中考数学一轮复习专题12 二次函数的图象及性质（10个高频考点）（强化训练）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·江苏淮安·统考一模）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． y=3x-1B．y=ax2+bx+cC．s=2t2-2t+1D．y=x2+
2．（2022·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（ ）
A．B．C．D．或
3．（2022·四川成都·校联考模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．
4．（2022·浙江·模拟预测）无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则_____________．
5．（2013·江苏徐州·统考一模）请选择一组你喜欢的、、的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是________．
【考点2 二次函数的图象与性质】
6．（2022·山东滨州·统考二模）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则________．
7．（2022·四川泸州·校考模拟预测）已知抛物线上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：
①抛物线的开口向下；
②抛物线的对称轴为直线；
③方程的根为；
④当时，x的取值范围是或．
以上结论中，其中正确的有______．
8．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
9．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b．
(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式．
10．（2022·河北·统考中考真题）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．
【考点3 二次函数的图象与系数的关系】
11．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
12．（2022·四川广元·统考中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
13．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为；⑤当时，函数有最大值，其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
14．（2022·四川达州·统考中考真题）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
15．（2022·湖北武汉·统考中考真题）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
【考点4 二次函数的对称性】
16．（2022·广东广州·校考模拟预测）已知，二次函数f（x）=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（-2）= ______ ．
17．（2022·浙江杭州·校考三模）已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2，若x1+x2＝4，当x＝0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），则m+n＝___．
18．（2022·江苏南京·统考二模）已知点、和在二次函数的图像上．若，则p，q，m的大小关系是______（用“＜”连接）．
19．（2022·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为
(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；
(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．
20．（2022·北京西城·校考模拟预测）已知抛物线．
(1)求此抛物线的顶点的坐标；
(2)若直线与该抛物线交于点、，且，求的值；
(3)若这条抛物线经过点，，且，求的取值范围．
【考点5 二次函数的最值】
21．（2022·贵州黔西·校考一模）平面直角坐标系中，抛物线G：过点，，．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设的面积为，的面积为，．
(1)用含a的式子表示b；
(2)求点E的坐标：
(3)若直线与抛物线G的另一个交点F的横坐标为，求在时的取值范围（用含a的式子表示）．
22．（2022·浙江宁波·校考一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．
23．（2022·河南郑州·统考一模）已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022·山东临沂·统考二模）如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，抛物线的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中）．
(1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
(2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
25．（2022·山东滨州·统考模拟预测）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）．
（1）当时，在抛物线的对称轴上求一点使得的周长最小；
（2）当点在直线上方时，求点到直线距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求出在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】
26．（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．
27．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
28．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
29．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
30．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点．

(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标；
(3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．
【考点7 二次函数图象的平移】
31．（2022·广西玉林·统考中考真题）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
32．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
33．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2022·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数的自变量的部分取值和对应函数值如下表：
(1)求二次函数的表达式；
(2)将二次函数的图像向右平移个单位，得到二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数的表达式______，实数的取值范围是_______；
(3)、、是二次函数的图像上互不重合的三点．已知点、的横坐标分别是、，点与点关于该函数图像的对称轴对称，求的度数．
35．（2022·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点．
(1)直接写出抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
(3)直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
【考点8 二次函数与一元二次方程】
36．（2022·山东青岛·统考中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
37．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知二次函数图像的对称轴为直线．将二次函数图像中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图像C．
(1)求b的值；
(2)①当时，图像C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图像C中时，结合图像求x的取值范围；
(3)已知两点，当线段与图像C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
38．（2022·湖北武汉·统考中考真题）抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．
(1)直接写出A，两点的坐标；
(2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
(3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．
39．（2022·云南·中考真题）已知抛物线经过点（0，2），且与轴交于A、B两点．设k是抛物线与轴交点的横坐标；M是抛物线的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
(1)求c的值；
(2)直接写出T的值；
(3)求的值．
40．（2022·四川自贡·统考中考真题）已知二次函数．
(1)若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标；
(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；
(3)若且，一元二次方程 两根之差等于，函数图象经过，两点，试比较的大小 ．
【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】
41．（2022·江苏扬州·校考一模）根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
42．（2022·四川眉山·一模）根据表格对应值：
判断关于的方程的一个解的取值范围是（ ）
A．B．C．D．无法判定
43．（2022·湖北武汉·校考三模）方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+x﹣1＝0的实根x0所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
44．（2022·陕西西安·统考中考模拟）已知二次函数的与的不符对应值如下表：
且方程的两根分别为， ，下面说法错误的是（ ）．
A．，B．
C．当时，D．当时，有最小值
45．（2022·山西·校联考三模）阅读与思考．
小明在九年级总复习阶段，针对“求一元二次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务：
任务：
（1）选择一种合适的方法（公式法、配方法）解方程；
（2）根据“方法二”的思路，直接写出图1中对应的二次函数表达式为_______；
（3）参照“方法三”的思路，求解一元二次方程的解时，请在图3的平面直接坐标系中画出相应函数图象并依据图象直接写出方程的近似解．
【考点10 二次函数与不等式】
46．（2022·浙江宁波·校考三模）已知抛物线与一次函数有两个交点，且交点的横坐标分别为，．
(1)根据图象直接写出，当时，的取值范围为 ；
(2)将抛物线向上平移，使其顶点落在一次函数图象上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
47．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）自主学习，请阅读下列解题过程．
（1）【问题探究】解一元二次不等式：．
解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（4，0）．画出二次函数的大致图像（如图所示），由图像可知：当或时函数图像位于轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：或．
（2）【知识理解】通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
a．请归纳得到上述解一元二次不等式的基本步骤为 ．（按先后顺序填序号）
①解一元二次方程，并画出大致图像
②将一元二次不等式转化为相应的一元二次方程
③利用数形结合求解一元二次不等式
b．一元二次不等式的解集为 ．
（3）【知识应用】用类似的方法解一元二次不等式：．
（4）【拓展延伸】直接写出一元二次不等式组的解集．
48．（2022·江苏盐城·景山中学校考三模）阅读感悟：
“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题，有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”→“形”或“形”→“数”，有的问题需要经过几次转化．这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛．
解决问题：
已知，点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴和轴于点，．
(1)判断顶点是否在直线上，并说明理由；
(2)如图1，若二次函数图象也经过点，，且，结合图象，求的取值范围；
(3)如图2，点坐标为，点在内，若点，都在二次函数图象上，试比较与的大小．
49．（2022·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．
①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；
(3)当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．
50．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B．
(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围． x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
0
3
…
x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
0
-3
-4
-3
0
5
12
…
0
1
2
3
…
…
4
3
0
…
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
-0.59
0.84
2.29
3.76
九年级总复习笔记
专题：一元二次方程解法归纳
时间：2021年3月×日
引例：求一元二次方程的解．
方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法）求解．
解方程：．
【解析】解：……
公式法：……
配方法：……
方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图所示，把方程的解看作是一个二次函数的图象与x轴交点的横坐标．由图1可知该方程的近似解为．
方法三：将方程移项可得，此时原方程的解就是二次函数的图象与一个一次函数图象交点的横坐标．由图2可知该方程的近似解为．