2024年中考数学真题分类汇编：知识点47 分类讨论思想（两个或者三个答案的填空题）2024（解析版）

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【答案】27或47【解析】当C′在AB之间时，如图①，根据AC'：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7，由翻折的性质知：∠FCD＝∠FC'D'，∵CD沿直线l翻折至AB所在直线，∴∠BC′F+∠FC′D′＝∠FCD+∠FBA，
∴∠BC′F＝∠FBA，∴CF=BF=C′F=72，过F作AB的垂线交于E，∴BE=12BC′=1，∴cs∠ABC=BEBF=172=27，
当C′在BA的延长线上时，如图②，根据AC′：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7，同理知：CF=BF=C′F=72，过点F作AB的垂线交于E，∴BE=12BC′=2，∴cs∠ABC=BEBF=272=47，故答案为27或47．

① ②
江西省
1．【2024·江西12题】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
【答案】2−3或2+3或2【解析】∵AB为直径，DE为弦，∴DE≤AB，∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2，当DE＝2时，即DE为直径，∴DE⊥AB，∴将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，故FB＝2；当DE＝1时，且在点C在线段OB之间，如图，连接OD，此时OD=12AB=1，∵DE⊥AB，∴DC=12DE=12，∴OC=OD2−DC2=32，∴BC=OB−OC=2−32，∴BF=2BC=2−3；如图2，当DE＝1时，且点C在线段OA之间，连接OD，同理可得BC=2+32，∴BF=2BC=2+3；综上，可得线段FB的长为2−3或2+3或2，故答案为2−3或2+3或2．

江苏省
1．【2024·盐城16题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF．连接CF，当CF∥AB时，CF＝ ．
【答案】2+6或6−2 【解析】作BG⊥CF于点G，如图所示，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，点D是AC的中点，∴CD=2，∠ABC＝45°，∴BD=BC2+CD2=(22)2+(2)2=10.由旋转的性质可知：△DCB≌△FEB，∴BD＝BF=10.∵CF∥AB，∴∠ABC＝∠BCG＝45°，∴CG＝BC•sin∠BCG＝22×22=2，
∴BG=BC2−CG2=2，∴GF=BF2−BG2=(10)2−22=6，∴CF＝CG+GF＝2+6.当点D运动点F′时，此时CF′∥AB，同理可得，GF′=6，CG＝2，∴CF′=6−2.故答案为2+6或6−2．
四川省
16．【2024·雅安】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD∥BC时，∠BAE的度数是 ．
【答案】30°或150°【解析】当点D在点A的左侧时，如图1所示．∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC=12（180°−∠BAC）＝70°．∵AD∥BC，∴∠BAD＝∠ABC＝70°，∴∠BAE＝∠BAD−∠DAE＝70°−40°＝30°．当点D在点A的右侧时，如图2所示．∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ACB=12（180°−∠BAC）＝70°．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝70°，∴∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE＝40°+70°+40°＝150°．∴当AD∥BC时，∠BAE的度数为30°或150°．故答案为：30°或150°．

黑龙江省
17．【2024·牡丹江】矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，OP＝3，连接CP，则PC+PE的值为 ．
【答案】13或109【解析】当CE＞BE时，如图1，
∵矩形ABCD，∴点O是BD的中点.
∵点P是DE的中点，∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD.
∵点E是BC边的三等分点，∴CE＝2BE＝12，BC＝3BE＝18.
∵矩形ABCD的面积是90，∴BC×CD＝90，∴CD＝5，
∴DE=52+122=13，∴PC+PE＝DE＝13；
当CE＜BE时，如图2，
∵矩形ABCD，∴点O是BD的中点.
∵点P是DE的中点，∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD.
∵点E是BC边的三等分点，∴CE=12BE=3，BC＝3+6＝9.
∵矩形ABCD的面积是90，∴BC×CD＝90，∴CD＝10，∴DE=32+102=109，
∴PC+PE=DE=109.
故答案为13或109．
19．【2024·龙东地区】矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将AB沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC长为 ．
【答案】52、72或10 【解析】①点B的对称点落在矩形对角线BD上，如图.
∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，
由折叠性质可知BB'⊥AP，
∴∠BAP+∠BPA＝∠BPA+∠CBD，
∴∠BAP＝∠CBD，∴tan∠BAP＝tan∠CBD=CDBC=34，
∴BP＝ABtan∠BAP＝3×34=94，∴PC＝BC−BP＝4−94=74；
②点B的对称点B′落在矩形对角线AC上，如图.
∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
∴cs∠ACB=BCAC=45，
由折叠性质可知：∠ABP＝∠AB'P＝90°，AB＝AB'＝3，
∴B′C＝AC−AB'＝5−3＝2，
∴PC=B′Ccs∠ACB=2÷45=52；
③点B的对称点B′落在矩形对角线CA延长线上，如图，
在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝90°，
∴AC＝√AB2+BC2=32+42=5，
∴cs∠ACB=BCAC=45，
由折叠性质可知：∠ABP＝∠AB'P＝90°，AB＝AB'＝3，
∴B′C＝AC+AB'＝5+3＝8，∴PC=B′Ccs∠ACB=8÷45=10.
综上所述，52、72或10．
故答案为52、74或10．
22．【2024·绥化】在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点E在直线AD上，且DE＝2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是 cm．
【答案】255或655或25【解析】如图1，过点E作EF⊥BD于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝BD，AD＝BC，AB＝CD，∵AB＝4cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得AC=AB2+BC2=42+82=45cm，∴BD=45cm，∵∠EFD＝∠BAD＝90°，∠EDF＝∠BDA，∴△DEF∽△DBA，∴EFAB=DEBD，
∴EF4=245，∴EF=255cm；如图2，过点E作EM⊥AC于点M，∵AD＝BC＝8cm，DE＝2cm，∴AE＝6cm，
∵∠AME＝∠ADC＝90°，∠EAM＝∠CAD，∴△AEM∽△ACD，∴AEAC=EMCD，∴645=EM4，∴EM=655cm；
如图3，过点E作EN⊥BD的延长线于点N，∴∠END＝∠BAD＝90°，∴∠EDN＝∠BDA，∴△END∽△BAD，
∴DEBD=ENAB，∴245=EN4，∴EN=255cm；如图4，过点E作EH⊥AC的延长线于点H，∴∠AHE＝∠ADC＝90°，∴∠EAH＝∠CAD，∴△AHE∽△ADC，∴AEAC=EHCD，∵AD＝BC＝8cm，DE＝2cm，∴AE＝10cm，∴1045=EH4，
∴EH=25cm；综上，点E到矩形对角线所在直线的距离是255cm或655cm或25cm，故答案为：255或655或25．
16．【2024·齐齐哈尔】已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接BB′，CB′，当△BCB′为直角三角形时，线段CP的长为 ．
【答案】2或32【解析】∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝4，∴DC＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠D＝∠ABC＝∠ACB＝90°，由折叠得AB′＝AB＝5，B′P＝BP，如图1，△BCB′为直角三角形，且∠BB′C＝90°，∴∠PB′C+∠PB′B＝90°，∠PCB′+∠PBB′＝90°，∵∠PB′B＝∠PBB′，∴∠PB′C＝∠PCB′，∴B′P＝CP，∴CP＝BP=12BC=12×4＝2；如图2，△BCB′为直角三角形，且∠BCB′＝90°，∵∠BCB′＝∠C＝90°，∴点B′在DC上，∴B′D=AB′2−AD2=52−42=3，∴B′C＝DC−B′D＝5−3＝2，∵B′C2+CP2＝BP′2，且B′P＝BP＝4−CP，∴22+CP2＝（4−CP）2，解得CP=32；∵∠B′BC是等腰三角形B′PB的底角，∴∠B′BC≠90°，综上所述，线段CP的长为2或32，故答案为：2或32．

新疆
14．【2024·新疆生产建设兵团】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8．若点D在直线AB上（不与点A，B重合），且∠BCD＝30°，则AD的长为 ．
【答案】6或12【解析】在Rt△ABC中，sinA=BCAB，∴BC=12×8=4，∴AC=82−42=43．当点D在点B左上方时，如图①所示，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．又∵∠BCD＝30°，∴∠BDC＝60°−30°＝30°，∴BD＝BC＝4，∴AD＝8+4＝12．
当点D在点B的右下方时，如图②所示，∵∠ABC＝60°，∠BCD＝30°，∴∠CDA＝90°．在Rt△ACD中，csA=ADAC，∴AD=32×43=6．综上所述，AD的长为6或12．故答案为6或12．

① ②