高中4.1 数列的概念教案设计

这是一份高中4.1 数列的概念教案设计，共12页。

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用
难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定
多媒体
普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
课程目标
学科素养
A. 理解等差数列的概念
B.掌握等差数列的通项公式及应用
C.掌握等差数列的判定方法
1.数学抽象：等差数列的概念
2.逻辑推理：等差数列通项公式的推导
3.数学运算：通项公式的应用
4.数学建模：等差数列的应用
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
导语
我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。
新知探究
1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形
的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到
外各圈的示板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81 ①
2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48 ②
3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位℃）依次为
25,24,23,22,21 ③
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r ，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金(b=a12n)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为
ar,ar-br,ar-2br,ar-3br… , ④
在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
1．等差数列的概念
文字语言
如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
符号语言
an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．( )
(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．( )
(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．( )
×; ×; √
问题探究
思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得an+1-an= d
所以a2-a1= d, a3-a2= d, a4-a3= d,…
于是 a2=a1+ d,
a3=a2+ d=(a1+ d) + d=a1+ 2d,
a4=a3+ d=(a1+ 2d) + d=a1+ 3d,……
归纳可得an=a1+(n-1) d (n≥2)
当n=1时，上式为a1=a1+(1-1) d=a1，这就是说,上式当时也成立。
因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1) d
思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？
[提示] 还可以用累加法，过程如下：
∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，…
an－an－1＝d(n≥2)，
将上述(n－1)个式子相加得
an－a1＝(n－1)d(n≥2)，
∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，
∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列． ( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关． ( )
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( )
解析： (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；
若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；
d