初中数学北师大版（2024）九年级下册8 圆内接正多边形当堂达标检测题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册8 圆内接正多边形当堂达标检测题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是( )
A．B．C．D．
2．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
3．正六边形边长为2，分别以对角线和为边作正方形，则图中两个阴影部分的面积差的值为（ ）
A．8B．C．4D．0
4．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45°B．60°C．72°D．90°
5．已知的直径为4，则它的内接正六边形的面积为（ ）
A．B．12C．24D．
6．已知正六边形ABCDEF的边心距为 cm，则正六边形的半径为（ ）cm．
A．2B．2C．D．4
7．如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点的坐标为2,0，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．−1,1
8．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，的顶点都在格点上，则的面积是（ ）
A．B．2C．3D．3
10．如图所示，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为( )
A．8B．9C．10D．11
11．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）
A．B．C．D．
12．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是（ ）
A．S6＞S4＞S3B．S3＞S4＞S6C．S6＞S3＞S4D．S4＞S6＞S3
二、填空题
13．如图，已知P、Q分别是⊙O的内接正六边形ABCDEF的边AB、BC上的点，AP=BQ，则∠POQ的度数为 °．
14．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的半径为 。
15．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形BCFG的面积是12cm2，则正八边形的面积为 cm2．
16．已知⊙O是正方形ABCD与正三角形EFG的外接圆，正方形的边长为a，则正三角形EFG的边长为 ．
17．已知的半径为1，则它的内接正三角形边心距为 ．
三、解答题
18．如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长．
19．如图，边长为1的正五边形ABCDE内接于，延长AB，DC交于点F，过点C作的切线CG交AF于点G．
(1)求证：；
(2)求的值．
20．矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
21．如图，是的内接正五边形．求证：.
22．如图，已知是的切线，切点为，点在上，交于，交直线于，交于，且．一同学通过测量猜测，为的内接正二十四边形的一边，你认为他的猜测正确，请你证明；若你认为他的猜测不正确，请说明理由．

23．已知如图，的内接中，，弦分别，且，求证：五边形是正五边形．
24．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．
《3.8圆内接正多边形》参考答案
1．D
【分析】这个三角形的外接圆的半径就是三角形的外心到其中一个顶点的长度，把圆的问题解决为三角形的问题求值即可.
【详解】解：设正△ABC的中心为O，
如图，连接OB，作OD⊥BC，由正三角形的边长可知BC=12，∠OBD=30°，
BD=6，
OB=BD÷cs∠OBD=6÷ =4 .
故选D.
【点睛】本题考查了正多边形和圆．关键是画出正三角形及其中心，表示正三角形外接圆的半径，把问题转化到直角三角形中求解．
2．C
【分析】设的半径是，则，根据是的平分线，求出，进而得出，再根据相似比求出，从而得到的值．
【详解】解：连接、、，如图所示：
设的半径是，则，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即的值是，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆的关系．解答本题的关键是熟练掌握正多边形的有关概念，并准确运用他们求线段长．
3．C
【分析】求出两个正方形的面积，可得结论．
【详解】解：如图，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AD＝4，OD=，
∴CD=，EC=2CD=2，
∴AD为边的正方形的面积为16，EC为边的正方形的面积为12，
∵a＋空白＝16，b＋空白＝12，
∴两个阴影部分的面积差a−b＝16−12＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，具体的规划是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．B
【分析】利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．
【详解】解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°．
故选B．
【点睛】本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形是解决问题的关键．
5．A
【分析】设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积．
【详解】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
则∠AOB＝60°，OA＝OB＝×4＝2，
∴△OAB是正三角形，
∴AB＝OA＝2，
∵OC＝OA•sin∠A，
∴S△OABAB•OC
∴正六边形的面积为6．
故选：A．
【点睛】本题考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．
6．B
【分析】根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，再根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∴OD=OA•sin∠OAB=AO=，
解得：AO=2．
故选B．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
7．A
【分析】先连接，由于正六边形是轴对称图形， 并设交轴于，那么；在中， 则，． 即可求得的坐标．
【详解】解：连接，设交轴于，如图所示，
∵点的坐标为2,0，
∴，
由正六边形是轴对称图形知：
在中，，．
，，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标，熟练掌握正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标是解题的关键．
8．C
【分析】根据正多边形的中心角=计算即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意=72°，
∴n=5，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=．
9．D
【分析】延长，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据即可求解．
【详解】延长，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．如图所示：
正六边形的边长为1，则半径是1，则，
两平行的边之间距离是： ，
则的边上的高是： ，
边上的高是： ，
则 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了与正多边形有关的计算，灵活运用是是解题关键．
10．D
【详解】∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB=10，BC=7，CD=8，
∴AD+7=10+8，
解得：AD=11．
故选D．
11．D
【详解】解：连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=，
故选：D，
12．A
【分析】根据正三角形，正方形，正六边形的周长为，即可求出各图形的边长，再结合正多边形的性质和解直角三角形，即可求解各图的面积
【详解】如图（1），正三角形的周长为
AB＝4，AD＝2，∠OAD＝30°，
∴ OD＝．
∴ ．

如图（2），正方形的周长为
AB＝AC＝3，∴ S4＝3×3＝9．
如图（3），正六边形的周长为
CD＝2，
∴OC＝2，CM＝1，
∴OM＝．
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
故选：A
【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质，解答此题的关键是根据题意画出图像，再根据正三角形，正方形，正六边形的周长求出各图形的边长，再分别求出其面积进行比较．
13．60
【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．
【详解】连接OA、OB、OC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=60°，
∵AP=BQ，AB=BC，
∴BP=CQ，
在△OBP和△OCQ中，
，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=60°．
故答案为60°．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．3
【分析】根据圆内接正六边形边长与半径的关系即可得出结论．
【详解】∵圆内接正六边形的周长为18，
∴边长是3，
∴圆的半径是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的外接圆半径与边长相等是解答此题的关键．
15．24
【详解】连接HE，AD，
在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，
∵正八边形每个内角为：=135°，
∴∠HGM=45°，
∴MH=MG，
设MH=MG=x，则HG=AH=AB=GF=x，
∴BG×GF=2（+1）x2=12，
∴四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（+1）x2=6，
∴正八边形的面积为：6×2+12=24（cm2）．
【点睛】根据正八边形的性质得出正八边形每个内角以及表示出四边形ABGH面积是解题的关键．
16．
【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，再在Rt△OME中利用30°角的性质即可解决问题．
【详解】解：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝a，
∴OE＝OF＝a，
∵OM⊥EF，
∴EM＝MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
在Rt△OME中，
∵OE＝a，∠OEM＝∠GEF＝30°，
∴EM＝OE＝a，
∴EF＝a．
故答案为a．
【点睛】本题主要考查正多边形和圆，关键是掌握正多边形的性质和圆的性质，同时作辅助线也是解题的关键．
17．/
【分析】根据题意画出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，是等边三角形，是的外接圆，过点作，连接，，，
，，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
18．(1)见详解；
(2)见详解．
【分析】（1）利用数形结合的思想求出正方形的边长即可解决问题；
（2）根据，寻找点G，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：正方形如图所示：
（2）解：以为顶角的等腰三角形如图所示：
．
【点睛】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥CG，根据CD=CB得到OC⊥BD，即可得到；
（2）通过求角度得到CG＝CB＝GF＝1，再证明计算即可．
【详解】（1）连接OC．
∵正五边形ABCDE
∴．
∴．
∴OC⊥BD
∵CG是⊙O的切线，
∴OC⊥CG．
∴．
（2）∵在正五边形ABCDE中，CD＝CB，，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴∠GCF＝∠F，∠CBG＝∠BGC．
∴CG＝GF，CG＝CB．
∴CG＝CB＝GF＝1．
∵∠CBG＝∠CBF，∠BCF＝∠CGB，
∴．
∴．
∴．
即．
解得．
∴．
【点睛】本题考查圆与正多边形、相似三角形的判定与性质，熟记圆相关性质是解题的关键．
20．矩形、菱形都不是正多边形，只有正方形是正多边形，理由见解析．
【分析】根据正多边形的性质特点即可判断．
【详解】矩形、菱形都不是正多边形，只有正方形是正多边形，
理由如下：因为正多边形不仅各边相等，而且各角也相等，所以正方形是正多边形．
矩形只是角相等，边不一定相等；菱形只是边相等，角不一定相等，故不是正多边形．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质辨析，解题的关键是熟知正多边形的性质：正多边形各边相等，各角也相等．
21．证明见解析
【分析】根据正五边形的性质求出，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
【详解】证明：∵是正五边形，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质是解答此题的关键．
22．猜测正确．理由见解析．
【分析】由切于点，可知 由已知，，可求出的度数，进而可求出的度数，根据三角形内角和为可求出的度数，根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍，可求出 的度数，进而可求出的度数，可对猜测进行判断．
【详解】猜测正确．理由如下：
∵切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵是所对圆心角，是所对的圆周角，
∴，
∴，
∵，
∴是内接正二十四边形的一边．
【点睛】本题考查正多边形和圆的性质以及切线的性质和圆周角定理等知识，根据已知得出的度数是解题关键．也考查了三角形内角和定理和等边对等角．
23．详见解析.
【分析】此题考查了正多边形和圆，欲求证五边形是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等即可．
【详解】在中，∵，
∴，
又∵弦分别，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴点A，E，B，C，D把五等分，
∴五边形是正五边形
24．A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）
【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论．
【详解】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，
∵OE=OD，∠EOD=，
∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，
∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，
∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，
点E的坐标为（1，），
又由题意知点D的坐标为（2，0），
由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．
故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．
【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
B
A
B
A
C
D
D
题号
11
12








答案
D
A