高中人教A版 (2019)2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案设计

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一、不等式的性质
【例1】设，为实数，命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例2】已知且，比较与的大小．
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）.
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【变式1-2】（多选）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】比较下列各组中两式的大小：
(1)已知、为正数，且，比较与的大小；
(2)当时，比较与的值的大小．
二、求代数式的取值范围
【例3】已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．取值范围为
【例4】（1）如果，，求，，的取值范围.
（2）已知，满足，，求的取值范围.
【变式2-1】若实数，满足，则的取值范围为 .
【变式2-2】设，．
(1)求的取值范围．
(2)求的取值范围．
(3)求的取值范围．
【变式2-3】问题：已知，，求的取值范围．
下面是某同学的解答过程．
解：由可得，；（步骤1）
在两端乘以得；（步骤2）
所求的取值范围是．（步骤3）
请分析其解答过程中的错误所在的步骤并求出正确的结果．
三、解不含参不等式
【例5】解下列关于x的不等式：
(1)；
(2).
【例6】已知条件，条件，则q是p的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
【变式3-1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．或C．D．或
【变式3-2】已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】解下列不等式：
(1)
(2)
四、三个“二次”的关系
【例7】不等式的解集为或，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【例8】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 .
【变式4-1】（多选）关于的不等式，下列说法不正确的是（ ）
A．若关于的不等式解集为或，则二次函数的零点为，
B．若关于的不等式解集为或，则的解集为
C．若关于的一元二次不等式解集为，则且
D．若关于的不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同都是，则
【变式4-2】关于的不等式的解集为，且，则实数 ．
【变式4-3】已知不等式的解集为，则= ，=
五、二次不等式的恒成立与有解问题
【例9】若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例10】已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【变式5-1】若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
【变式5-2】已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 .
【变式5-3】已知命题：存在实数，使成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)命题：对于，使有解，如果是假命题，是真命题，求实数的取值范围.
六、解含参二次不等式
【例11】（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A．B．
C．D．
【例12】解关于的不等式．
【变式6-1】解关于的不等式：．
【变式6-2】解下列关于的不等式：
(1)；
(2)．
【变式6-3】已知，关于的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)解关于的不等式．
七、利用基本不等式求最值
【例13】已知正数x，实数y满足，则的最小值为 .
【例14】（多选）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（多选）若正数a,b满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】
(1)已知正数、满足，求 的最小值；
(2)求函数的最小值．
【变式7-3】已知正实数a，b，c满足.
(1)求的最小值；
(2)证明：，
八、基本不等式的恒成立问题
【例15】若两个正实数x、满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【例16】已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是 .
【变式8-1】当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ．
【变式8-2】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 .
【变式8-3】已知，都是正数，且．
(1)求的最小值及此时x，y的取值；
(2)不等式恒成立，求实数m的取值范围．
九、不等式的实际应用
【例17】某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km．问：从此时起，经 h后A市将受热带风暴影响，大约受影响 h.
【例18】如图所示，某房地产开发公司计划在一楼区内建一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成.已知长方形休闲区的面积为，人行道的宽分别为4m和10m.
(1)设长方形休闲区的长，求长方形公园ABCD所占面积关于的函数的解析式；
(2)要使长方形公园所占总面积最小，长方形休闲区的长和宽该如何设计?
【变式9-1】某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨．
(1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；
(2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润．
【变式9-2】2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用.
(1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围.
(2)要使总费用最小，求x的值.
【变式9-3】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为.
(1)试用表示，并求的取值范围；
(2)用表示广告牌的面积；
(3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？
一、不等式的性质
六、解含参二次不等式
二、求代数式的取值范围
七、利用基本不等式求最值
三、解不含参不等式
八、基本不等式的恒成立问题
四、三个“二次”的关系
九、不等式的实际应用
五、二次不等式的恒成立与有解问题