7.2.2复数的乘、除运算-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

7.2.2　复数的乘、除运算第七章　复　数　7.2　复数的四则运算课标要求掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，那么复数的乘、除法又该如何定义呢？引入课时精练一、复数乘法的运算法则和运算律二、复数除法的运算法则三、复数范围内的解方程问题课堂达标内容索引复数乘法的运算法则和运算律一探究1 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？提示　复数的乘法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.探究2 类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想.提示　猜想：对于任意z1，z2，z3∈C，有：(1)交换律：z1·z2＝z2·z1；(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.证明：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，b1，a2，b2，a3，b3∈R).(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，又a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，∴z1z2＝z2z1.(2) (3)略1.复数代数形式的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝____________________.2.复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有知识梳理(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3温馨提示(2)复数的乘法类似于多项式的乘法，只要把i2换成－1，然后实部与虚部分别合并.例1(链接教材P78例3)计算下列各题：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.1.复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简.2.对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.(1)(链接教材P78例4)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝A.2i－13 B.13＋2iC.13－2i D.－13－2i训练1√(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.√(2)在复平面内，复数z＝(2＋3i)(1－2i)(i为虚数单位)对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限因为z＝(2＋3i)(1－2i)＝2－4i＋3i－6i2＝8－i，所以复数z在复平面内对应的点为(8，－1)，位于第四象限.复数除法的运算法则二探究3 类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？知识梳理复数的除法法则温馨提示(1)复数的除法法则中分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.(2)注意最后结果要将实部与虚部分开，写成a＋bi(a，b∈R)的形式.例2√A.1＋2i B.1－2iC.2＋i D.2－i√A.－2 B.－1 C.1 D.2训练2√A.1－2i B.1＋2i C.1 D.－1√√√√i2 026＝i506×4＋2＝(i4)506·i2＝－1，复数范围内的解方程问题三探究4 对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)， (1)当判别式Δ＝b2－4ac>0时，方程的两个根是什么？根与方程的系数有什么关系？(2)当判别式Δ＝b2－4ac