8.6.2第二课时　直线与平面垂直的性质-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

第八章 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.2　直线与平面垂直第二课时　直线与平面垂直的性质课标要求1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明. 会应用性质定理判断两条直线的平行. 2.了解空间中距离的概念，会求空间中的距离.我们上一节课学习直线与平面垂直的定义和判定方法.现在如果已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，那么直线a与b有怎样的位置关系？这就是我们本节课要学习的直线与平面垂直的性质.引入课时精练一、直线与平面垂直的性质定理二、空间中的距离课堂达标内容索引直线与平面垂直的性质定理一探究　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，把这个结论推广到空间有如下结论： (1)垂直于同一条直线的两条直线平行. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行. 可借助于长方体模型，判断上述两个结论是否正确. 提示　结论(1)错误，结论(2)正确.直线与平面垂直的性质定理知识梳理平行a∥b温馨提示直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系，证明线线平行可转化为线面垂直，即转化为证明这两条直线同时垂直于一个平面.例1如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行有以下方法(1)a∥b，b∥c⇒a∥c.(2)a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.训练1证明：AE∥MN.因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.空间中的距离二知识梳理1.点到平面的距离 过一点作______于已知平面的直线，则该点与______间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，______________叫做这个点到该平面的距离.2.直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上__________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.3.平面与平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.垂足垂直垂线段的长度任意一点相等温馨提示直线到平面的距离、平面与平面的距离最终都要转化为点到平面的距离.例2如图，已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求正方形ABCD的中心到平面GEF的距离.如图，连接BD，AC，EF和BD分别交AC于H，O，连接GH，作OK⊥GH于点K.因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，H为AO的中点.因为BD⊥AC，所以EF⊥AC.因为GC⊥平面ABCD，所以GC⊥EF.因为GC∩AC＝C，所以EF⊥平面GCH.因为OK⊂平面GCH，所以EF⊥OK.又因为OK⊥GH，GH∩EF＝H，所以OK⊥平面GEF，即OK的长就是正方形ABCD的中心到平面GEF的距离.因为正方形ABCD的边长为4，CG＝2，空间中的三种距离：点到面的距离、直线到与其平行的平面的距离、平行平面之间的距离，常常转化为点到平面的距离，然后利用直线与平面垂直的判定或性质作出垂线段，求出垂线段的长，或利用“等体积法”求解.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AC1与平面ABCD所成角的大小是30°，那么平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离是________.训练2如图，连接AC，因为CC1⊥平面ABCD，故∠C1AC即为AC1与平面ABCD所成角，则∠C1AC＝30°，又因为AB＝3，BC＝4，则AC＝5，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离即为棱C1C的长，【课堂达标】1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线 A.只有一条 B.有无数条 C.是平面内的所有直线 D.不存在√当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当a⊂α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直.√2.(多选)下列命题正确的是选项B中b与α的关系可能b∥α，也可能b⊂α，故错误.√√3.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是 A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定√∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝2，那么BC到平面ADD1A1的距离为________.在长方体中，BC∥平面ADD1A1，4故点B到平面ADD1A1的距离即为BC到平面ADD1A1的距离，因为AB⊥平面ADD1A1，且AB＝4，所以BC到平面ADD1A1的距离为4.【课时精练】√1.已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是 A.b∥α B.b⊂α C.b⊥α D.b与α相交A中，若b∥α，由a⊥α，可得a⊥b，故不满足；B中，若b⊂α，由a⊥α，可得a⊥b，故不满足；C中，若b⊥α，由a⊥α，可得a∥b，故满足；D中，若b与α相交，由a⊥α，可得a，b异面或平行，故不满足.√2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则 A.B1B⊥l B.B1B∥l C.B1B与l异面但不垂直 D.B1B与l相交但不垂直在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形A1ABB1，BB1C1C为正方形，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC且AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABCD，∴BB1⊥平面ABCD，又直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD，∴BB1∥l.√3.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝∵▱ADEF的边AF垂直于平面ABCD，∴DE⊥平面ABCD，而CD⊂平面ABCD，则DE⊥CD，可知△CDE为直角三角形.又DE＝AF＝2，CD＝3，√由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β.由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l.√∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC.过点A作AE⊥PB于E(图略)，又∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PBA，∴BC⊥平面PBA，AE⊂平面PBA，则BC⊥AE.又PB∩CB＝B，PB，CB⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC，即AE的长为AD到平面PBC的距离，在等腰直角三角形PAB中，PA＝PB＝a，6.m，n是空间两条相交直线，l1，l2是与m，n都垂直的两条直线，直线l是空间任意一条直线，直线l与直线l1，l2所成的角分别为θ1，θ2，则θ1，θ2的大小关系为________.设m，n两条相交直线确定的平面为α，由题意知l1⊥α，l2⊥α，由线面垂直的性质知，l1∥l2，故直线l与直线l1，l2所成的角相等，即θ1＝θ2.7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是所在棱的中点，则平面EFGH与平面AB1C1D之间的距离为________.连接A1B，与AB1和EF分别交于点M，N(图略)，易证A1B与平面EFGH和平面AB1C1D都垂直，则MN的长就是这两个平面之间的距离，②③⇒①(或①③⇒②)8.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_________________________________.(用序号表示)由l，m是平面α外的两条不同直线，得若l⊥α，m∥α，则由线面垂直、线面平行的性质定理得l⊥m；若l⊥m，l⊥α，m⊄α，则由线面垂直的性质定理得m∥α.故答案为②③⇒①(或①③⇒②)9.如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，BD⊂平面ABD，BD⊂平面BCD，EF⊂平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC，10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点.求证：(1)MN∥平面PAD；取PD中点Q，连接AQ，NQ.∵N是PC中点，∴四边形AQNM是平行四边形.∴MN∥AQ.∵MN⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，(2)AB⊥MN.∴PA⊥AB.又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AQ⊂平面PAD，∴AB⊥AQ.又∵AQ∥MN，∴AB⊥MN.√11.已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.因为AC＝1，所以BD＝2.12.直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________.(只填序号) ①a和b垂直于正方体的同一个面； ②a和b在正方体两个相对的面内，且共面； ③a和b平行于同一条棱； ④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.①根据线面垂直的性质定理判断；②根据面面平行的性质定理判断；③根据基本事实4判断；只有④错误.①②③∵AD⊥平面PAB，PM⊂平面PAB，(1)求证：CD⊥平面PDM；∴AD⊥PM.∴PM⊥AB，又AD∩AB＝A，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，∴PM⊥CD.∴AD∥CE且AD＝CE，∴四边形AECD为平行四边形，∴CD∥AE，∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小，又AD⊥平面PAB，BC∥AD，∴BC⊥平面PAB，∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角，∴DM2＋DC2＝CM2，∴CD⊥DM.∵DM∩PM＝M，DM，PM⊂平面PDM，∴CD⊥平面PDM.(2)求点M到平面PCD的距离.由(1)可知CD⊥平面PDM，∴△CDM和△CDP均为直角三角形，14.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱CC1，CB，CD的中点，P为线段AD1上的一个动点，平面α∥平面EFG，则下列命题中错误的是√如图，连接A1C，可得A1C⊥平面EFG，由A1C与AD1异面可知，不存在点P，使得CP⊥平面EFG，故A正确；又AD1∥平面EFG，所以动点P到平面EFG的距离为定值，故三棱锥P－EFG的体积为定值，故B正确；截面可能为三角形，也可能为六边形，故D正确.本课结束