中考数学一轮复习专题15 三角形及其性质（14个高频考点）（举一反三）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc24084" 【考点1 三角形的三边关系】 PAGEREF _Tc24084 \h 1
\l "_Tc2636" 【考点2 三角形的角平分线、中线、高】 PAGEREF _Tc2636 \h 2
\l "_Tc30207" 【考点3 三角形的内角和定理】 PAGEREF _Tc30207 \h 3
\l "_Tc32320" 【考点4 三角形的外角性质】 PAGEREF _Tc32320 \h 5
\l "_Tc28189" 【考点5 等腰三角形的判定与性质】 PAGEREF _Tc28189 \h 7
\l "_Tc1177" 【考点6 等边三角形的判定与性质】 PAGEREF _Tc1177 \h 10
\l "_Tc20255" 【考点7 含30度角的直角三角形的性质】 PAGEREF _Tc20255 \h 12
\l "_Tc17680" 【考点8 角平分线的判定与性质】 PAGEREF _Tc17680 \h 14
\l "_Tc9310" 【考点9 垂直平分线的判定与性质】 PAGEREF _Tc9310 \h 15
\l "_Tc15872" 【考点10 勾股定理】 PAGEREF _Tc15872 \h 17
\l "_Tc6572" 【考点11 勾股定理的逆定理】 PAGEREF _Tc6572 \h 19
\l "_Tc24418" 【考点12 勾股定理的应用】 PAGEREF _Tc24418 \h 20
\l "_Tc19649" 【考点13 直角三角形斜边的中线的性质】 PAGEREF _Tc19649 \h 22
\l "_Tc12049" 【考点14 三角形中位线的定理】 PAGEREF _Tc12049 \h 23
【要点1 三角形的三边关系】
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段
长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【考点1 三角形的三边关系】
【例1】（2022·河北·统考中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1B．2C．7D．8
【变式1-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
【变式1-2】（2022·四川德阳·统考中考真题）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·九年级专题练习）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___．
【考点2 三角形的角平分线、中线、高】
【例2】（2022·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
【变式2-1】（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是ABC的AC边上的高线B．线段CD是ABC的AB边上的高线
C．线段AD是ABC的BC边上的高线D．线段AD是ABC的AC边上的高线
【变式2-2】（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是______．
【变式2-3】（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____．
【要点2 三角形的内角和定理】
三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且
小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
【考点3 三角形的内角和定理】
【例3】（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
【变式3-1】（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式3-2】（2022·浙江丽水·校联考三模）如图，中，平分交于点，在射线上截取，过点作交直线于点．
(1)试判断四边形是何种特殊的四边形？并证明你的结论；
(2)当，时，四边形能是正方形吗？如果能，求出此时的度数；如果不能，试说明理由；
(3)题目改为“平分的外角交直线于点，在射线的反向延长线上截取”，设．其他条件不变，四边形能是正方形吗？如果能，求出此时的度数（用关于的关系式表示）；如果不能，试说明理由．
【变式3-3】（2022·浙江宁波·统考一模）一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角．
(1)若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；（用的代数式表示）
(2)如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取．求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；
(3)如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数．
【要点3 三角形的外角】
三角形外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
【要点4 三角形的外角性质】
①三角形的外角和为360°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大
于和它不相邻的任何一个内角．
【考点4 三角形的外角性质】
【例4】（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图1，在中，，，作平分线交于点F，以为边作等腰直角，且，如图2将绕点F每秒的速度顺时针旋转得到三角形（当点D落在射线上时停止旋转），则旋转时间为t秒．
(1)当t＝ 秒，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为M，如图3，若为等腰三角形，求t的值；
(3)当边与边、分别交于点P、Q时，如图4，连接，设，，，试探究x，y，z之间的关系．
【变式4-1】（2022·浙江绍兴·一模）（1）问题背景
如图①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E，CE交直线BA于M．探究线段BD与CE的数量关系得到的结论是________．
（2）类比探索
在（1）中，如果把BD改为△ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图②），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）中，如果，其他条件均不变（如图③），请直接写出BD与CE的数量关系为________．
【变式4-2】（2022·四川内江·统考模拟预测）探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；
②如图3，平分，平分，若，，则______°；
③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数．
【变式4-3】（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）（1）模型研究如图①，在中，，为边延长线上一点，且则______；
（2）模型应用如图②，在中，若，，求的长；
（3）模型迁移如图③，点为边上一点，，，交的延长线于若，，求的面积．
【要点5 等腰三角形】
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【考点5 等腰三角形的判定与性质】
【例5】（2022·江苏泰州·模拟预测）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．
(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是______（只填写序号）．
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形．
(2)如图，在中，，，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；
(3)如图，中，，为边上的高，，为的中点，过点作直线交于点，作，，垂足为，若射线为的“友好分割线”，求的最大值．
【变式5-1】（2022·山东威海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知两点，，点在第一象限，，，点在线段上，，的延长线与的延长线交于点，与交于点．
(1)点的坐标为：______（用含，的式子表示）；
(2)求证：；
(3)设点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，求证：，关于轴对称．
【变式5-2】（2022·青海·统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
图1
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2
【变式5-3】（2022·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．
【要点6 等边三角形】
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【考点6 等边三角形的判定与性质】
【例6】（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，等边三角形的顶点的坐标为，动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿路线向终点匀速运动，设运动时间为秒，连接，线段的中点为点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求点的坐标；
(3)在点的运动过程中，能否成为直角三角形？若能，直接写出满足条件的所有的值；若不能，说明理由；
(4)在点从起点向终点运动的过程中，直接写出点所经过的路径长．
【变式6-1】（2022·四川南充·模拟预测）如图，是等边三角形，交的延长线于点，为的中点，射线交于，在上，，连接，．求证：是等边三角形．
【变式6-2】（2022·山东东营·统考中考真题）和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止.
(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是____________，位置关系是____________；
(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
【变式6-3】（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【要点7 含30°角的直角三角形】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【考点7 含30度角的直角三角形的性质】
【例7】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【变式7-1】（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图像大致为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，为射线上一点，为射线上一点，．以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；…，按此规律进行下去，则的面积___________．
【变式7-3】（2022·辽宁锦州·中考真题）在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F．
(1)如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________．
(2)如图2．若，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长．
【要点8 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【要点9 角平分线的判定】
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【考点8 角平分线的判定与性质】
【例8】（2022·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式8-1】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____．
【变式8-2】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，已知的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：__________（填写序号）
①
②点E到的距离为3
③
④
【变式8-3】（2022·湖北武汉·统考中考真题）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，，，与的面积之和为S．
(1)填空：当，，时，
①如图1，若，，则_____________，_____________；
②如图2，若，，则_____________，_____________；
(2)如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：
(3)如图4，当，，，时，请直接写出S的大小．
【要点10 线段垂直平分线的性质】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上.
【要点11 线段垂直平分线的判定】
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）
【考点9 垂直平分线的判定与性质】
【例9】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．B．若，则
C．D．
【变式9-1】（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式9-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．
【变式9-3】（2022·陕西·统考中考真题）问题提出
(1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________．
问题探究
(2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积．
问题解决
(3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；
②作的垂直平分线l，与于点E；
③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得．
请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．
【要点12 勾股定理】
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角
边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=．
【考点10 勾股定理】
【例10】（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ）
A．2B．C．D．
【变式10-1】（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________．
【变式10-2】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．
(1)如图，求证：≌；
(2)直线与相交于点．
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
【变式10-3】（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在中，，，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)当点在线段上（点不与点，重合）时，求的值；
(3)过点作交于点，若，请直接写出的值．
【要点13 勾股定理的逆定理】
如果三角形的三边长a，b，c满足+=，那么这个三角形就是直角三角形．
【考点11 勾股定理的逆定理】
【例11】（2022·湖南·统考中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A．B．C．D．
【变式11-1】（2022·山东日照·统考中考真题）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．
(1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
(2)①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
【变式11-2】（2022·吉林长春·统考中考真题）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)网格中的形状是________；
(2)在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
(3)在图②中的边上确定一点E，连结，使：
(4)在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
【变式11-3】（2022·北京·统考中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得
(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【考点12 勾股定理的应用】
【例12】（2022·江苏苏州·校考一模）一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（ ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
【变式12-1】（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?”译文为；“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少?”根据题意，求得绳索的长度是（ ）
A．9尺B．9尺C．12尺D．12尺
【变式12-2】（2022·四川绵阳·校联考中考模拟）如图，长、宽、高分别为2，1，1的长方体木块上有一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（ ）
A．B．3C．D．
【变式12-3】（2022·山东济宁·统考一模）如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船和观测点D（A，B，D在直线MN上），两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船A，B北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A和渔船C相距120海里，渔船在观测点D北偏东15°方向．（说明：结果取整数．参考数据：，）
(1)求巡逻船B与观测点D间的距离；
(2)已知观测点D处45海里的范围内有暗礁．若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C有没有触礁的危险？并说明理由．
【要点14 直角三角形斜边的中线】
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
【考点13 直角三角形斜边的中线的性质】
【例13】（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________．
【变式13-1】（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________．
【变式13-2】（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上，连接，若，则的长为_________．
【变式13-3】（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长．
【要点15 三角形的中位线定理】
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
【考点14 三角形中位线的定理】
【例14】（2022·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
【变式14-1】（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图1，在四边形中，和相交于点O，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长．
【变式14-2】（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．
【变式14-3】（2022·广东深圳·统考中考真题）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯 的中点为

(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．
(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．