高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示学案

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知识点1函数的表示法
注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示
重难点一 图象法、列表法表示函数
【例1】某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】首先一开始离自己家的距离最小，则AB错误；
开始是走，所以在较短的时间内离家的距离增加的较慢，
而后是跑，所以离学校的距离增加的较快，
故C错误，D正确.
故选：D.
【例2】对于函数，部分与的对应关系如下表：
则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由表格可得，，
所以.
故选：C.
【变式1-1】下列表示函数，则 ．
【答案】4
【详解】由表可知．
故答案为：4.
【变式1-2】已知函数分别由下表给出
则 ， ．
【答案】 2 2
【详解】因为：，，所以；
又，，所以.
故答案为：2；2
【变式1-3】作出下列函数的图象：
(1)（）；
(2)，．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【详解】（1）
因为，所以图象为直线上的孤立点，其图象如图所示．
（2）
，
当或时，；
当时，，其图象如图所示．
重难点二 待定系数法求解析式
【例3】已知一次函数满足，，求.
【答案】
【详解】依题意，设，
由条件得，解得，
故.
【例4】已知是二次函数，且，，则 ．
【答案】
【详解】设，
因为，可得，
又因为，可得，
即，所以,
解得，所以．
故答案为：.
【变式2-1】已知反比例函数的图象过点，则 ．
【答案】
【详解】设反比例函数，
由题意可得：，解得，
可得，所以.
故答案为：.
【变式2-2】已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 .
【答案】
【详解】因为的对称轴为，函数在上最小值为，
所以可设，
将代入，得，解得，
故.
故答案为：.
【变式2-3】如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式.
【答案】
【详解】因为为二次函数，并且当时，取得最小值，
所以可设，
又因为，所以，解得，
所以．
重难点三 已知f（g（x））求解析式
【例5】已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，且，
所以.
故选：A.
【例6】设函数，满足，则＝ ；函数的值域为 ．
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，解得，
即．
所以，
令，即,
所以，（）,
当时，，
即的值域为,
故答案为：；．
【变式3-1】已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以.
故选：B.
【变式3-2】（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】设，则，
所以，解得或，
则或．
故选：AD.
【变式3-3】若函数，则 .
【答案】
【详解】函数，又的值域为，
，
故答案为：.
重难点四 方程组求解析式
【例7】已知函数满足，则 .
【答案】
【详解】由①，
得②，
由①②得，则，
令，则，
所以，
故.
故答案为：.
【例8】已知，求的表达式
【答案】
【详解】在原式中用替换，得，
于是有，
消去，得．
∴所求函数的表达式为.
【变式4-1】已知定义在上的函数满足，则函数的解析式 .
【答案】
【详解】因为，把换成有：，
联立，解得.
故答案为：
【变式4-2】设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为 ．
【答案】
【详解】由①，
用代替可得②，
由①②可得.
故答案为：.
【变式4-3】函数满足，求函数的解析式.
【答案】
【详解】因为，
用替换上式中的，得，
解方程组得.
知识点2分段函数
1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的．
（3）分段函数的图象要分段来画．
重难点五 分段函数求解析式或求值
【例9】设函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】易知，
所以，即可得.
故选：A
【例10】已知函数，且，则（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【答案】A
【详解】因为，
所以，解得，
故选：A
【变式5-1】已知函数，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【详解】因为，故，
故选：D
【变式5-2】（多选）函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则D．函数的值域为
【答案】BD
【详解】因为，
对于A：，则，所以，则，故A错误；
对于B：当，则，则，故B正确；
对于C：若，，则，满足，但是，故C错误；
对于D：因为，所以函数的值域为，故D正确.
故选：BD
【变式5-3】已知函数，且.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
故，解得，故，
所以，.
（2）因为，
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得或（舍去）；
综上，.
重难点六 已知分段函数的值求自变量
【例11】设函数，若，则实数a的值为（ ）
A．或B．或4
C．或D．或4
【答案】C
【详解】设，则，
当时，由，解得，当时，由，解得，
于是或，
当时，由或，解得或，因此；
当时，由或，解得或，因此，
所以实数a的值为或.
故选：C
【例12】已知函数，则当函数值时， .
【答案】或或.
【详解】当时，，，
所以，
当时，，，所以；
当时，，，所以，
综上，或或.
故答案为：或或.
【变式6-1】已知函数若，则实数 ．
【答案】3
【详解】由，
故答案为：
【变式6-2】已知，若，则 .
【答案】或
【详解】由，得；
由， 得；
由，得（舍）；
综上或.
故答案为：或.
【变式6-3】已知函数，且若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由逆推得，
；
；
；
；
；
.
所以，.
故选：D.
重难点七 解分段函数不等式
【例13】已知函数.
(1)画出函数的图象；
(2)当时，求实数的取值范围，
【答案】(1)作图见解析；
(2)
【详解】（1）因为，所以的图象如图所示：
（2）由题可得或或，
解得或或，
所以实数的取值范围为
【例14】已知,则使成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以；
当时，，不等式可化为，解得，
又，所以.
综上，使不等式成立的的取值范围是.
故选: A.
（方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集.
由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围.
在中，令，得，所以点的横坐标为.
在中，令，得（舍去）或，
所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是.
故选：A.
【变式7-1】已知，求的的取值范围 .
【答案】
【详解】根据题意知.
当时，,即，解得，则有；
当时，,即，，即时，不等式都成立.
综上所述，的的取值范围为.
故答案为：.
【变式7-2】已知函数，表示a，b中的最小值．
(1)求，的值；
(2)求的解集．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由，得，
由，得或，
则，
所以，.
（2）由（1）知，，
当时，，即，即，所以；
当或时，，即，即，所以.
综上所述，的解集为.
【变式7-3】已知函数.
(1)求f1和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：因为，则，，
所以，.
（2）解：当时，由可得，此时，，
当时，由，解得或，
所以，满足不等式的的取值范围是.
一、单选题
1．如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；
烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；
当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.
故选：D
2．已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】令，
由，
则，即.
故选：C.
3．已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【详解】令，解得，
当时，，，即，且，解得；
当时，，，即，且，解得，
当时，， ，而为正实数，则此种情况无解，
所以正实数的取值范围为或.
故选：A
4．已知函数，则曲线与围成的面积为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【详解】由，又，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
函数图象如下图所示，故曲线，与围成的面积为．
故选：B

5．设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，
令，则可化为，
当时，，即，解得（负值舍去），即，
当时，，即，
而，故上述不等式无解；
综上，，
若，则，解得（负值舍去）；
若，则，解得（舍去）；
综上：.
故选：A.
6．函数称为取整函数，也称高斯函数.其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作.解的个数（ ）
A．20B．30C．40D．50
【答案】B
【详解】由题意可知，不妨设，，
将其代入中，可得：，即：.
① 当时，可得，因，故，即方程有5个解；
② 当时，可得，故，即方程有5个解；
③ 当时，可得，故，即方程有5个解；
④ 当时，可得，故，即方程有5个解；
⑤ 当时，可得，故，即方程有5个解；
⑥ 当时，可得，故.
综上，解的个数为.
故选：B.
二、多选题
7．已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】BCD
【详解】因为，，，．
故选:BCD
8．已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域是B．的值域是
C．若，则D．的图象与直线有一个交点
【答案】BCD
【详解】A选项，的定义域是，所以A选项错误.
B选项，当时，，
当时，，
所以的值域是，所以B选项正确.
C选项，由B选项的分析可知，若，
则，解得，所以C选项正确.
D选项，画出的图象如下图所示，由图可知，D选项正确.
故选：BCD
9．已知函数，若，则x的可能取值为（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】AD
【详解】当时，,解得；
当时，，解得；
综上，或．
故选：AD．
三、填空题
10．函数满足，则常数 ．
【答案】
【详解】恒成立，即恒成立，
所以，解得．
故答案为：.
11．已知，则的解集为 .
【答案】
【详解】当时，，
所以，
当时，，所以，
综上所述，则的解集为.
故答案为：.
12．设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】依题意，，
，即，所以，
所以，
依题意，
而，所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】对于含有多层函数符合的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如本题中的，则可从来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解析式的结构，选择恰当的方法来进行求解.
四、解答题
13．已如函数
(1)求；
(2)若，求实数的值；
(3)作出函数y=fx在区间内的图像．
【答案】(1)；
(2)2或0
(3)图象见解析
【详解】（1）易知
（2）当时，，解得，满足要求，
当时，,解得或（舍）
综上可得或0
（3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：
14．（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知函数，求的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式；
【答案】（1）或；（2）；（3）
【详解】（1）设，
则.
，解得，或，
或.
（2）令，则，
，
即.
（3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立，
得，解得.
15．已知函数满足，函数满足．
(1)求函数和的解析式；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）令，即，所以，即，
因为①，②，
由①②解得，.
（2）因为，
令，
所以，
因为，所以，
所以该函数的值域为.
一、图象法、列表法表示函数
五、分段函数求解析式或求值
二、待定系数法求解析式
六、已知分段函数的值求自变量
三、已知f（g（x））求解析式
七、解分段函数不等式
四、方程组求解析式
函数的表示法
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
x
y
2
3
4
5
4
5
6
2
3
2
1
2
3
5
4
2
1
2
3
4
2
3
1
2
3
4
1
4