人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念学案，共7页。学案主要包含了典例解析等内容，欢迎下载使用。
1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.
2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.
3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
重点：等差数列的性质及其应用
难点：等差数列的性质的推导
1．等差数列的概念
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
3.等差数列的通项公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；
4.通项公式的应用；
一、典例解析
例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.
等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.
跟踪训练1. 孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（ ）年新建住房的面积开始大于820万平方米？
A.2026 B. 2027 C. 2028 D.2029
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
对于第（2）小题，你还有其他解法吗？
等差数列的性质
如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 k(k∈N*)个合适的数，
仍然可以构成一个新的等差 数列.
例5. 已知数列an 是等差数列，p,q,s,t∈N*,且 p+q=s+t
求证:ap+aq=as+at
例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？
1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.
4．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.
5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.
1) 应用等差数列解决生活中实际问题的方法.
2) 等差数列的每相邻两项之间都插入 k(k∈N*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列.
3) 等差数列an，p,q,s,t∈N*, 若p+q=s+t，则ap+aq=as+at
参考答案：
知识梳理
学习过程
一、典例解析
例3.分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小于（220×5%=）11万元；10年后，该设备的价值需小于11万元．利用{an}的通项公式列不等式求解．
解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．
由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．
所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.
因为a1＝220－d，
所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
由题意，得a10≥11，a11＜11.
即：220－10d≥11220－11d＜11解得19475
由于n∈N*，则n≥10,2019+10-1=2028
所以该市在2028年 建住房面积开始大于820万平方米.
例4. 分析：（1） {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.
解：（1）设等差数列bn的公差为d.
∵b1=a1, b5=a2, ∴ b5- b1 =a2 - a1=8
∵b5- b1 =4d', ∴4d' =8, d' =2,
∴bn=2+(n-1) 2=2n
所以数列bn的通项公式是bn=2n
（2）数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列cn，则cn=4n - 3
令4n - 3=29, 解得:n =8
所以， b29是数列的第8项
对于第（2）小题，你还有其他解法吗？
例5. 分析：利用等差数列的中的两个基本量 a1, d ,再根据等差数列的定义
写出ap，aq，as，at，即可得证.
证明：设数列an 的公差为d,则
ap=a1+(p-1) d,
aq=a1+(q-1) d,
as=a1+(s-1) d,
at=a1+(t-1) d,
所以: ap+aq=2a1+(p+q-2) d,
as+at=2a1+(s+t-2) d,
因为p+q=s+t，
所以ap+aq=as+at.
例5 通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？
思路：ap-asp-s=at-aqt-q
∵p+q=s+t,∴ p-s=t-q
∴ap-as=at-aq∴ap+aq=as+at
达标检测
1．【答案】C [∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
∴a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]
2． 23.2 [根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]
3．【答案】18 [∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
∴a7＝eq \f(17,3).
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.
故d＝eq \f(a9－a7,9－7)＝eq \f(7－\f(17,3),2)＝eq \f(2,3).
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×eq \f(2,3)，∴k＝18.]
4． 【答案】－1 [可求得数列的通项公式为an＝35－4n.
则当n≤8时an>0；当n≥9时an