高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征课后复习题

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1、（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知随机变量的分布列为，、、，则随机变量的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为随机变量的分布列为，、、，
所以随机变量的期望.故选：A.
2、（2022春·辽宁大连·高二统考期末）设是一个离散型随机变量，其分布列为：
则的数学期望为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由得，，
∴.故选：B
3、（2022·高二课时练习）设随机变量的分布列为：
则的数学期望的最小值是( )
A． B．0 C．2 D．随p的变化而变化
【答案】A
【解析】由分布列的性质得
，解得，
，
∴的最小值为.故选：A.
4、（2022春·北京顺义·高二统考期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（ ）
A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
【答案】D
【解析】依题意可得，解得，
所以；故选：D
5、（2022春·天津武清·高二校考阶段练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意知，的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，，
为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮
，
故．故选：B
【题型2 离散型随机变量均值的性质】
1、（2022春·广东广州·高二统考期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】C
【解析】因为离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，
所以,
所以.故选：C
2、（2021·高二单元测试）随机变量的概率分布为，其中是常数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，解得
则
故选：D
3、（2022·高二课时练习）（多选）已知随机变量的分布列为：
若，则以下结论正确的是（ ）
A．无法确定 B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由分布列的性质，可得，解得，故B正确；
又由，解得，故A不正确；
由均值的性质，可知，故C正确；
又由，故D正确．故选：BCD．
4、（2022春·内蒙古赤峰·高二统考期末）设的分布列为
又，则______．
【答案】6
【解析】由分布列可知，解得，
所以，
所以.
5、已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球且，从乙盒中随机抽取 个球放入甲盒中，放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从乙盒中取1个球时，取出的红球个数记为，
则的所有可能取值为0，1，
则，，
所以；
从乙盒中取2个球时，取出的红球数记为，
则的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以，
所以，故A项正确；
，因为，所以，所以，
所以，所以，即，故C项正确；
而，，得，即，故D项错误；
，故B项正确；故选：D.
【题型3 求离散型随机变量的方差与标准差】
1、（2022春·北京·高二东直门中学校考阶段练习）若随机变量的分布列如表，则的方差是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】，
则.故选：D.
2、（2022春·新疆·高二八一中学校考期末）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由，解得
由随机变量的分布列的性质得，得
所以故选：B
3、（2022春·河北保定·高二校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意可得：，
所以，故选：A
4、（2022春·浙江绍兴·高二校考期中）学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则=_________．
【答案】
【解析】的可能取值为5,4,3,2
，，，
，
则，
则
5、（2022春·山东东营·高二统考期末）设，随机变量的分布列为：
则当在上增大时（ ）
A．单调递增，最大值为
B．先增后减，最大值为
C．单调递减，最小值为
D．先减后增，最小值为
【答案】D
【解析】由题知，解得，
所以
所以、
由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有最小值.故选：D
【题型4 离散型随机变量方差的性质】
1、（2023春·江西·高二校联考阶段练习）随机变量X的分布列如表所示，若，则_________.
【答案】5
【解析】依题意可得，解得，
所以，
所以.
2、（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）设X，Y为随机变量，且，则（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】B
【解析】由题意，，
故故选：B
3、（2022春·安徽黄山·高二统考期末）随机变量的分布列如下表，则_______.
【答案】20
【解析】由，
所以，，
4、（2022春·山东枣庄·高二统考期末）已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______．
【答案】
【解析】因为，
由，
得.
5、（2022·高二课时练习）已知随机变量X的分布列如表所示，且．
（1）求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）5
【解析】（1）由题意可知，解得，
又∵，解得．
∴．
（2）∵，∴．
（3）∵，∴．
【题型5 均值与方差的综合应用】
1、（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）（多选）随机变量的分布列为：
其中，下列说法正确的是（ ）
A． B． C．随b的增大而减小 D．有最大值
【答案】ABD
【解析】根据分布列的性质得，即，故A正确；
根据期望公式得，故B正确；
根据方差公式得
，
因为，
当时，随b的增大而增大；
当时，随b的增大而减小，故C错误；
当时，取得最大值，故D正确，故选：ABD．
2、（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）（多选）设离散型随机变量X的分布列为：
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，由，则，
所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，，故D错误.故选：AB.
3、（2022·高二课时练习）（多选）已知随机变量的分布列如表：
当a增大时，下列说法正确的是（ ）
A．增大 B．减小 C．减小 D．增大
【答案】AD
【解析】由分布列的性质，得．，
则当a增大时，增大，
，
∵，∴当a增大时，增大．故选：AD．
4、（2022·高二课时练习）（多选）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（ ）
A．的可能取值为0，1，2，3 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】根据题意，的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，
了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，
所以，，，
所以，的概率分布列为：
所以，，，
所以，BD选项正确，AC选项错误.故选：BD．
5、（2022春·北京房山·高二统考期末）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.
（1）从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；
（2）从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望；
（3）在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）
【解析】（1）依题意支持方案二的学生中，男生有人、女生人，
所以抽到的是女生的概率.
（2）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，
则，，
则的可能取值为、、，
所以，
，
所以的分布列为：
所以.
（3）依题意可得，所以，即.1
2
3
0
1
2
P
X
0
1
2
P
0.2
a
0.5
4
9
10
0.3
0.1
0.2
1
2
3
4
P
a
0
1
0
1
X
－1
0
1
P
a
b
0
1
2
0.4
0.2
X
0
1
x
P
p
0
1
2
P
a
X
0
1
2
3
4
q
0.4
0.1
0.2
0.2
－1
0
1
P
a
男
女
支持方案一
24
16
支持方案二
25
35