高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示学案

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一、单调性法求值域或最值
方法点拨：第一步,求出函数的单调性；第二步,利用函数的单调性求出函数的值域或最值.
1．函数在上的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】因为在上单调递增，且恒成立，
可知函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上的最小值为.
故选：B.
2．已知函数满足，当属于时，求的值域（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】在上单调递增，
所以的值域为：.
故选：A
3．函数的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】设，，则，
则函数等价于，，
∵在上是增函数，．
∴函数的最小值是3．
故选：A．
4．函数的最小值为 .
【答案】
【详解】由题意可得函数的定义域为，
，
由复合函数的单调性可得函数为增函数，
所以当时，取得最小值，最小值为，
故答案为：.
5．函数的最小值为 ．
【答案】1
【详解】由，得，即的定义域，
当时，与都单调递增，
所以在上单调递增，当时，取得最小值1．
故答案为：1.
6．已知函数．
(1)判断点是否在的图象上，并说明理由；
(2)当时，的最大值为m，最小值为n，求的值．
【答案】(1)点不在的图象上
(2)
【详解】（1），所有点不在的图象上；
（2）设，
，
因为，所以，，
即，则，
所以函数在区间单调递减，
，，所以.
7．求函数的值域．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立.
故值域为；
（2），由对勾函数性质得，
在上单调递增，在上单调递减，
其中当时，，
当时，，当时，，
故值域为
二、分离常数法求值域或最值
方法点拨：适用于形如的分式函数
第一步,对函数变形成形式；第二步,求出函数在定义域范围内的值城或最值
8．函数的值域为 .
【答案】
【详解】依题意，函数的定义域为，而，则，
所以函数的值域为.
故答案为：
9．函数的值域是 ．
【答案】
【详解】，
因为，所以，所以值域为.
故答案为：.
10．函数的值域为 .
【答案】
【详解】令，可得，可得，即，
由，可得，解得，
所以，函数的值域为.
故答案为：.
11．已知函数 ，则函数的值域为 .
【答案】
【详解】定义域为，
因为，所以，即，
所以的值域为.
故答案为：.
12．求函数的值域.
【答案】.
【详解】当时，，
则
，当且仅当，即时取等号，
所以函数的值域为.
13．求函数的值域．
【答案】
【详解】因为恒成立，故x∈R，
则由可得，，
当时，，适合题意；
当时，由于x∈R，故恒有实数根，
故，解得且，
综上可得，的值域为.
14．求函数的值域.
【答案】
【详解】由变形得，
当时，此方程无解；
当时，因为，所以，
解得，又，所以，
所以函数的值域为.
三、换元法求值域或最值
方法点拨：第一步,观察函数解析式的形式,函数变量较多且相互关联；第二步,令新元代换整体,得一新函数,求出新函数的值域或最值即原函数的值域或最值
注意:求解过程中要注意新元的取值范围的限制。
15．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，则，且，
则函数可化为，
所以函数的值域为.
故选：A.
16．函数的最大值为 .
【答案】8
【详解】令，则，
则，
故当时，取得最大值，最大值为8.
故答案为：8
17．已知函数的值域为，则实数的值为 ．
【答案】13
【详解】由题意可得可得，
令，则，，
∴当时取得最大值，
但由于，故当即时，，解得．
故答案为：13．
18．函数的值域为 ．
【答案】
【详解】设，则，，
所以，
因为，在上单调递减，
所以，所以函数的值域为．
故答案为：.
19．函数的值域为
【答案】
【详解】设，，所以，
由图象易知值域为.
故答案为：.
20．时，的值域为 .
【答案】
【详解】因为，令，则，
则，，
可知开口向上，对称轴为，且，
所以在内的值域为，
即在内的值域为.
故答案为：.
四、判别式法求值域或最值
方法点拨：适用于形如的函数
将函数式化成关于的方程,且方程有解,用根的判别式求出的取值范围或最值即得函数的值域或最值
21．若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4B．6
C．7D．8
【答案】B
【详解】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．
故选：B．
22．已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意，，
显然，则，于是，
所以函数的值域是.
故选：C
23．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】结合题意：，
当时，；
当时，，当且仅当，
即，原式取得最小值；
另一方面，因为，所以，即;
当时，，
当且仅当，即，原式取得最大值;
另一方面因为，
令，则，所以，所以
所以，即;
综上所述：函数的值域是.
故选：A.
24．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．以上答案都不对
【答案】C
【详解】设题中函数为，则，
当时，；
当时，视其为关于x的二次方程，
判别式，
综上，故值域为．
故选：C.
25．设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则 .
【答案】2
【解析】化简得到，根据Δ≥0和得到，解得答案.
【详解】，则，则，
即，，故，
，即，即，
.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键.
26．求函数的值域．
【答案】
【详解】，
当时，，
当时，，
令，则，，
所以，
由对勾函数的值域可知，当时，，
所以，
所以．
综上所述，函数的值域为．
27．求下列函数的值域
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令，则，，
当时，等号成立，
所以函数的值域为.
（2）令，则，，
当时，；
当时，，因为，当且仅当，时等号成立，所以，
所以函数的值域为.
五、图像法求值域或最值
方法点拨：画出函数图象，即可得到值域或最值
28．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象（画到答题卡上的坐标系中），并根据图象写出函数的值域
【答案】(1)；
(2)或；
(3)图象见详解，值域为.
【详解】（1）由题知，，
所以.
（2）当时，由解得（舍去）；
当时，由解得或（舍去）；
当时，由解得.
综上，的值为或.
（3）作出函数图象如图所示：
由图可知，函数的值域为.
29．已知函数．
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
【答案】(1)答案见解析
(2)图象见解析
(3)
【详解】（1）
（2）画出函数图象如下：

（3）由图象可看出，函数值域为.
30．已知，
(1)用分段函数表示的解析式，并作出其图象；
(2)指出函数的定义域与值域；
(3)解不等式.
【答案】(1)，作图见解析
(2)函数的定义域为，值域为
(3)
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
所以，，作出函数的图象如下图所示：
（2）解：由（1）中的图可知，函数的定义域为，值域为.
（3）解：当时，由可得，此时，，
当时，由可得，此时，，
当时，由可得，此时，.
综上所述，不等式的解集为.
31．设.

(1)用分段函数的形式表达；
(2)在直角坐标系中画出的图象；
(3)写出函数的值域．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)
【详解】（1）当时，，
当时，．
所以，.
（2）函数的图象如图所示：（注意端点处的开闭）

（3）由（1）（2）知，函数的最小值为；
当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，在上的值域为
32．已知函数
(1)在给出的坐标系中画出函数的图象；

(2)求的值；
(3)根据图象写出函数的定义域和值域．
【答案】(1)作图见解析
(2)5
(3)定义域为R，值域为
【详解】（1）利用二次函数的图象与常数图象的特征即可画出分段函数的图象，如图所示：

（2）因为，所以，
所以，
（3）由条件知，函数的定义域为，
由函数的图象知，
当时，的值域为，
当时，
所以的值域为
33．已知函数.
(1)求与；
(2)用分段函数的形式表示函数；
(3)画出函数的图象，并写出函数的值域.
【答案】(1)；；
(2)；
(3)图象见解析，值域为.
【详解】（1）由题可知，所以；
；
（2）当时，当时，，所以
（3）如图所示，
作出函数的图像，由图可知函数在上递减，此时值域为，在上为常数函数，此时值域为，
所以得值域为.
34．用分段函数表示，并作出其图象，指出函数的定义域与值域．
【答案】图象见解析，定义域为，值域为．
【详解】，图象如图所示，

函数的定义域为，值域为．
六、配方法求值域或最值
方法点拨：适用于形如
第一步，将二次函数配方成;第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域或最值，特别注意自变量的范围
35．已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，，
故，故函数值域为.
故选：B
36．已知，函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意得图象的对称轴为，
而，故当时，，当时，，
函数的值域是，
故选：C
37．函数的值域为 .
【答案】
【详解】因为二次函数的值域为，
所以的定义域是，值域为.
故答案为：.
38．函数，的值域为 .
【答案】
【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，
所以当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
所以函数的值域为.
故答案为：
39．函数的值域为 .
【答案】
【详解】令，则，
所以.
故答案为：.
40．函数的定义域为，则函数的值域为 ．
【答案】
【详解】由题意可知，要有意义，则需，即，
即函数定义域为，
又，对称轴方程为，
所以当时，，当时，，
所以函数值域为，
故答案为：
一、单调性法求值域或最值
四、判别式法求值域或最值
二、分离常数法求值域或最值
五、图像法求值域或最值
三、换元法求值域或最值
六、配方法求值域或最值