人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质教案，共8页。教案主要包含了.确定研究内容，明确研究方法等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
课例编号
2020QJ10SXRA009
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
等式性质与不等式性质（2）
教科书
书名：普通高中教科书 数学必修第一册 A版
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019 年6 月
教学人员
姓名
单位
授课教师
李晶
北京市第十一中学
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
1.类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，初步掌握不等式的基本性质；
2.通过梳理等式基本性质中蕴含的思想方法，体会运算中的不变性在研究不等式中的
作用；
3.在利用不等式的性质证明一些简单命题的过程中，发展学生数学运算和数学推理素养。
教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；探究不等式的基本性质及证明.
教学难点：类比等式的基本性质及其思想方法，证明不等式的基本性质
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
1分钟
5分钟
2分钟
5分钟
一 .确定研究内容，明确研究方法
二．复习等式性质，梳理思想方法
三．探究不等式的性质，体会类比探究方法
四．不等式性质的简单应用
五、课堂小结、布置作业
导入语：同学们大家好，通过上节课的学习，我们知道现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，数学中用“等式”和“不等式”表达这两类关系。上节课我们提到解不等式要用不等式的性质，不等式的性质到底都有哪些性质呢？今天我们一起学习不等式的性质。既然不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，我们就可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发，来研究不等式的性质。好，我们一起走进“等式性质与不等式性质”。
问题1：请你回忆一下等式都有哪些性质呢？
性质1：如果a=b,那么b=a．
性质2：如果a=b,b=c,那么a=c．
【师生活动】学生思考得出，但不太容易。教师讲解等式的这两条性质，我们无意识地在使用，但说不出来，因为它们太显然了，是相等关系本身蕴含的，是它自身的特性。
性质3：如果a=b,那么.
性质4：如果a=b,那么.
性质5：如果a=b,,那么 .
【师生活动】这三条性质学生是比较容易得到的。教师讲解这3条性质是从运算角度提出的，即等式两边加、减、乘、除同一个数，等式仍然程成立。这3条性质反应了相等关系在运算中保持不变性的特点。并且，性质3中减法可以看成加法，即同时加-c。性质5中的除法可以看成乘法，即同时乘.高中数学加减乘除的运算更趋于一般性，所以可以将其合并。由于数学的基本运算有加法和乘法，所以这些性质可称为等式的基本性质，数学基本运算可派生出像乘方、开方等运算的结论，就是一些常用的性质。
问题2：你能归纳一下等式基本性质蕴含了哪些思想方法吗？
【师生活动】学生思考总结，发现等式的基本性质的方法有“相等关系自身的特点”和“相等关系对运算保持不变” ，教师强调：这两个方面是研究等式基本性质中体现的思想方法。
问题3：初中我们通过由特殊到一般的方法，归纳过一些不等式的性质，现在，你打算如何研究不等式的性质？
【师生活动】研究不等式的性质可类比发现等式性质及其蕴含的思想方法
追问：从什么视角来研究不等式的性质？
从不等式的“自身”和“运算”两个视角研究不等式的
基本性质
问题4：类比等式的基本性质蕴含你的“自身特性”的思想方法，你能猜想并证明不等式的基本性质吗？
性质1：如果,那么;
如果,那么．
即：.
【师生活动】学生类比得到性质1.
追问1：你打算如何证明？
运用数轴说明a,b的大小关系，此方法是从几何角度分析代数性质的，其直观性较强，能帮助我们感受到此性质反映了“不等式自身的特性”，但数学结论要从逻辑推理角度进行严格的证明，能否进行证明？
（2）目前只能用两个数学大小关系的基本事实，别无他法，学生分析。
追问2：此性质与等式性质1有何异同？
不等号是有方向的，实数位置对调后，符号也要对调
追问3：你还有什么结论？通过性质1的证明中的启示，能否修正你的证明过程？
学生分析得到性质2
性质2：如果a ＞b， b ＞ c,那么a ＞ c.
即： a ＞ b，b ＞c a ＞ c．
【师生活动】
分析：若要证明a>c,只需要证明a-c>0，学生容易想到与a-b>0,b-c>0建立联系，考虑到
a-c=(a-b)+(b-c),只要判断此代数式的符号即可。
追问：如何证明(a-b)+(b-c)>0？
正数加正数是正数。得证。
教师：实数的一些基本事实在证明中有着重要的作用。让学生体会代数证明的逻辑性和严谨性。
证明：由两个实数大小关系的基本事实知:

问题5：类比等式性质中蕴含的“运算中的不变性”的思想方法，你能猜想并证明不等式的基本性质吗？
性质3：如果,那么.
【师生活动】猜想“不等式在加法运算中保号性”，即“如果a+c>b+c”,在前两个性质证明的基础上，学生能够分析要证a+c>b+c,只要证（a+c）-(b-c)与0的大小关系，也就是a-b与0的大小关系，得出如下证明：
证明：由a>b,得a-b>0, 所以 （a+c )-(b+c)>0,
即 a+c ＞b+c.
追问1：用文字语言怎样表达此性质？
不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。
文字语言表达具有“直白”的特点，有助于理解其本质，即反映了本灯饰在加法运算中的“保号性”，减法与加法在运算中是一致的，加法是基本运算，进行此性质为基本性质。
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？
可以用运动方，表达实数c的正负。几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从集合视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻的理解问题。
追问3：是否还有其他结论？
猜想：不等式在乘法运算中的规律性，即不等式两边同乘同一个实数的结论，并用数学语言表达
追问4：是否还有其他结论？
性质4：如果 a＞b, c > 0 , 那么 ac ＞bc;
如果 a>b, c 0,c-d > 0,由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证
由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证。
【法2】
分析：若要证明a+c ＞b+d，需要构造a+c 和b+d 相关的不等式，联想不等式基本性质，可有以下证明
由性质3，得a+c ＞b+c，b+c > b+d ;
由性质2，得 a+c > b+d .
问题10：在基本性质4中，不等式的两边同乘同一个实数，如果乘不同的实数，你有何结论？
【师生活动】
猜想：如果, 那么 ；
追问：在不等式的基本性质中，乘法运算不具备“保号性”，主要原因是负数的影响，
你认为上述猜想是否正确？
不等式基本性质4中强调，两边同乘负数不等号要变反向。所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”，与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的，这是缩小范围修正错误的方法。
性质6：如果 那么 .
这个定理如何证明，请大家课下完成。
追问：如果性质6中a=c,b=d ，你有何新的结论？
如果，那么 .
推广
性质7：如果那么
【师生活动】它是性质6的特例，“不等式在运算中的不变性，规律性”为研究抓手，我们还能推导出很多不等关系，希望同学们多发现、提出和证明。
上节课所学的两个实数大小的基本事实与本节课所得到的的7条不等式的性质使我们今后解决不等式问题的基本依据，下面我们就来看看如何借助它们来解决不等式的简单问题。
问题11：本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？
梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法
从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明不等式的基本性质
由不等式的基本性质推理不等式的一些常用性质.
追问：类比探究都要经历什么过程？
经历
前备经验—归纳特点--类比猜想—推理证明—理解表达—探究个性—应用反思