数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直巩固练习

这是一份数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直巩固练习，共6页。试卷主要包含了 a  等内容，欢迎下载使用。

课程基本信息
学科
高中数学
年级
高一
学期
春季
课题
8.6.3 平面与平面垂直（第二课时）
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第二册（A 版）
出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 7 月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
作业练习
备注：
第一部分的题选自书本,帮助学生基础巩固（选自书本第课本 161 页练习 1-4,162 页习题 8.6 部分练习）；
第二部分题选自课外辅导书,帮助学生能力提升； 第三部分是实践拓展部分,帮助学生开拓视野.
第一部分：基础部分
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面.() (2)如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面.()
(3)如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面.() 2.若平面平面,且  l ,则下列命题中正确的个数是（）
(1)平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线. (2)平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线. (3)平面内的任一条直线必垂直于平面.
(4)过平面内任意一点作交线l 的垂线,则此垂线必垂直于平面.
A. 3B. 2C. 1D. 0
已知，是两个不同的平面, m 为平面内的一条直线,则“ ”是“ m  ”的
（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
已知平面，,直线 a ,且 ,  AB , a//, a  AB ,判断直线 a 与平面 的位置关系,并说明理由.
求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
第二部分：提升部分
如图, P 是四边形 ABCD 所在平面外一点,四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形,且
DAB  60 .侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD . (1)若G 为 AD 边的中点,求证: BG ⊥平面 PAD ;
(2)求证: AD ⊥ PB .
如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,
PD  PC  4 ,
AB  6 , BC  3 .
(1)证明: BC ∥平面 PDA ; (2)证明: BC ⊥ PD ;
(3)求点C 到平面 PDA 的距离.
如图,在矩形 ABCD 中,
AB  2BC , P, Q 分别为线段 AB , CD 的中点, EP ⊥平面
ABCD .
求证: AQ ∥平面CEP ;
求证:平面 AEQ ⊥平面 DEP .
第三部分：拓展部分
阅读书本 P161 页的“阅读与思考”,了解欧氏几何的发展以及对数学和人类文明的贡献.可以通过阅读书籍、请教老师、专家或者上网收集相关历史材料,将你了解到的做成一份手 抄报供大家学习交流.
请你仔细阅读课堂中教师送大家的“二面角歌”:
二面角歌
面面于交,奈何其角. 其作垂线,其找垂面. 作垂线兮,垂焉一面. 找垂面兮,掮其双肩.
一面一点一垂线,选点引线垂交线. 斯面夭阏溯彼面,铁鞋踏破垂天线.
你看这个面它垂直交线,就像这条线它垂直于面, 你来找面,夹于两边,交于一点.
线斜影入画,三垂添砖瓦. 符文兼相济,线面两开花.
歌词中出现了哪些方法？能结合具体的一个题目说说其中蕴含的方法吗？.
【答案】
1.(1)×；(2)√; (3)√.
2.C（提示：(2)正确）
3.B
4. a  
第一部分：基础部分参考答案
提示：在平面内分别做两条直线分别垂直于另外两个面，与平面.
第二部分：提升部分参考答案
解析：(1)如图所示,连接 BD .
因为四边形 ABCD 是菱形,且DAB  60 ,所以△ ABD 是正三角形,
因为G 是 AD 的中点,所以 BG ⊥ AD .
又因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ,平面 PAD ∩平面
ABCD = AD .所以 BG⊥平面 PAD .
(2)连接 PG .因为△ PAD 为正三角形, G 为 AD 的中点,所以 PG ⊥ AD .
由(1)知 BG ⊥ AD ,而 PG ∩ BG = G , PG ⊂平面 PBG , BG ⊂平面 PBG.
所以 AD ⊥平面 PBG . 又因为 PB ⊂平面 PBG , 所以 AD ⊥ PB .
证明: (1)因为长方形 ABCD 中,
又 BC⊄平面 PDA , AD ⊂平面 PDA ,
所以 BC ∥平面 PDA .
取CD 的中点 H ,连接 PH ,
因为 PD  PC ,所以 PH  CD . 又因为平面 PDC ⊥平面 ABCD , 平面 PDC ∩平面 ABCD = CD , 所以 PH ⊥平面 ABCD .
BC //AD ,
又因为 BC ⊂平面 ABCD ,所以 PH ⊥ BC .
又因为长方形 ABCD 中, BC ⊥CD, PH  CD  H ,
所以 BC ⊥平面 PDC .
又因为 PD ⊂平面 PDC ,所以 BC ⊥ PD .
连接 AC .由(2)知 PH 为三棱锥 P-ADC 的高.
PD2   CD 
 1
2
 2
11
42  32
7
因为 PH =
==,S△ADC=
2
AD·CD=
2
×3×6=9,
7
所以V= 1 ·S△ADC· PH = 1 ×9×
=3.
P ADC33
7
由(2)知 BC  PD ,又因为 AD ∥ BC ,所以 AD  PD ,
所以 S△PDA= 1 · PD · AD = 1 ×4×3=6.
7
22
设点C 到平面 PDA 的距离为 h .因为VC  PDA
= VP ADC
,所以 1 S
3PDA
 h  3,
所以 h =
= 3 7 = 3 7 .
3 7
1  S
3
PDA
1  62
3
证明:(1)在矩形 ABCD 中,
因为 AP  PB , DQ  QC ,所以 AQCP 为平行四边形.所以CP//AQ .
因为CP ⊂平面CEP , AQ ⊄平面CEP ,所以 AQ ∥平面CEP . (2)因为 EP ⊥平面 ABCD , AQ ⊂平面 ABCD ,所以 AQ ⊥EP.
因为 AB  2BC , P 为 AB 的中点,所以 AP  AD .连接 PQ ,则四边形 ADQP 为正方形. 所以 AQ ⊥ DP .又 EP  DP  P ,所以 AQ ⊥平面 DEP .
因为 AQ 平面 AEQ ,
所以平面 AEQ ⊥平面 DEP .
第三部分：拓展部分参考答案
请阅读书本并查阅资料.
开放题.以如下题为例：
如图,在三棱台 DEF  ABC 中, AB  2DE , G, H 分别为 AC , BC 的中点.
(1)求证：
BD//
平面FGH；(2)若CF 平面ABC,
AB  BC , CF  DE , BAC  45 ,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小.
DF
E
G
H
AC
B
对于问题（ 1 ） 要证明线面平行, 可以通过线线平行, 连结 CD , 交 FG 于点 O , 即
OH //DB ,得到 BD// 平面 FGH .
或者通过面面平行,即证明面 FGH //面 ABED ,得到 BD// 平面 FGH .具体我们不细讲.诗词对应的重点是第二问.
面面于交,奈何其角.其作垂线,其找其面.
用垂线法作出平面 FGH 与平面 ACFD 所成角的平面角.
作垂线兮,垂焉一面.
要在图中找一条线垂直于平面 FGH 或面 ACFD , 在图中平面 ACFD 相对于平面FGH 更加直观,面 ACFD 是正面向我们的面,在底面 ABC 中垂直于 AC 的线都垂直于平面ACFD .
一面一点一垂线,
找垂线段时,垂线段的一端来自于另一个面,即平面 FGH ,点 H 在平面 FGH 上,于是过
H 作 AC 的垂线,垂足为 M ,可以证明 HM 垂直平面 FGH ,可以证明 HM  平面 FGH .
选点引线垂交线.
确定垂线段后,可以两个端点中任选一个端点,引一条垂直于交线的垂线,再连接另外各 个端点,就可找到二面角的平面角.此题中,我们选择点 M ,作 MH 垂直交线GF 于点 N ,连接 NH ,则可以得到MNH 是平面 FGH 与平面 ACFD 所成角的平面角.
线斜影入画,三垂添砖瓦.
我们在书写解答过程时需要经历 作-证-算 三步.这句话讲的就是“作图”和“证明” 这两个步骤.具体解答如下：作 HM  AC 于点 M ,作 MN  GF 于 N ,连结 NH ,实现了线
斜影入画的作图过程.由 FC  平面 ABC 得 HM  FC
交直线,所以 HM 面 ACFD .
AC 与 FC 是面 ACFD 内的两条相
则 NM 是 NH 在平面 ACFD 的射影,由三垂线定理得, NH  GF ,此过程即三垂添砖
瓦.
符文兼相济
MNH 是平面 FGH 与平面 ACFD 所成角的平面角. 证明过程数学符号和文字语
言都要兼顾.找到角后,最后一步才是计算.在三角形 BCG 中,的垂线段 GM 2 . 由
2
GNM
与 GCF
HM
相 似 , 得
3
2
MN 6
6
, 于 是 求 得 角 MNH 的 正 切 值 为
tan MNH 
MN
2 . 即MNH  60 ,完成解题.
6
6
斯面夭阏溯彼面,铁鞋踏破垂天线.
歌词中这句话的意思是,在之前找垂线的关键环节,当二面角的一个面的垂线比较难找时可以换个角度看看找找另外一个面的垂线,如果有天然存在的垂线,那就用现成的垂线段,再 选点引线垂交线,找到二面角即可.
符文兼相济,线面两开花.此句话提醒大家注意解题规范和书写.