2024年中考数学真题分类汇编：知识点53 新情景应用型问题2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点53 新情景应用型问题2024（解析版），共8页。学案主要包含了2024·宜宾，2024·山西，2024·广东，实践操作，实践探索，2024·广西23题，洗衣过程，洗衣目标等内容，欢迎下载使用。
17．【2024·宜宾】如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
【答案】乙槽【解析】方法一：∵三次操作相同，且总得分是20+10+9＝39分．∴一次操作的总分，即三个球数字之后为39÷3＝13，则有以下情况：1，3，91，4，81，5，72，3，82，4，72，5，63，4，6，其中只有1，4，8这一组能同时满足三个数组合相加得20，10，9；4+8+8=20(甲槽)8+1+1=10(乙槽)1+4+4=9(丙槽)，∴第一次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为4，8，1；第二次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1；第三次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1；∴第二次操作计分最低的是乙槽．方法二：设乙第一，第二，第三次操作计分分别为x、y、z．则x+y+z＝10，x不可能为9，否则yz出现为0的情况，与题意矛盾．所以x最大为8，此时8+1+1＝10，1已经是最小了，所以第二次操作计分最小的是乙槽．故答案为：乙槽．
三、解答题
山西省
22．【2024·山西】综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，
∴OA=OB=12AB=12×6=3．
∴点B的坐标为（3，0）.
∵OP＝9，∴点P的坐标为（0，9），
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+9，
∵点B（3，0）在抛物线y＝ax2+9 上，
∴9a+9＝0，解得a＝−1．
∴抛物线的函数表达式为y＝−x2+9（−3≤x≤3）.
（2）点D，E在抛物线y＝−x2+9 上，
∴设点E的坐标为（m，−m2+9），
∵DE∥AB，交y轴于点F，
∴DF＝EF＝m，OF＝−m2+9，∴DE＝2m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OC=12AB=12×6=3．
∴CF＝OF−OC＝−m2+9−3＝−m2+6，
根据题息，得DE+CF＝6，∴−m2+6+2m＝6，
解得：m1＝2，m＝0（不符合题意，舍去），
∴m＝2．∴DE＝2m＝4，CF＝−m2+6＝2.
答：DE的长为4米，CF的长为2米；
（3）如图矩形灯带为GHML，
由点A、B、C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为：y＝x+3，y＝−x+3，
设点G（m，−m2+9）、H（−m，−m2+9）、L（m，m+3）、M（−m，−m+3），
则矩形周长＝2（GH+GL）＝2（−2m−m2+9−m−3）＝−（m+1.5）2+332≤332，
故矩形周长的最大值为332米．
广东省
21．【2024·广东】综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）
解：（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下，
方法一：如图作出示意图，由题意知，AB＝AC＝BC＝7cm，
折叠后CD＝CE=12×10＝5cm，
∵底面周长=12×10π＝5πcm，∴DE•π＝5πcm，
∴DE＝5cm，∴DEAB=CDCA=CECB，
∴△CDE∽△CAB，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．
方法二：由2πr=nπR180得，n360=rR
图3中，n1＝90°×2＝180°，
图4中，rR=3.57=12，
∴n2＝180°，∵n1＝n2，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．
（2）由（1）知CD＝DE＝CE＝5cm，∴∠CDE＝60°，
过C作CF⊥DE于点F，则DF=12DE=52cm，
在Rt△CDF中，CF2=CD2−DF2=532cm，
∴V＝π•（52）2×532×13=125324πcm3．
即圆锥形的体积是125324πcm3．
17．【2024·深圳17题（回忆版）】
解：任务1：
根据题意得L＝0.2（n−1）+1＝0.2n+0.8，
∴车身总长L与购物车辆数n的表达式为L＝0.2n+0.8；
任务2：
当L＝2.6时，0.2n+0.8＝2.6，
解得n＝9，
2×8＝18（辆），
答：直立电梯一次性最多可以运输18辆购物车；
任务3：
设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输n次，
∵100÷24＝416，
根据题意得：m+n=524m+18n≥100，解得m≥53，
∵m为正整数，且m≤5，∴m＝2，3，4，5，
∴共有4种运输方案．
广西
23．【2024·广西23题】综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．
浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w，其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）．
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%．
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？
（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
解：（1）把 d后＝0.01%，d前＝0.2%，代入 d后=0.5d前0.5+w，
得 0.01%=0.5×0.2%0.5+w%，解得w＝9.5．经检验符合题意，
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水；
（2）第一次漂洗：把w＝2kg，d前＝0.2% 代入 d后=0.5d前0.5+w，
∴d后=0.5×0.2%0.5+2=0.04%.
第二次漂洗：把 w＝2kg，d前＝0.04%代入d后=0.5d前0.5+w，
∴d后=0.5×0.04%0.5+2=0.008%.
而0.008%＜0.01%，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
内蒙古
25．【2024·赤峰25题】如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为78米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 y=18（x+3）2+78 ；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
解：（1）由题意，水滑道ACB所在抛物线的顶点C（−3，78），
∴可设抛物线为y＝a（x+3）2+78．
又B（0，2），∴2＝a（0+3）2+78．
∴a=18．∴抛物线为y=18（x+3）2+78．
故答案为y=18（x+3）2+78．
（2）①由题意，∵抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称．
∴B是它们的中点．
又C（−3，78），B（0，2），
∴抛物线BD的顶点为（3，258）．
∴此人腾空后的最大高度为258米．
又此时可设抛物线BD为y＝a'（x−3）2+258，
将B（0，2）代入得，∴a'（0−3）2+258=2．
∴a'=−18．∴抛物线BD的解析式y=−18（x−3）2+258．
②由①得y=−18（x−3）2+258，
令y＝0，∴0=−18（x−3）2+258．
∴x＝8或x＝−2（舍去）．∴OD＝8米．
又OE＝12米，∴DE＝12−8＝4＞3．
∴落点D在安全范围内．
（3）由题意，如图，EF即为所求钢架．
∵ACB所在抛物线y=18（x+3）2+78，
令y＝4，∴4=18（x+3）2+78．
∴x＝−8或x＝2（舍去）．∴M（−8，4）．
又B（0，2），∴直线BM为y=−14x+2．
∵EF∥BM，∴可设EF为y=−14x+m．
联立方程组y=−14x+my=18(x+3)2+78，
∴18（x+3）2+78=−14x+m．
∴x2+8x−8m+16＝0．∴Δ＝64−4（−8m+16）＝0．
∴m＝0，∴直线EF为y=−14x，过原点，即F与O重合．
∵M（−8，4），
∴令x＝−8，则y=−14x=−14×（−8）＝2．
∴OE＝2米，ON＝8米．
又∠ENO＝90°，
∴EF＝EO=22+82=217（米）．
答：这条钢架的长度为217米．
背景
【缤纷618，优惠送大家】
今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材
如图为某商场叠放的购物车，如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m．


问题解决
任务1
若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2
若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3
若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？