数学九年级下册第三章 圆4 圆周角和圆心角的关系达标测试

这是一份数学九年级下册第三章 圆4 圆周角和圆心角的关系达标测试，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC=30°，BC=2，则AB的长为（ ）．
A．2B．4C．6D．8
2．如图，直角梯形中，，，，过A，B，D三点的分别交，CD于点E，M，且，下列结论：①；②；③的直径为2；④．其中正确的结论是 ( )
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
3．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则∠C与∠D的大小关系为（ ）
A．∠C＞∠DB．∠C＜∠DC．∠C=∠DD．无法确定
4．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于( )
A．60°B．70°C．120°D．140°
5．如图，，，，均在上，，若，则的长最大为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于（ ）

A．B．C．D．
8．如图，是的圆周角，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，则∠BAD的度数是（ ）

A．48°B．58°C．60°D．64°
10．如图，为的直径，点，点是上的两点，连接，，．若，则的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．140°
11．如图，∠C＝15°，且，则∠E的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
12．如图，⊙的半径为，其中，＝30°，AD＝2，则弦的长为（ ）
A．3B．3.5C．D．
二、填空题
13．已知的半径为4，弦长为 ，则弦所对的圆周角的度数为 °．
14．下列命题：①三点确定一个圆.②三角形的外心到三个顶点的距离相等.③相等的圆周角所对的弧相等.④平分弦的直径垂直于弦.是假命题的为 .（填序号）
15．两个大小不同的半圆叠放如图所示，其圆心均为点，直径和在同一直线上，为小半圆的中点，延长和分别交大圆于点和点，连接，若为中点，则的长为 ．
16．如图，点，，，在上，是直径，，，则 .
17．在矩形中，，，，，连接，则的最小值是 ．

三、解答题
18．中，,，点P是射线上的一个动点，，且，直线交直线于点M，连接．
(1)如图①，当点P是的中点时，的度数为 ；
(2)如图②，当点P不是的中点时，请判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)若，当时，请直接写出线段的长．
19．阅读：如图1所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD．BC是⊙O的直径，AB＝AC．请说明线段AD、BD、CD之间的数量关系．下面是王林解答该问题的部分解答过程，请补充完整：
解：2AD+CD＝BD．
理由如下：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
如图2所示，过点A作AM⊥AD交BD于点M，…
(1)补全王林的解答过程；
(2)如图3所示，四边形ABCD中∠ABC＝30°，连接AC、BD．若∠BAC＝∠BDC＝90°，直接写出线段AD、BD、CD之间的关系式是 ．
20．某学校的学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度．
【素材一】如图1，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上．拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内．
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）．
【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表（观测误差忽略不计）．
【任务一】初步探究，获取基础数据
（1）如图3，设1号轿厢运动到最高点A时，4号轿厢位于B点，连接，则______；
（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度．（结果保留根号）
【任务二】推理分析，估算实际高度
（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，）
21．问题提出
（1）如图①，在中，，，则的最大面积为 ；
（2）如图②在中，，，求的最大面积；
问题解决
（3）如图③，某公园准备修建一座四边形儿童游乐场，其中线段为儿童游乐场的入口，在点，处分别安装一个摄像头，对入口段实施监控（点，，，在同一平面），调研发现，为了监控效果最好，须满足，已知，，问儿童游乐场（即四边形）面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．
22．（1）如图①， 点P 为上一点，， 垂足分别为点A与点H， 若，则的最大值为 ；
(2) 如图②， 在中，， D 是边上一点， 且， 点E 是边上一点， 将沿折叠， 则点C落在 F 处， 连接， 求周长的最小值；
（3）如图③，是某花园的设计示意图，已知，，，， 弧为上的一段优弧， 点E为弧上的一点，过点E与点O铺设一条观赏小路，过点 A 铺设一条与之垂直的观赏小路，垂足为F，现计划在内种植牡丹花，已知牡丹花每平米的成本费为 500 元，则种植牡丹花所需费用至少为多少元？
23．如图，、、都是的半径，.
(1)求证：；
(2)若，，求的半径.
24．如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，垂足分别是E、F．
（1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论．
（2）若，．求的半径．
参考答案：
1．B
【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求AB的长．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×2=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2．C
【分析】连接BD，BM，，，DE，由90°角所对的弦为直径，得到BD为圆的直径，再利用直径所对的圆周角为直角，得到为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到为矩形，利用矩形的对边相等得到，而，等量代换得到，可得出M为的中点，即，故选项①正确；由AB与MC平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得到四边形为平行四边形，可得出，而，等量代换得到，由BD为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到为直角三角形，由与的长，利用勾股定理求出DE的长，设，则，在直角中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出的长，即为BD的长，确定出圆的直径，即可对于选项③作出判断；在直角中，由M为CD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到与相等，都等于的一半，利用等弦所对的劣弧相等，得到，同时由，得到，等量代换得到，故选项②正确；在直角中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即可对于选项④作出判断．
【详解】连接BD，BM，，，DE，
∵，
∴BD为圆的直径，
∴，
∴，
∴四边形矩形，
∴，
又∵，
∴，即；故选项①正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，
∵BD是直径，
∴，即，
又，，
根据勾股定理得：，
设，，
在中，
根据勾股定理得：，即，
解得：，
∴，故选项③错误；
在中，M是中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故选项②正确；
在中，，，
根据勾股定理得：；故选项④正确；
则正确的选项为：①②④．
故选C．
【点睛】此题属于圆综合题，考查圆周角定理，圆心角、弦及弧之间的关系，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，矩形的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，利用了方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
3．A
【分析】直接利用圆周角定理结合三角形的外角的性质即可得.
【详解】连接BE，如图所示：
∵∠ACB=∠AEB，
∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D．
故选A．
【点睛】考查了圆周角定理以及三角形的外角，正确作出辅助线是解题关键．
4．D
【详解】如图，连接OA，则
∵OA=OB=OC，
∴∠BAO=∠ABO=32°，∠CAO=∠ACO=38°．
∴∠CAB=∠CAO＋∠BAO=700．
∵∠CAB和∠BOC上同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠CAB=1400．
故选D．
5．C
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据等边三角形的判定和性质解答即可．熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
∵点，，，均在上，
∴四边形为的圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
当为的直径时，最大，最大值为．
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，弦，
∴，
∴．
故选：B．
7．A
【分析】先证明，可得，再利用圆周角定理的含义可得答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．
8．B
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据得到，再根据三角形的内角和求出，最后根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：B．
9．B
【分析】如图，连接BD.证明∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝32°即可解决问题.
【详解】解：如图，连接BD，

∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝32°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝58°，
故选：B
【点睛】此题考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等.
10．B
【分析】连接，如图，利用圆周角定理得到，再利用互余计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
11．C
【分析】连接OA、OB、OC和OD，根据圆心角定理求出∠AOD的度数，又知，即可求出∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝110°，进而求出∠BAC＝55°，再根据∠BAC＝∠C+∠E，即可求出∠E的度数．
【详解】连接OA、OB、OC和OD，
∵∠C＝15°，
∴∠AOD＝30°
∵，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝110°，
∴∠BAC＝∠BOC＝55°，
∵∠BAC＝∠C+∠E，
∴∠E＝40°．
故选：C．
【点睛】本题主要按考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系的知识点，解答本题的关键是求出∠BAC的度数，本题比较简单．
12．D
【分析】连接BC，由可得AD=BC的长，由∠CDE=30°，可得相关圆周角和圆心角的度数，得到等边△OCE，从而得到CE的长；再过点C作CH⊥BE，利用两次勾股定理即可得BE长度．
【详解】连接OC，OE，BC、CE，
∵，
∴BC=AD=2，
∵∠CDE=30°，
∴∠COE=60°，∠CBE=∠CDE=30°，
∴△OCE是等边三角形，
∴CE=，
过点C作CH⊥BE交BE于点H，
在Rt△BCH中，CH=BC=1，
BH=，
在Rt△CEH中，HE＝＝2，
∴BE＝．
故选 D．
【点睛】本题是圆周角定理的综合题，涉及到圆周角定理、等边三角形、含30度角的直角三角形，勾股定理，其中作辅助线是解题的关键．
13．或
【分析】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是先根据题意画出图形，连接、，过作，由垂径定理和勾股定理可求出的长，可求出的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接、，过作，
则，，
，，
，
则，
，
，
在上取点，连接、，在优弧上取点，连接、，
，
∴．
故答案为：或．
14．①③④
【分析】分别根据确定圆的条件、三角形外心的性质、圆周角定理的推论和垂径定理的推论依次进行判断即可.
【详解】解：不共线的三点确定一个圆，故①是假命题；
三角形的外心到三个顶点的距离相等，故②是真命题；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故③是假命题；
平分弦（弦非直径）的直径垂直于弦，故④是假命题.
综上，答案为：①③④.
【点睛】本题考查了圆的有关性质，属于基础题型，熟练掌握圆的基本知识是正确解题的关键.
15．/
【分析】先由垂径定理得，根据圆的性质，得，结合直径所对的圆周角是90°，得，再根据勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：连接并延长交于一点H，连接
∵两个大小不同的半圆叠放如图所示，其圆心均为点，直径和在同一直线上，为小半圆的中点，
∴
∵为中点，
∴
∵为直径
∴
设
则
在中，
即
解得（负值已舍去）
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂直定理，勾股定理，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
16．50°
【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC，进而得出答案．
【详解】解：∵，∠CAD=40°，
∴∠CAD=∠CAB=40°，
∴∠DBC=∠DAC=40°，
∵是直径，∴∠ABC=90°,
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-90°-40°=50°，
故答案为50°．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠CAB度数是解题的关键．
17．
【分析】如图，连接交于，证明，而，可得，，在上取点，且，连接，过作于，连接交于，证明四边形为矩形，求解，结合，即，可得在以为圆心，为半径是圆弧上，当三点共线时，最短，过作于，交于，则，，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接交于，
∵矩形，，，
∴，，
∴，而，
∴，
∴，，
在上取点，且，连接，过作于，连接交于，
∴，而，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴在以为圆心，为半径是圆弧上，
∴当三点共线时，最短，
过作于，交于，则，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为：；
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题难度大，确定点的运动轨迹是解本题的关键．
18．(1)
(2)成立，见解析
(3)或
【分析】(1)先判定是等边三角形；利用等腰三角形三线合一性质，证明，根据，得到，结合，判定是等边三角形；利用三角形外角性质，线段垂直平分线性质计算即可．
(2)如图，过点C作于点H，于点N，利用三角形全等，角平分线判定定理，证明即可．
(3)分点P在线段上和射线上，利用勾股定理，特殊角的性质计算即可．
【详解】（1）∵,，
∴是等边三角形；
∵点P是的中点，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
∴；
∴，，
∴，
∴，
故，
故答案为：．
（2）成立，理由如下：
∵,，
∴是等边三角形；
∴；,
连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
∴；
∵，
∴，
∴，
如图，过点C作于点H，于点N，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在线段上时，
如图，过点B作于点G，在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形；
∴； ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
当点P在射线上时，
如图，过点B作于点H在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形；
∴； ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴A，C，B，M四点共圆，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故或．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，圆的内接四边形的判定和性质，分类思想，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作MA⊥AD，AM交BD于M，求出∠BAM=∠DAC=90°-∠MAC，根据圆周角定理求出∠ABM=∠ACD，根据全等三角形的判定得出△ABM≌△ACD，根据全等三角形的性质得出AM=AD，BM=CD，再求出答案即可；
（2）作MA⊥AD，AM交BD于M，求出∠BAM=∠DAC=90°-∠MAC，根据圆周角定理得出∠ABM=∠ACD，根据相似三角形的判定得出△ABM∽△ACD，根据相似三角形的性质得出，求出，根据勾股定理求出DM=2AD，再求出答案即可．
【详解】（1）∵∠BAC＝∠MAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC，
∵∠ABM和∠ACD都是对的圆周角，
∴∠ABM＝∠ACD，
在△ABM和△ACD中，
，
∴△ABM≌△ACD（ASA），
∴AM＝AD，BM＝CD，
∴△MAD是等腰直角三角形，
∴MDAD，
∴BD＝BM+DM＝CDAD，即AD+CD＝BD；
（2）2ADCD＝BD．
由∠BAC＝∠BDC＝90°，易得四点共圆，
作MA⊥AD交BD于M，
∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴BC＝2AC，ABAC，
∵∠ABM和∠ACD都是对的圆周角，
∴∠ABM＝∠ACD，
∵∠BAM＝∠DAC，
∴△ABM∽△ACD，
∴，
即AMAD，BMCD，
在Rt△MAD中，由勾股定理得：DM2AD，
∴BD＝BM+DMCD+2AD，即2ADCD＝BD，
故答案为：2ADCD＝BD．
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，直角三角的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
20．（1）45；（2）米；（3）写字楼的实际高度约为82米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，圆周定理，将实际问题转化为数学模型是解题的关键．
（1）由题可知，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个桥厢，因此；
（2）过点作于点，由题可知，点此时的高度为最高为128米，半径为60米，因此点高度为68米，根据，，可得，即可；
（3）连接，，，由素材1，素材3可得，，则，过点作于点，令，由素材2，3得：，，可得，即，因此点的高度为：（米，即可．
【详解】解：（1）连接、，如下图所示：
“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个桥厢，
，
故答案为：45．
（2）过点作于点，
点此时的高度为最高为128米，半径为60米，
点高度为68米，
，，
，
点的高度为米，
答：点的高度为米．
（3）连接，，，
由素材1，素材3可得，，
则，过点作于点，
令，由素材2，素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得：，，
，即，
点的高度为：（米，
答：写字楼的实际高度约为82米．
21．（1）12；（2）；（3）四边形的面积存在最大值，最大值为
【分析】（1）如图所示，过点C作于D，根据垂线段最短可得，再由三角形面积公式可得当最大时，的面积最大，据此可得答案；
（2）如图所示，在上方作且满足，过点O作于D，连接，先得到，则，再证明点C在以点O为圆心，的长为半径的圆上运动（优弧上 ），过点C作于E，则，由三角形面积公式可得当最大时，的面积最大，据此求解即可；
（3）先证明在以为直径的圆上，取的中点O，连接并延长交于F，过点C作于E，过点F作于G，连接，过点O作，由垂径定理得到，再由圆的性质得到，则利用勾股定理可得，进而求出；证明，得到，则；由是直径，得到，则，设交于T，证明，进而证明，由此可得答案．
【详解】解：（1）如图所示，过点C作于D，
∵垂线段最短，
∴，
∵，
∴当最大时，的面积最大，
∴当A、D重合，即时，的面积最大，最大为，
故答案为：；
（2）如图所示，在上方作且满足，过点O作于D，连接，
∵，，，，
∴，
∴，
∵，
∴点C在以点O为圆心，的长为半径的圆上运动（优弧上 ），
过点C作于E，
∵，
∴，
∵，
∴当最大时，的面积最大，
∴当三点共线时，最大，此时的面积最大，最大为；
（3）∵，
∴在以为直径的圆上，
取的中点O，连接并延长交于F，过点C作于E，过点F作于G，连接，过点O作，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵是直径，
∴，
∴，
设交于T，
∵，
∴，
∴
，
∴，
∴四边形的面积存在最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的性质与判定等问题，解题的关键在于把求面积的最大值转换成垂线段最短的问题．
22．（1）8；（2）；（3）元
【分析】（1）过点 O作于E，则四边形是矩形，据此得到，再由，即可得到；
（2）如图所示，连接，由折叠的性质可得，则的周长，根据题意可得点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动，故当三点共线，且点F在上时，有最小值，即此时的周长最小，利用勾股定理求出，则的周长最小值为；
（3）如图所示，过点A作于G，连接，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理求出，则，由圆周角定理得到，则；如图所示，取的中点P，过点P作于Q，连接，过点F作于M，由，deed点F在以点P为圆心，为直径的圆上运动，由（1）可知，即，证明四边形是正方形，进而证明四边形是矩形，得到，则，再由，得到当最小时，最小，则最小值为，可得种植牡丹花所需费用至少为元．
【详解】解：（1）如图所示，过点 O作于E，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为8，
故答案为：8；
（2）如图所示，连接，
由折叠的性质可得，
∴的周长，
∵，
∴点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
∴当三点共线，且点F在上时，有最小值，即此时的周长最小，
∵，
∴，
∴的周长最小值为；
（3）如图所示，过点A作于G，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，，
∴；
如图所示，取的中点P，过点P作于Q，连接，过点F作于M，
∵，
∴，
∴点F在以点P为圆心，为直径的圆上运动，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时，最小，
∴最小值为，
∴种植牡丹花所需费用至少为元．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最小值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，折叠的性质，圆周角定理，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线找到动点的估计是圆是解题的关键．
23．(1)详见解析
(2)的半径为5
【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系．
（1）利用圆周角定理可得，结合可证明结论；
（2）过点O作半径于点E，可得，根据圆周角、弦、弧的关系可证得，即可求得，利用勾股定理可求解，再利用勾股定理可求解圆的半径．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）过点O作半径于点E，连接，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即的半径是 5．
24．（1），证明见解析；（2）⊙O的半径为
【分析】（1）连接AO并延长交于点G，连接CB、BG，根据点OF分别是AGAB中点，得到OF是的中位线，则有，再根据同弧所对的圆周角相等可得，直径所对的圆周角是直角可得，则有，根据，，从而可得，，继而可得；
（2）在中，根据勾股定理可求得的半径．
【详解】解：（1）， 理由如下：
连接AO并延长交于点G，连接CB、BG，
∵，
∴，
∵，
∴OF是的中位线，
∴，
∵AG是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，，
在中，，
∴的半径为 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，解题的关键是能够作辅助线构造以OF为中位线的三角形．
1号轿厢测量情况
4号轿厢测量情况
10号轿厢测量情况
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
C
C
A
B
B
B
题号
11
12








答案
C
D