人教A版（2019）高一数学必修第一册数学建模活动(2)-教学设计

这是一份人教A版（2019）高一数学必修第一册数学建模活动(2)-教学设计，共5页。
课程基本信息
课例编号
2020QJ10SXRA041
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
数学建模活动（2）
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年4月
教学人员
姓名
单位
授课教师
吴斯威
北京市第二十二中学
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
1.通过选题，开题，做题，结题的环节完成数学建模活动，经历数学建模的全过程；
2.体会收集数据与整理数据的方法；
3.感受用数学的眼光发现和提出问题，提升数学建模的核心素养.
教学重点：
1.数据的收集和整理;
2.函数模型的选择和建立.
教学难点：
1.数据的分析；
2.函数模型的选择.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
5分钟
回顾旧知
教师：在进行数学建模活动之前让我们来回顾一下都有哪些知识储备.
从小学开始，大家进行了九年系统的数学学习，这些知识都是我们今天进行数学建模活动的知识储备，同时大家有十五年的生活经验，这些生活经验对于数学建模活动也是非常重要的.同时我们有比较丰富的一次函数，二次函数，幂函数，指数函数与对数函数的学习经验，并且我们了解研究函数的一般方法.
那么，我们怎么把以前的学习经验和生活经验应用到数学建模活动中呢？
首先要从身边的问题入手，选择研究难度较小，贴近生活，同时还能引导大家合理使用资源的“小问题”.待具备了一定的知识储备和研究能力以后再对较困难的问题进行研究.
先学习建立函数模型进行数学建模活动，是因为我们有比较多的函数模型的学习经验，实际问题往往比较便于建立函数模型;同时，函数模型能够涵盖众多生活中的问题,能够比较好的反映生活中问题的变化规律.
在通过建立函数模型解决生活中问题时，由于中学阶段函数概念主要用于描述两个变量之间的关系，所以在选择问题时，尽量选择只包含两个变量关系的问题，对于多变量问题可以采用限制变量等方法或者留待以后再进行研究.
3分钟
介绍数学建模活动的流程
进行数学建模活动时要进行比较充分的准备，一般要经过选题、开题、做题、结题，四个环节.
选题时应选择那些有能力收集数据，能够用有效的数学方法整理数据建立模型的问题.
开题时要向导师与同学阐述自己的研究目的，研究方法，以及要达到的目标和对研究方案的设想等.同时在开题时要撰写开题报告，并召开开题报告会.
做题是指从实际问题中抽象出数学问题，经历收集数据、整理数据、分析数据的过程对数学问题进行分析，进而得出相应的数学结论，再从数学结论中得出实际问题的解决办法.
结题时向老师和同学展示自己的研究过程和研究方法，接受各方面的意见和建议，对研究中存在的问题进行修改，并进一步完善结论.同时要有结题报告或结题论文，并召开结题报告会.
2分钟
提出问题
教师：许多家庭使用电热水壶烧水饮用，用一台电热水壶烧水需要多长时间呢？怎样烧水最省电？是少量多次烧水好，还是每次烧水越多越好？这些都可以作为研究的方向.
根据我的生活习惯，休息的时候会喝点茶，我用电水壶烧水沏茶，水壶容积大约为1100毫升，茶壶容积约为330毫升，我每次沏茶喜欢喝两次，因为从第三次开始茶叶味道就会衰减.
那么我是一次烧水660毫升省电呢，还是烧水两次，每次330毫升省电呢？
设计意图：当换一种眼光来观察周围的世界，可能会有不同的收获，用数学的眼光，从数学的角度来研究电热水壶烧水问题.既是学生身边的小问题，又能够通过建立函数模型解决.能够锻炼学生发现身边的问题，使用数学方法解决身边问题.
同时本问题可以渗透节约用电、低碳生活的理念，培养学生的环保意识.
3分钟
问题转化
教师：怎样把生活中的实际问题转化为数学问题？
由于一般家用电表测量精度只能达到0.01度，同时在烧水时其他家用电器也在工作，不方便直接记录烧水量和用电量之间的关系，根据初中物理公式W=Pt，再根据水壶铭牌上的标注，水壶的功率恒定为1800瓦，通过收集烧水时间与烧水量的数据，即可计算烧水量和用电量之间的关系，从而将生活中的问题数量化；通过建立坐标系将数学问题形象化；通过拟合函数将生活中的问题数学化.进而通过研究函数问题解决生活问题.
注意：一般来说，通过建立函数模型解决实际问题，需要经历如下几个步骤.观察实际情景、发现和提出问题、收集数据、选择函数模型、求解函数模型、检验，如果符合实际情况就可以用该模型得出结论；如果不符合实际情况就要回溯检查，是函数模型出了问题，还是实验数据记录错误.
学生：阐述看法，在教师引导下总结出数学观察生活的主要手段就是用数据和图形描述客观世界的变化规律，以此为基础建立函数模型，解决实际问题.
设计意图：数学建模问题难点往往在于如何建立数学模型，这里结合物理公式W=Pt，将不好测量的用电量转化为容易测量的时间，只要知道了烧水量对应的烧水时间就能计算出电量的消耗.既体现了数学学科与物理学科的融合，又比较巧妙的解决了收集数据的问题.
5分钟
问题具体化
对于烧水时间和烧水量的关系，如何建立拟合函数？
分析：先用电热水壶烧一定量的水并记录时间数据，选择合适的拟合函数，表达烧水量和把水烧开的时间之间的函数关系，再做一组对比试验检查用函数关系求解的烧水时间，如果能够基本吻合，就可以得出烧水量与烧水时间的函数关系；如果不符合，或者误差较大，就要检查是数据的问题还是选择拟合函数的问题.
设计意图：学生感受建立函数模型解决实际问题的过程，将烧水问题具体解决步骤讨论出来.
5分钟
收集数据
通过测量等实验步骤，获得实验数据，当烧水量为220毫升时，把水烧开用时65秒；当烧水量为330毫升时，把水烧开用时72秒；当烧水量为440毫升时，把水烧开用时89秒；当烧水量为550毫升时，把水烧开用时110秒.
5分钟
描述和分析数据
可以采用Excle制表，能够非常方便的得出各种类型的拟合函数曲线，这个试验我们可以选择指数型的拟合函数y =
我们还可以选取其他类型的拟合函数，例如这个问题还可以选取线性拟合函数y = 0.1382x + 30.8，下面我们来对比两种拟合函数哪个更能接近真实情况.
通过烧开1100毫升水（已达水壶最大水位线）并记录时间，跟两种拟合函数预测的时间作对比来进行检验.
应用指数型拟合函数y=47.05ⅇ0.0014x计算，预测用时219秒，真实测量用时211秒，误差+8秒；运用线性拟合y=0.1382x+30.8计算，预测用时182秒，误差-29秒.分析误差原因，很可能来自于指数型函数值随x的增长速度逐渐变快，一次函数增长速度不变.所以会出现指数型拟合函数计算值超过真实值，线性拟合函数预测值低于真实值的情况，由于水壶最大水位线为1100毫升，此时指数型拟合更接近真实值，同时水量也不会再多于这个最大值了，决定本问题使用指数型拟合更符合实际情况. 也可以应用Excle软件自带的功能，选择显示R2值功能，R2更接近1的拟合函数能够更好的描述数据的规律.这部分知识在高二我们会学习，所以这里不做赘述.
根据拟合函数y=47.05ⅇ0.0014x，烧水660毫升用时约为118.5353秒，可计算出用电0.05926度，烧水330毫升用时72秒用电0.036度；因为要烧两次所以用电0.072度，所以一次烧水660毫升更为省电.
注意：应用Excle绘图功能，将数据用函数关系拟合并进行分析，是函数类建模的常用方法.重点分析拟合函数的选择，要经过实践的检验，选择更符合检测结果的函数关系对数据进行拟合.通过对比拟合函数，选择更好的拟合函数，在这个过程中还可以复习相关函数的性质.
5分钟
获得结论撰写实验报告
数学建模的实验报告写作要求包括：
1、课题名称；
2、课题组成员及分工；
3、课题的意义；
4、研究计划；
5、研究过程；
6、研究成果；
7、收获与体会；
8、对此研究的评价.
其中课题名称要能够准确描述所研究的问题，课题组分工要写清小组中每位成员的具体工作，课题的意义要讲明为什么要研究本课题.研究计划要在研究前撰写，写明研究的步骤，以及每步的具体操作.研究过程要严格遵循事实，尽可能详实的记录研究中遇到的问题和解决问题的具体办法.研究成果要有一定价值.收获与体会可以和小组同学共同研讨，写出自己在研究过程中的真实体会.
3分钟
数学建模活动的评价
数学建模活动的评价可以通过考试的方式，但不应仅通过考试的方式来进行，由于数学建模活动更重视在活动过程中的收获.所以可以通过下面多个角度进行：
1、从选题的角度评价：精彩程度，创新程度，……;
2、从做题的角度评价：数学模型建立的合理程度，创新程度，……;
3、从建模活动的参与程度上评价：是否认真积极地参加建模活动，在小组中起到了怎样的作用；
4、从实验报告和论文的质量上评价：实验报告或论文是否科学严谨，是否具有较强的实际意义.
这些都是可以作为数学建模活动的评价方式，但不局限于以上几种，需要学生和老师一起探讨，研究更好、更适合自身的评价方式.
1分钟
数学建模活动选题建议
同学们可以根据自己的兴趣爱好，选择一些有意义的课题建立函数模型开展一次数学建模活动，下面给出大家一些建议：
应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？
根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重.
3、估计一本书的阅读时间.
2分钟
总结提升
1、对实际问题中的变化过程进行分析，分析其中常量、变量及相互关系；
2、明确运动变化基本特征，确定运动变化类型；
3、选择适当的函数类型建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；
4、通过运算、推理、求解函数模型，利用函数模型的解描述实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.