北师大版（2024）九年级下册4 圆周角和圆心角的关系课堂检测

这是一份北师大版（2024）九年级下册4 圆周角和圆心角的关系课堂检测，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在四边形中，，，，是的中点，连接，．则的度数为（ ）

A．10°B．12°C．15°D．18°
3．如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（ ）
A．2B．C．4D．
4．如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．在同圆或等圆中，如果，那么AB和CD的关系是( )
A．AB＞CDB．AB＝CD
C．AB＜CDD．AB＝2CD
6．如图，⊙O的半径为4，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝45°，则弦AB的长是（ ）
A．B．4C．D．3
7．如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（ ）
A．12B．C．6D．
8．如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD＝48°，则∠BAC的大小是( )
A．60°B．48°C．30°D．24°
10．如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．如图，已知是 的圆周角，，则圆心角 是（ ）
A．B．C．D．
12．下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（ ）
A．①②③④B．②③④C．②④D．③④
二、填空题
13．如图，是的直径，若，连接，则的度数是
14．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D．已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为 cm.
15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=cm，，则圆O的半径为 cm．
16．如图，，则 ， ， ， ．
17．弧AB与弧CD的度数相同，那么弧AB=弧CD．( )
三、解答题
18．如图，在中，，求和的度数．
19．如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．
20．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求的度数
21．已知：如图，内接于，平分交于点M，于D．求证：．
22．牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；
(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．
23．如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）若，求∠OCE的度数；
（2）若，AE＝2，求圆O的半径．
《3.4圆周角和圆心角的关系》参考答案
1．C
【分析】由圆周角定理得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
点所对应的读数为，
，
为直径，，
点在上，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系．
2．C
【分析】连接DE，根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB=150°，再根据 DE=BE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接DE，
∵∠ABC=∠ADC=90°，是的中点，
∴DE=BE=AC=AE=EC，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵，，
∵∠BAD=∠DAC+∠BAC=75°，
∴∠DEB=150°，
∵DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB=15°，
故选：C．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，推出A，B，C，D四点共圆是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到的度数，根据垂径定理得到的长度，即可求出半径的长度．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
4．B
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【详解】解：由圆周角定理得，，
四边形是的内接四边形，
，
故选：B．
5．B
【详解】在同圆或等圆中，∵=，∴AB=CD.
故选B
点睛：同圆或等圆中，等弧对等弦．
6．C
【详解】试题分析：作OD⊥AB于D，连接OA，OB，因为∠ACB＝45°，所以AOB=90°，因为OA=OB=4,根据勾股定理，AB=.
本题涉及了圆的相关性质，该题较为简单，是常考题，主要考查学生对圆心角、圆周角等概念的理解以及弦长度的计算方法．
7．A
【分析】本题主要考查圆周角定理和直角三角形的性质，连接，由，可得为的直径，当，可得，在中，，则，故可得解．
【详解】解：连接，如图，
∵，即，
∴为的直径，
∵所对的圆周角是，
∴
在中，，
，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定和性质，连接，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理求出的长，得到为等腰直角三角形，得到，圆周角定理，得到，，利用三角形的内角和定理，即可得出结果．
【详解】解：连接，交于点，则：，
∵，
∴垂直平分，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∴；
故选C
9．D
【详解】试题分析：∵直径AB⊥CD，∴，∴∠BAC=∠BOD=×48°=24°．故选D．
考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．
10．B
【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可．
【详解】∵四边形内接于，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∵
∴
故选：B．
【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
11．D
【详解】解：根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得=2=，故选D
12．C
【分析】根据四个点共圆的条件：对角互补，进行判断．
【详解】解：平行四边形、菱形的对角不一定互补，不一定能够四个点共圆；矩形、正方形的对角互补，四点一定共圆．
故选：C．
【点睛】本题考查了共圆问题，掌握四点共圆的条件以及特殊四边形的性质是解题的关键．
13．/度
【分析】本题考查圆周角定理，连接，，圆周角定理，得到，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
14．
【详解】试题分析：连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，先根据垂径定理结合勾股定理求得半径的长，即可得到AB的长，再根据勾股定理即可求得结果.
连接AC
∵AB是半圆O的直径
∴∠ACB=90°
∵E是弧BC的中点
∴OD⊥BC
∴
∵
即
解得
则
∵∠ACB=90°，BC=8cm
∴
∴
考点：圆周角定理，垂径定理，勾股定理
点评：解答本题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角；垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.
15．2
【详解】解：如图，连接OB
∵
∴
∵在⊙O中，CD是直径，弦ABCD
∴AE=BE，且△OBE是等腰直角三角形
∵AB=cm
∴BE=cm
∴OB=2 cm
故答案为：2．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键．
16．
【分析】在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数等于圆心角度数的一半．
【详解】解：∵弧ACB:弧ADB=5:4，弧ACB+弧ADB=360°
∴弧ACB=200°，弧ADB=160°
∴，，，．
故答案为：．
【点睛】本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般．
17．错误
【分析】根据圆周角定理判断即可.
【详解】因为弧AB与弧CD不一定是在同圆或等圆中，所以不等判定弧AB是否等于弧CD．
故答案为错误.
【点睛】本题考查圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等.
18．．
【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再由圆内接四边形的性质得出的度数即可．
【详解】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，，
．
四边形是的内接四边形，
．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半以及圆的内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
19．证明：（1）如图，连接OB，则∠BAE=∠BOC，
∵OF⊥BC，∴∠COF=∠BOC．
∴∠BAE=∠COF．
又∵AC⊥BD，OF⊥BC，∴∠OFC=∠AEB=90°．
∴△AEB∽△OFC．
（2）∵△AEB∽△OFC，∴，即．
由圆周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE．∴．
∴．
∵OF⊥BC，∴BC=2CF．
∴AD =2FO．
【详解】试题分析：（1）连接OB，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BOC，根据垂径定理可得∠COF=∠BOC，再根据垂直的定义可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；
（2）根据相似三角形对应边成比例可得，再根据圆周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，再根据垂径定理BC=2FC，代入整理即可得证．
20．68°
【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠EBO=2∠A，则∠E=2∠A，再利用∠EOD=84°得到2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，接着计算出∠BOE的度数，从而得到的度数．
【详解】解：连接OB，如图，
∵OB=OC，OC=AB，
∴OB=AB，
∴∠A=∠BOA，
∴∠EBO=∠A+∠BOA=2∠A，
∵OB=OE，
∴∠E=∠EBO=2∠A，
∵∠EOD=∠E+∠A，
∴2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，
∴∠E=∠EBO=56°，
∴∠BOE=180°-∠E-∠EBO=180°-56°-56°=68°，
∴的度数为68°．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，添加辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键．
21．见解析.
【分析】首先延长AO交⊙O于N，连接BN，根据圆周角定理与AD⊥BC，可得∠ABN=∠ADC=90°，又由∠C=∠N，可得∠BAN=∠DAC，然后根据AM平分∠BAC，即可证得∠MAO=∠MAD．
【详解】证明：延长AO交⊙O于N，连接BN，
∵AN是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴∠ABN=∠ADC=90°，
∴∠BAN+∠N=90°，∠DAC+∠C=90°，
∵∠N=∠C，
∴∠BAN=∠DAC，
∵AM平分∠BAC， 即∠BAM=∠CAM，
∴∠MAO=∠MAD．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及角平分线的定义，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆周角定理的应用．
22．(1)m
(2)，原因见解析
【详解】解：（1）设，，，
在中，，
，，；
（2）如解图，补全，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，
，，，
不变，是定值，“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．
23．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接，根据圆周角推论得，根据点是的中点得，，用ASA证明，即可得；
（2）根据题意和全等三角形的性质得，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得，即可得，根据相似三角形的性质得，即可得
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
为直径，
，
又点是的中点
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
又四边形内接于圆，
，
又，
，
又，
，
，
即：，
解得：，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．
24．（1）6°；（2）3．
【分析】1）首先求出∠ADE的度数，再根据圆周角定理求出∠AOC的度数，最后求出∠OCE的度数；
（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA－AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．
【详解】（1）∵CD⊥AB，∠A=48°，
∴∠ADE=42°．
∴∠AOC=2∠ADE=84°，
∴∠OCE=90°－84°=6°；
（2）因为AB是圆O的直径，且CD⊥AB于点E，
所以CE=CE=×4=2，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
设圆O的半径为r，则OC=r，OE=OA－AE=r－2，
所以r2=（2）2+（r－2）2，
解得：r=3．
所以圆O的半径为3．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理和垂径定理．在求弦长、半径、弦心距有关的问题中往往是找到或构造直角三角形根据勾股定理列方程解决．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
B
B
C
A
C
D
B
题号
11
12








答案
D
C