，P（2，1），Q(3，52)，R（4，5）．
如图所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，3），共4个．
②当抛物线经过（3，2）时，解得a=25．此时，P(2，45)，Q（3，2），R（4，4）．
如图所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，4），共6个．
∴a的取值范围是25＜a⩽12．
广东省
20．【2024·深圳20题（回忆版）】垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
（1）如图所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF=5，CE＝2，则AE＝ ；AB＝ ；
（2）如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB＝BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；
（3）①如图3所示，在△ABC中，BE＝5，CE＝2AE＝12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，连接CB'，作射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出PE的值．
解：（1）由题可知，AF=12AD=12BC，
∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴AECE=AFBC=12，
∵CE＝2，∴AE＝1.
∵BC＝2AF＝25，∴BE=BC2−CE2=4，
∴AB=AE2+BE2=17.
故答案为：1，17．
（2）AF=2CD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AED∽△FEB，
∴AEEF=DEBE=ADBF=21.
设BE＝x，则DE＝2x，
∴AB＝BD＝3x，AE=AB2−BE2=22x，
∴EF=12AE=2x，∴AF＝AE+EF＝32x，
∴AF=2AB，∴AF=2CD.
（3）①作法一：如图所示，作平行四边形ABCH则为所求，
作法提示：过A作AH∥BC，过C作CH∥AB，两条直线交于点H（也可不用尺规作图，其他工具亦可）．
作法二：如图所示，平行四边形CBQH即为所求，
作法提示：过C作CH∥AB，延长BE交CH于点H，过H作HQ∥BC交BA延长线于Q，（因为题中并没有要求作图工具，所以尺规作图也行，其他工具也可以，只要符合题意．）
作法三：如图所示，平行四边形BCDF即为所求，
作法提示：作AD∥BC，交BE的延长线于点D，连接CD，作BC的垂直平分线，在DA延长线上取点F，使AF＝AD，连接BF，
②（Ⅰ）当垂中平行四边形是作法一时，
方法一：如图所示，作PQ⊥AC，
∵△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，
∴∠ACB＝∠ACP，
∵AH∥BC，∴∠PAC＝∠ACB，
∴∠ACP＝∠PAC，∴PA＝PC，
∴AQ=12AC＝9，∴EQ＝EC−CQ＝3.
∵tan∠ACB＝tan∠PCQ，∴BECE=PQCQ，即512=PQ9，
解得PQ=154，∴PE=PQ2+EQ2=3414．
方法二：如图建立坐标系，以BB'为x轴，以AC为y轴，
∴A（0，6），C（0，−12），B（−5，0），
由tan∠BCE=512得，kAH=−125，kCB'=125，
∴直线AH解析式为：y=−125x+6，
直线CB'解析式为：y=125x−12，
联立解析式求解得P（154，−3）．
∴PE=(154)2+32=3414．
（Ⅱ）当垂中平行四边形是作法二时，
方法一：如图连接PA，延长CA交HQ延长线于点G，
同理可得，PG＝PC，
∴PA垂直平分AC，∴AE6，EC−＝12，
∵△CPA∽△CB'E，∴PH=152，
∴PE=3412．
方法二：建立坐标系法，同情况一建立坐标系可得PE=3412．
（Ⅲ）若按照作法三作图，则没有交点，不存在PE（不符合题意）．
甘肃省
28. 【2024·兰州】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”．
（1）如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”；
（2）如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：
（3）如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
解：（1）作线段以原点为位似中心，位似比为的位似图形，
∵，，∴，.
∵点是图形的“延长2分点”，∴点在线段上.
∵在线段上，
∴是图形的“延长2分点”.
故答案为.
（2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，如图，
∵，，
∴，.
∵直线上存在点P是图形的“延长2分点”，
∴直线与有交点，
∴当过点时，值最小，
把，代入，得，
∴的最小值为.
（3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，
∵，，，
∴，，.
∵等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”，
∴当与有交点时，满足题意，
当与相切时，如图，则或，
∴时，满足题意；
当与相切时，且切点为，连接，则：，

∵为等腰直角三角形，∴为等腰直角三角形.
∵，，，
∴轴，∴.
∵以为圆心，半径为1的，
∴点在直线上，，
∴，∴，
∴或，∴.
综上，或．
辽宁省
23．【2024·辽宁】已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．
例如：函数y1＝2x，当y2=xy1=x⋅2x=2x2时，则函数y2=2x2是函数y1＝2x的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A（m，2m），点B（m，2m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝2x的“升幂函数”y2=2x2的图象上．
（1）求函数y1=12x的“升幂函数”y2的函数表达式．
（2）如图1，点A在函数y1=3x(x＞0)的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点A上方，当AB＝2时，求点A的坐标．
（3）点A在函数y1＝−x+4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y＝t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF＝MN，请直接写出t2−t1的值．
解：（1）y2=xy1=x×12x=12x2，图象如图2所示．
（2）如图3，
∵y2=xy1=x×3x=3，
设A(m，3m)，B（m，3）．
因为点B在点A的上方，
当AB＝2时，3−3m=2
解得m＝3．所以A（3，1）．
（3）①因为y2=xy1=x(−x+4)=−x2+4x，
所以A（m，−m+4），B（m，−m2+4m）．
如果点B与点A重合，那么−m+4＝−m2+4m．
整理，得m2−5m+4＝0．
解得m＝1，或m＝4．
②由①可知，直线y＝−x+4与抛物线y＝−x2+4x有两个交点（1，3）和（4，0），
如图4所示，函数y2=−x2+4x的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线x＝2．
因为BC∥x轴，所以B、C两点关于直线x＝2对称．
如图4，当点B在点C右侧时，2＜m＜4，BC＝2（m−2）＝2m−4，
如图5，当点B在点C左侧时，1＜m＜2，BC＝2（2−m）＝4−2m，
由点B在点A的上方，得BA＝（−m2+4m）−（−m+4）＝−m2+5m−4，
当2＜m＜4时，y＝2[（2m−4）+（−m2+5m−4）]＝−2m2+14m−16，
当1＜m＜2时，y＝2[（4−2m）+（−m2+5m−4）]＝−2m2+6m．
综上，y＝2m2+14m−16或＝−2m2+6m．
③情形一：如图7，如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于P、Q两点间的竖直高度．
当m＝2时，y＝−2m2+6m＝4，所以P（2，4）．
当m＝4时，y＝−2m2+14m−16＝8，所以Q（4，8）．
所以t2−t1＝8−4＝4．
情形2，如图7（局部，变形处理），点M是抛物线y＝−2m2+6m的顶点．
由M(32，92)，得N(7−222，92)，
所以MN=EF=7−222−32=2−2，
所以点F的横坐标xF=32+2−22=5−22，
于是可得yF=3+422，
所以t2−t1=yN−yF=92−3+422=3−22．
综上，t2−t1＝4或3−22．
内蒙古
23．【2024·赤峰23题】在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1+x2＝y1+y2时，称点N是点M的等和点．
（1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，−1），N3（0，−2）中，是点M等和点的有 ；
（2）若点M（3，−2）的等和点N在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）已知，双曲线y1=kx和直线y2＝x−2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或−2＜x＜0．若点P在双曲线y1=kx上，点P的等和点Q在直线y2＝x−2上，求点P的坐标．
解：（1）由M（1，3），N1（4，2）得，
∴x1+x2＝y1+y2＝5．
∴点N1（4，2）是点M的等和点．
由M（1，3），N2（3，−1）得，
x1+x2＝4，y1+y2＝2，
∴x1+x2≠y1+y2．
∴N2（3，−1）不是点M的等和点．
由M（1，3），N3（0，−2）得，
∴x1+x2＝y1+y2＝1．
∴点N3（0，−2）是点M的等和点．
故答案为：N1（4，2），N3（0，−2）．
（2）由题意，设点N的横坐标为a，
∵点N是点M（3，−2）的等和点，
∴点N的纵坐标为3+a−（−2）＝a+5．
∴点N的坐标为（a，a+5）．
又∵点N在直线y＝x+b上，
∴a+5＝a+b．∴b＝5．
（3）由题意得，k＞0，双曲线分布在第一、第三象限．
设直线与双曲线的交点分别为点A、B，
如图，由y1＜y2的x取值范围是x＞4或−2＜x＜0，
∴A的横坐标为4，B的横坐标为−2．
把x＝4代入y＝x−2得，y＝4−2＝2，∴A（4，2）．
把A（4，2）代入y1=kx得，2=k4．∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y=8x．
设P（m，8m），点Q的横坐标为n，
∵点Q是点P的等和点，
∴点Q的纵坐标为m+n−8m．
∴Q（n，m+n−8m）．
∵点Q在直线y2＝x−2上，∴m+n−8m=n−2．
∴m−8m+2＝0．∴m＝−4或m＝2．
经检验，m＝−4，m＝2是方程m−8m+2＝0的解．
∴点P的坐标为（−4，−2）或（2，4）．
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念−性质−判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）−猜想−推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠C＝∠E，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…