人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）导学案，文件包含拓展3-4函数的概念与性质高频题型专攻原卷版docx、拓展3-4函数的概念与性质高频题型专攻解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共56页， 欢迎下载使用。

一、判断是否为同一个函数
【例1】下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【例2】下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C． 与
D．与
【变式1-1】与函数相同的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ）
①，；②，；③，；④，．
A．①②B．②③C．③D．③④
【变式1-3】中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、函数的定义域问题
【例3】函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【例4】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
三、求函数的解析式
【例5】已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【例6】（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求的解析式.
【变式3-1】如图是某个函数的图象在的一段图像．写出函数在时满足图象的一个解析式 （写出一个即可）．

【变式3-2】已知函数是正比例函数，函数是反比例函数，且，.
(1)求函数和；
(2)求函数在上的最小值.
【变式3-3】求下列函数解析式
(1)函数满足， 求函数的解析式;
(2)函数满足，求函数的解析式.
四、定义法证明函数的单调性
【例7】已知函数．
(1)在坐标系中画出函数的图象；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
【例8】已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)证明：在上单调递增.
【变式4-1】已知函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义证明函数在上是增函数.
【变式4-2】已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断函数在上的单调性，并加以证明
【变式4-3】已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的判断.
五、利用函数的单调性求参数
【例9】已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【例10】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 .
【变式5-1】若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 .
【变式5-2】已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数a的取值范围是 .
【变式5-3】已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是 ．
六、求函数的最值或值域
【例11】已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【例12】求下列函数的值域：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
【变式6-1】对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为 ．
【变式6-2】若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ．
【变式6-3】已知.
(1)求的值和满足的实数a的值；
(2)求的定义域和值域.
七、函数奇偶性的判断
【例13】下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【例14】（多选）下列函数是奇函数的是（ ）
A．，（）B．C．D．
【变式7-1】下列说法中错误的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数是偶函数
C．函数，是偶函数
D．函数既不是奇函数，也不是偶函数
【变式7-2】若函数是奇函数，函数是偶函数，则（ ）
A．函数是奇函数
B．函数是奇函数
C．函数是奇函数
D．函数是奇函数
【变式7-3】判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)，；
(3)
八、利用函数的奇偶性求值或求参
【例15】已知函数是上的偶函数，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【例16】若函数是奇函数，则实数（ ）
A．0B．C．1D．
【变式8-1】已知函数为偶函数，则 ．
【变式8-2】已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ．
【变式8-3】已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．6D．9
九、利用函数的奇偶性求解析式
【例17】已知是定义在上的奇函数，当时，；则当时， .
【例18】若奇函数和偶函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ．
【变式9-2】已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值是 .
【变式9-3】已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 .
十、利用单调性、奇偶性解不等式
【例19】定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【例20】已知定义在上的函数满足，且时，，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为 .
【变式10-2】若奇函数定义域为R，当时，，则是 函数（填写单调性）；不等式的解集是 ．
【变式10-3】已知函数是定义在上的奇函数，且
(1)求的值；
(2)用定义法判定的单调性；
(3)求使成立的实数的取值范围.
十一、利用单调性、奇偶性比较大小
【例21】设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【例22】已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-1】若函数在上是增函数,函数是偶函数,则,,的大小顺序是( )
A．B．
C．D．
【变式11-2】若奇函数在上是减函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-3】已知函数是R上的奇函数.
(1)求m的值；
(2)比较与0的大小，并说明理由.
十二、抽象函数的综合问题
【例23】已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【例24】已知函数的定义域为，对任意且，都满足.
(1)求;
(2)判断的奇偶性;
(3)若当时，，且，求不等式的解集.
【变式12-1】（多选）已知函数fx的定义域是，且，当x>1时，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数fx在上是减函数
C．＋＋…＋＋＋＋＋…＋＋＝2 022D．不等式的解集为
【变式12-2】（多选）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．D．若，则
【变式12-3】已知在上有意义，单调递增且满足．
(1)求证：；
(2)求不等式的的解集．
十三、幂函数的图象与性质
【例25】函数为幂函数，则该函数为（ ）
A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数
【例26】已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式13-1】已知函数，若在上不具有单调性，则的取值范围是 .
【变式13-2】已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 .
【变式13-3】已知幂函数经过点．
(1)当时，求函数的值；
(2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．
十四、简单函数模型的应用
【例27】学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ）


A．①②B．③④C．①④D．②③
【例28】党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【变式14-1】退耕还林工程就是从保护生态环境出发，将水土流失严重的耕地，沙化、盐碱化、石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地，有计划，有步骤地停止耕种，因地制宜的造林种草，恢复植被．某地区执行退耕还林以来，生态环境恢复良好，年月底的生物量为，到了月底，生物量增长为．现有两个函数模型可以用来模拟生物量（单位：）与月份（单位：月）的内在关系，即且）与．
(1)分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析，求出对应的解析式；
(2)若测得年月底生物量约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适．
【变式14-2】新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（销售利润=销售总价固定成本生产成本）
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？
【变式14-3】新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）
(2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
一、判断是否为同一个函数
八、利用函数的奇偶性求值或求参
二、函数的定义域问题
九、利用函数的奇偶性求解析式
三、求函数的解析式
十、利用单调性、奇偶性解不等式
四、定义法证明函数的单调性
十一、利用单调性、奇偶性比较大小
五、利用函数的单调性求参数
十二、抽象函数的综合问题
六、求函数的最值或值域
十三、幂函数的图象与性质
七、函数奇偶性的判断
十四、简单函数模型的应用