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中考数学总复习专题04二次根式(12个高频考点)(强化训练)(全国版)(原卷版+解析)
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这是一份中考数学总复习专题04二次根式(12个高频考点)(强化训练)(全国版)(原卷版+解析)，共38页。
【考点1 二次根式的定义】
1．（2022·河北邢台·模拟预测）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．5B．13C．x2+1D．2x
2．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）在式子x2（x＞0），2，33，x2+1，−3x（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
3．（2022·广东广州·二模）已知n是正整数，5n−1是整数，则n的值可以是（ ）
A．5B．7C．9D．10
4．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）在式子34 ，x2+y2+1 ,a−1 ,−2x ( x<0 ), x3+1中一定是二次根式的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A．x2y2B．x2+y2C．x+y2D．xy2
【考点2 二次根式有意义的条件】
6．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+1+x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>−1B．x⩾−1C．x⩾−1且x≠0D．x⩽−1且x≠0
7．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式x+1+1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
9．（2022·湖南常德·中考真题）使式子xx−4有意义的x的取值范围是______．
10．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是______．
【考点3 二次根式的性质与化简】
11．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−12+a−b2=______．
12．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2−c2+a2−b222．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
13．（2022·全国·四川成都·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE=1，则CD＝______．
14．（2022·广东广州·一模）若(x−1)2=1−x，则x的取值范围是__________．
15．（2022·上海普陀·二模）方程3−2x=x的根是___________．
【考点4 最简二次根式】
16．（2022·河南商丘·二模）已知n>0，若2n是最简二次根式，请写出一个符合条件的n的正整数值_______________．
17．（2022·四川·江油市小溪坝初级中学校一模）若二次根式3a+5是最简二次根式，则最小的正整数a=______
18．（2022·江苏无锡·模拟预测）在根式12，3，4，8中随机抽取一个，它是最简二次根式的概率为____．
19．（2022·湖南益阳·一模）把0.4化成最简二次根式为______．
20．（2022·山东青岛·二模）若最简二次根式2x−1与x+3能合并，则x=__________．
【考点5 二次根式的乘除】
21．（2022·天津红桥·三模）计算23+323−3的结果等于_______．
22．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）2×12=2×a3=ab，则a－b＝______．
23．（2022·山东聊城·二模）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
24．（2022·内蒙古通辽·中考真题）计算：2⋅6+41−3sin60°−12−1．
25．（2022·福建省福州屏东中学二模）计算：2×6−3−2−12−1
【考点6 分母有理化】
26．（2022·安徽·二模）阅读下列解题过程：
12+1＝2−1(2+1)(2−1)＝2-1；
13+2＝3−2(3+2)(3−2)＝3-2；
14+3＝4−3(4+3)(4−3)＝4-3＝2-3；
…
解答下列各题：
（1）110+9＝ ；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子1n−n−1＝ ．
（3）利用这一规律计算：（12+1+13+2+14+3+…+12021+2020）×（2021+1）．
27．（2022·浙江丽水·一模）把3a12ab化去分母中的根号后得( )
A．4bB．2bC．12bD．b2b
28．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）阅读材料：像（5+2）（5﹣2）＝3，a⋅a＝a（a≥0）、（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如3与3，2+1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：123=323×3=36；2+12-1=(2+1)2(2-1)(2+1)=3+22．解答下列问题：
(1)3﹣7与______互为有理化因式，将232分母有理化得______；
(2)①直接写出式子(12+1+13+2+14+3+⋯12019+2018)×(2019+1)
的计算结果______．
②比大小2020-2019______2019-2018（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
(3)已知有理数a、b满足a2+1+b2=-1+22，求a、b的值．
29．（2022·福建福州·二模）定义：我们将（a＋b）与（a－b）称为一对“对偶式”．因为（a＋b）（a－b）＝（a）2 －（b）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（a＋b）和（a－b）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如2+22−2＝(2+2)2(2−2)(2+2)＝3＋22．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)请直接写出7＋2的对偶式_________；
(2)已知m＝12−3，n＝12＋3，求m−nm2n＋mn2的值；
(3)利用“对偶式”相关知识解方程：20−x－4−x＝2，其中x≤4．
30．（2022·福建福州·一模）阅读材料：像5+25−2=3，7⋅7=7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如：123=323×3=36；2+12−1=2+122−12+1=3+22．
解答下列问题：
(1)请写出一个6−5的有理化因式；
(2)将3−73+7分母有理化；
(3)应用：当n为正整数时，通过计算比较式子n+1−n和n+2−n+1的大小．
【考点7 同类二次根式】
31．（2022·广东韶关·模拟预测）下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（ ）
A．3与18B．63与28C．0.5与23D．12与72
32．（2022·江苏南通·一模）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A．18B．13C．24D．0.3
33．（2022·重庆·模拟预测）估算50−412的结果最接近的整数是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
34．（2022·广东·二模）若二次根式2a+6与−33是同类二次根式，则整数a可以等于___________．（写出一个即可）
35．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知最简二次根式−343a2+2与27a2−2是同类二次根式，则a的值为_________．
【考点8 二次根式的加减法】
36．（2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模）计算：33−27=_____．
37．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1，3的点分别为A，B，且CA=2AB（C在A的左侧），则点C所表示的数是________．
38．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知x+1x=2，则代数式x+1x−2=______．
39．（2022·河北·中考真题）已知：18−2=a2−2=b2，则ab=_________．
40．（2022·湖南怀化·中考真题）计算：（3.14﹣π）0+|2﹣1|+（12）﹣1﹣8．
【考点9 二次根式的混合运算】
41．（2022·青海西宁·中考真题）计算：(5+3)(5−3)−(3−1)2．
42．（2013·山东滨州·中考真题）计算：33−(3)2+(π+3)0−27+|3−2|．
43．（2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模）计算：27+23−1−|3−2|+(−2)0+(12)−1．
44．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z=0，则有：1x2+1y2+1z2=1x+1y+1z（结论不需要证明）
例如：122+132+152=122+132+1(−5)2=12+13+1(−5)=1930
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
(1)求112+122+132的值；
【能力提升】
(2)设S=1+112+122+1+122+132+⋯+1+120192+120202，求S的整数部分．
【拓展升华】
(3)已知x+y+z=0(xyz≠0,x>0)，其中，且y+z=3yz．当1x2+1y2+1z2+1x−1y−1z取得最小值时，求x的取值范围．
45．（2022·湖北宜昌·中考模拟）计算(a3b+ab3+ab)÷ab
【考点10 二次根式的化简求值】
46．（2022·福建省厦门第六中学二模）已知x=3−23+2，y=3+23−2，求xy2+yx2的值．
47．（2022·四川·成都市三原外国语学校一模）已知x=110−3，y=110+3．
（1）求x2+2xy+y2的值．
（2）求x2−4x+4x(x−2)−y2+2y+1y(y+1)值．
48．（2022·四川·东辰国际学校三模）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
49．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）已知：x=3−12，y=3+12，求下列各式的值：
（1）x2-xy+y2；
（2）yx+xy+2
50．（2022·湖北省黄梅县大河镇第一中学模拟预测）已知：x=a+1a（0＜a＜1），求代数式x2+x−6x÷x+3x2−2x−x−2+x2−4xx−2−x2−4x的值．
【考点11 比较二次根式的大小】
51．（2022·福建泉州·中考模拟）设M=20172−2016×2018，N=20172−4034×2018+20182，则M与N的关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M=ND．M=±N
52．（2022·四川成都·一模）已知0＜a＜b，x=a+b−b，y=b−b−a，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x=yC．x＜yD．与a、b的取值有关
53．（2022·四川成都·二模）比较大小：7−6___6−5
54．（2022·河南·模拟预测）比较大小： 5−3_______5−22 (填“＞”“＜”或“＝”)
55．（2022·陕西·西安市第四中学中考模拟）比较大小：7−12 ________1（“>”“<”或“=”)．
【考点12 二次根式的应用】
56．（2022·辽宁大连·一模）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝a2−b2,(a≥b)ab,(a57．（2022·甘肃白银·一模）观察下列各式：
1+112+122=1+11×2=1+1−12；
1+122+132=1+12×3=1+12−13；
1+132+142=1+13×4=1+13−14；
……
请利用你发现的规律，计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+12+120192+120202，其结果为_________．
58．（2022·河北廊坊·中考模拟）已知a，b是正整数，且满足215a+15b是整数，则这样的有序数对a, b共有________对．
59．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校九年级模拟）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2=2+1；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③可得到点P3时，AP3=2+2…按此规律继续旋转，直至得到点P2026为止，则AP2016=____．
60．（2022·广西·二模）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由5+5=25×5=10；13+13=213×13=23；0.4+0.4=20.4×0.4=0.8；15+5>215×5=2；0.2+3.2>20.2×3.2=1.6；12+18>212×18=12
猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）．
猜想证明：∵a−b2≥0．∴①当且仅当a−b=0，即a=b时，a−2ab+b=0，∴a+b=2ab；
②当a−b≠0，即a≠b时，a−2ab+b>0，∴a+b>2ab．
综合上述可得：若a>0，b>0，则a+b≥2ab成立（当日仅当a=b时等号成立）．
猜想运用：
(1)对于函数y=x+1xx>0，当x=______时，函数y的最小值为______．
变式探究：
(2)对于函数y=1x−3+xx>3，当x=______时，函数y的最小值为______．
拓展应用：
(3)疫情期间，为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（m2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
32
2
3
1
6
3
2
专题04 二次根式（12个高频考点）（强化训练）
【考点1 二次根式的定义】
1．（2022·河北邢台·模拟预测）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．5B．13C．x2+1D．2x
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的定义即可解答．
【详解】解：A、5是二次根式，故此选项不合题意；
B、13是二次根式，故此选项不合题意；
C、x2+1是二次根式，故此选项不合题意；
D、2x，不是二次根式，故此选项符合题意．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，一般形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式，正确把握二次根式的定义是解答本题的关键．
2．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）在式子x2（x＞0），2，33，x2+1，−3x（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如a的代数式叫做二次根式，其中a≥0．
【详解】解：式子x2（x＞0），2，33，x2+1，−3x（x＞0）中，
二次根式有：x2（x＞0），2，x2+1，共3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如a的代数式叫做二次根式，其中a≥0．
3．（2022·广东广州·二模）已知n是正整数，5n−1是整数，则n的值可以是（ ）
A．5B．7C．9D．10
【答案】D
【分析】将选项代入逐一验证即可．
【详解】A. 当n=5时，5n−1=24=26，不是整数，故该选项错误；
B. 当n=7时，5n−1=34，不是整数，故该选项错误；
C. 当n=9时，5n−1=44=211，不是整数，故该选项错误；
D. 当n=10时，5n−1=49=7，是整数，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）在式子34 ，x2+y2+1 ,a−1 ,−2x ( x<0 ), x3+1中一定是二次根式的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义，对每个式子进行判断即可.
【详解】解：根据题意，
∵x2+y2+1>0；当x<0时，−2x>0；
∴x2+y2+1，−2x(x<0)一定是二次根式，
则二次根式有2个；
故选择：B.
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式中被开方数大于等于0是解题的关键.
5．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A．x2y2B．x2+y2C．x+y2D．xy2
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．x，y的指数分别为2，2，此选项错误；
B．x2+y2的指数为1，此选项正确；
C．x＋y的指数为2，此选项错误；
D．x，y的指数分别为1，2．此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，分清因数和指数是解答此题的关键．
【考点2 二次根式有意义的条件】
6．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+1+x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>−1B．x⩾−1C．x⩾−1且x≠0D．x⩽−1且x≠0
【答案】C
【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；
【详解】解：由题意得：x+1≥0且x≠0，
∴x≥-1且x≠0，
故选： C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．
7．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，求出不等式的解集，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意知，x−2≥0，
解得x≥2，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件．
8．（2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式x+1+1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】x≥−1且x≠0
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥−1且x≠0，
故答案为：x≥−1且x≠0．
【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．
9．（2022·湖南常德·中考真题）使式子xx−4有意义的x的取值范围是______．
【答案】x>4
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意，得：x−4≥0x−4≠0，
解得：x>4，
故答案为：x>4．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为0．
10．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是______．
【答案】12
【分析】根据二次根式的定义可得x−2≥02−x≥0，解得：x=2，即可求出y的值，即可求出x⋅y的值.
【详解】解：∵由二次根式的定义得x−2≥02−x≥0，解得：x=2，
∴y=0+0+18，即：y=18，
∴x⋅y=2×18=2×18=14=12.
故答案为：12.
【点睛】本题主要考查二次根式的定义以及二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义以及二次根式的乘除的运算法则即可.
【考点3 二次根式的性质与化简】
11．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−12+a−b2=______．
【答案】2
【分析】利用数轴可得出−1【详解】解：由数轴可得：−1则a+1>0,b−1>0,a−b<0
∴a+1−b−12+a−b2
=|a+1|−|b−1|+|a−b|
=a+1−(b−1)−(a−b)
=a+1−b+1−a+b
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
12．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2−c2+a2−b222．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
【答案】315
【分析】根据周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，求得a=8,b=6,c=4，代入公式即可求解．
【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，设a=4k,b=3k,c=2k
∴4k+3k+2k=18
解得k=2
∴ a=8,b=6,c=4
∴ S=14c2a2−c2+a2−b222
=1442×82−42+82−6222
=141024−484
=135
= 315
故答案为：315
【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
13．（2022·全国·四川成都·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE=1，则CD＝______．
【答案】6
【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明AE=BE,AD=BD, 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．
【详解】解：∵ CE=13AE=1，
∴AE=3,AC=4,
如图，连结BE,
由作图可得：MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=3,AD=BD,
∵∠ACB=90°,
∴BC=32−12=22,
∴AB=42+(22)2=26,
∴CD=12AB=6.
故答案为：6
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．
14．（2022·广东广州·一模）若(x−1)2=1−x，则x的取值范围是__________．
【答案】x≤1
【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即1-x≥0．
【详解】解：由于二次根式的结果为非负数可知，
1-x≥0，解得x≤1，
故答案为：x≤1．
【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围．
15．（2022·上海普陀·二模）方程3−2x=x的根是___________．
【答案】x=1
【分析】先根据二次根式的性质两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再根据原方程中x的取值范围进行取舍即可得出结果．
【详解】解：∵3−2x=x，∴3-2x≥0且x≥0，解得0≤x≤32．
原方程两边同时平方，整理得，x2+2x-3=0，
∴(x-1)(x+3)=0，∴x1=1，x2=-3．
又0≤x≤32，∴x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及解一元二次方程，掌握基本概念和解法是解题的关键．
【考点4 最简二次根式】
16．（2022·河南商丘·二模）已知n>0，若2n是最简二次根式，请写出一个符合条件的n的正整数值_______________．
【答案】1
【分析】根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．
【详解】解：∵n＞0且2n是最简二次根式，
∴n=1，
故答案为：1(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键．
17．（2022·四川·江油市小溪坝初级中学校一模）若二次根式3a+5是最简二次根式，则最小的正整数a=______
【答案】2
【详解】解：因为a为正整数，当a=1时,5a+3=8=22
不是最简二次根式，当a=2时，5a+3=13
是最简二次根式，所以二次根式5a+3是最简二次根式，
则最小的正整数a为2
故答案为：2．
【点睛】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
18．（2022·江苏无锡·模拟预测）在根式12，3，4，8中随机抽取一个，它是最简二次根式的概率为____．
【答案】14
【详解】解：12=22，4=2，8=22，则最简二次根式为3，
则在根式12，3，4，8中随机抽取一个，它是最简二次根式的概率为14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查概率的计算、最简二次根式．
19．（2022·湖南益阳·一模）把0.4化成最简二次根式为______．
【答案】105
【分析】根据题意先化成分数，再根据二次根式的性质进行化简即可得出答案．
【详解】解：0.4=25=105，
故答案为：105．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，注意掌握最简二次根式必须满足两个条件即被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
20．（2022·山东青岛·二模）若最简二次根式2x−1与x+3能合并，则x=__________．
【答案】4
【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，2x−1=x+3，
移项合并：x=4，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
【考点5 二次根式的乘除】
21．（2022·天津红桥·三模）计算23+323−3的结果等于_______．
【答案】3
【分析】利用平方差公式解答．
【详解】解：23+323−3 =232−32=12−9=3
故答案为：3．
【点睛】本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
22．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）2×12=2×a3=ab，则a－b＝______．
【答案】-4
【分析】首先进行二次根式的乘法运算，根据相等求出a和b的值，代入代数式求值．
【详解】解：∵2×12=2×23=26=ab ，
∴a=2，b=6，
则a－b=2-6=-4；
故答案为-4．
【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
23．（2022·山东聊城·二模）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
【答案】62
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到66，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是66，即可求解．
【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：32×2×3=66，
设第二行中间数为x，则1×x×6=66，解得x=6，
设第三行第一个数为y，则y×3×2=66，解得y=23，
∴2个空格的实数之积为xy=218=62．
故答案为：62．
【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
24．（2022·内蒙古通辽·中考真题）计算：2⋅6+41−3sin60°−12−1．
【答案】4
【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝23+43−1×32−2
=23+6−23−2
=4
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．
25．（2022·福建省福州屏东中学二模）计算：2×6−3−2−12−1
【答案】33−4
【分析】按照二次根式的乘法、绝对值的化简、负整数指数幂等运算法则计算，再计算加减混合运算即可．
【详解】2×6−3−2−12−1
=23−2−3−2
=23−2+3−2
=33−4.
【点睛】此题考查了二次根式的加法和乘法、绝对值的化简、负整数指数幂等，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点6 分母有理化】
26．（2022·安徽·二模）阅读下列解题过程：
12+1＝2−1(2+1)(2−1)＝2-1；
13+2＝3−2(3+2)(3−2)＝3-2；
14+3＝4−3(4+3)(4−3)＝4-3＝2-3；
…
解答下列各题：
（1）110+9＝ ；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子1n−n−1＝ ．
（3）利用这一规律计算：（12+1+13+2+14+3+…+12021+2020）×（2021+1）．
【答案】（1）10−3；（2）n+n−1；（3）2020
【分析】（1）把分子分母都乘以10−9，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（2）把分子分母都乘以n+n−1，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】（1）110+9
＝10−910+910−9
＝10−9
＝10−3
故答案为：10−3；
（2）1n−n−1
=n+n−1n−n−1n+n−1
=n+n−1
故答案为：n+n−1；
（3）（12+1+13+2+14+3+…+12021+2020）×（2021+1）
＝（2−1+3−2+4−3+…+2021−2020）×（2021+1）
＝（2021−1）×（2021+1）
＝2021−1
＝2020．
【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．
27．（2022·浙江丽水·一模）把3a12ab化去分母中的根号后得( )
A．4bB．2bC．12bD．b2b
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：3a12ab=3×a23×a×b=12b=b2b．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法运算．熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键．
28．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）阅读材料：像（5+2）（5﹣2）＝3，a⋅a＝a（a≥0）、（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如3与3，2+1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：123=323×3=36；2+12-1=(2+1)2(2-1)(2+1)=3+22．解答下列问题：
(1)3﹣7与______互为有理化因式，将232分母有理化得______；
(2)①直接写出式子(12+1+13+2+14+3+⋯12019+2018)×(2019+1)
的计算结果______．
②比大小2020-2019______2019-2018（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
(3)已知有理数a、b满足a2+1+b2=-1+22，求a、b的值．
【答案】(1)3+7，23
(2)2018，<
(3)a=1，b=2
【分析】（1）根据互为有理化因式的式子特征即可写出3-7的有理化因式，将232分子、分母同时乘2即可；
（2）①将该式分母有理化，然后化简即可；
②2020-2019=2020-2019×2020+20192020+2019,
2019-2018=2019-2018×2019+20182019+2018，然后化简即可；
（3）将该式分母有理化，然后等式左右对比即可得出a、b的关系式，求解即可．
【详解】（1）解：根据互为有理化因式的定义可知，3-7与3+7互为有理化因式；
232=2×232×2=23，
故答案为：3+7，23；
（2）解：①∵1n+1+n=n+1-nn+1+nn+1-n=n+1-n，
∴(12+1+13+2+14+3+⋯12019+2018)×(2019+1)
=2-1+3-2+4-3+⋯+2019-2018×(2019+1)
=(2019-1)×(2019+1)
=2018；
②∵2020-2019=2020-2019×2020+20192020+2019=12020+2019
2019-2018=2019-2018×2019+20182019+2018=12019+2018
∵2020+2019>2019+2018>0
∴12019+2018>12020+2019
∴2020-2019<2019-2018
故答案为：2018，<；
（3）解：∵a2+1+b2
=2-1·a2-12+1+2·b2×2=2-1·a+2·b2=a+b2×2-a
∴a+b2×2-a=22-1
又∵a、b都是有理数，
∴a+b2=2，-a=-1
解得：a=1，b=2．
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握分母有理化因式的定义和将分母有理化是解决此题的关键．
29．（2022·福建福州·二模）定义：我们将（a＋b）与（a－b）称为一对“对偶式”．因为（a＋b）（a－b）＝（a）2 －（b）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（a＋b）和（a－b）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如2+22−2＝(2+2)2(2−2)(2+2)＝3＋22．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)请直接写出7＋2的对偶式_________；
(2)已知m＝12−3，n＝12＋3，求m−nm2n＋mn2的值；
(3)利用“对偶式”相关知识解方程：20−x－4−x＝2，其中x≤4．
【答案】(1)7−2
(2)32
(3)x=−5
【分析】（1）由定义直接可得答案；
（2）先化简m、n，求出m+n、m-n，mn，再将所求式子变形，代入即可算得答案；
（3）方程的两边同时乘以20−x+4−x，得到20−x+4−x=8，两式相加即可求解．
（1）
解：7＋2的对偶式是7−2，
故答案为：7−2；
（2）
解：∵m=12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+3,
n=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3,
∴m+n=4,m−n=23,mn=1,
∴m−nm2n＋mn2=m−nmn(m+n)
=231×4
=32；
（3）
解：∵20−x−4−x=2①，
∴20−x−4−x20−x+4−x=220−x+4−x，
∴20−x+4−x=8②，
①+②得：220−x=10,
20−x=5,
20-x=25，
∴x=-5，
经检验，x=-5是原方程的解，
∴原方程的解是x=-5．
【点睛】本题考查二次根式的及相关的运算，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
30．（2022·福建福州·一模）阅读材料：像5+25−2=3，7⋅7=7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如：123=323×3=36；2+12−1=2+122−12+1=3+22．
解答下列问题：
(1)请写出一个6−5的有理化因式；
(2)将3−73+7分母有理化；
(3)应用：当n为正整数时，通过计算比较式子n+1−n和n+2−n+1的大小．
【答案】(1)6+5
(2)8−37
(3)n+1−n > n+2−n+1
【分析】（1）利用平方差公式，根据有理化因式的定义即可求解；
（2）把分子分母都乘以3−7，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；
（3）根据分母有理化求得两个式子的倒数，然后比较其倒数即可求解．
（1）
∵ 6−56+5=6−5=1
6−5的一个有理化因式为6+5；
（2）
解：原式＝3−723+73−7
=9+7−679−7
=8−37；
（3）
∵ n+1−n=1n+1+n，n+2−n+1=1n+2+n+1，
∵n+2+n+1>n+1+n>0，
∴ 1n+1+n > 1n+2+n+1，
∴ n+1−n > n+2−n+1．
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
【考点7 同类二次根式】
31．（2022·广东韶关·模拟预测）下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（ ）
A．3与18B．63与28C．0.5与23D．12与72
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断．
【详解】解：A、∵18=32，
∴3与18不属于同类二次根式；
B、∵63=37，28=27，
∴63与28属于同类二次根式；
C、∵0.5=12=22，23=63，
∴0.5与23不属于同类二次根式；
D、∵12=23，72=62，
∴12与72不属于同类二次根式，
故选：B．
【点睛】本题考查同类二次根式，涉及最简二次根式、分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
32．（2022·江苏南通·一模）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A．18B．13C．24D．0.3
【答案】B
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
【详解】解：A、18=32，与3不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B、13=33，与3，是同类二次根式，故该选项符合题意；
C、24=26，与3不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D、0.3=310=3010，与3不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式，解题的关键是正确化简二次根式．
33．（2022·重庆·模拟预测）估算50−412的结果最接近的整数是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先化简二次根式得32，再由2≈1.414，即可求出32≈4.242，从而得出答案．
【详解】50−412=52−4×22=52−22=32，
∵2≈1.414，
∴32≈4.242，
∴估算50−412的结果最接近的整数是4．
故选B．
【点睛】本题主要考查化最简二次根式和二次根式的减法运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
34．（2022·广东·二模）若二次根式2a+6与−33是同类二次根式，则整数a可以等于___________．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可．
【详解】解：∵二次根式2a+6与−33是同类二次根式，
∴可设2a+6=23，
则2a+6=12，
∴2a+6=12，
解得a=3，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
35．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知最简二次根式−343a2+2与27a2−2是同类二次根式，则a的值为_________．
【答案】±1
【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
3a2+2=7a2−2，
解得：a=±1，
故答案为：±1．
【点睛】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
【考点8 二次根式的加减法】
36．（2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模）计算：33−27=_____．
【答案】−23
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】解：原式=3−33=−23
故答案为：−23
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
37．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1，3的点分别为A，B，且CA=2AB（C在A的左侧），则点C所表示的数是________．
【答案】3−23
【分析】根据数轴上两点之间的距离公式，由CA=2AB列式即可求出点C所表示的数．
【详解】解：设点C所表示的数为c，
∵点A、B所表示的数分别是1、3，且由图知B在A的右侧，
∴AB=3−1，
∵点A、C所表示的数分别是1、c，且由图知C在A的左侧，
∴CA=1−c，
∵ CA=2AB，
∴1−c=2(3−1)，解得c=3−23，
∴点C所表示的数是3−23，
故答案为：3−23．
【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系及数轴上两点之间的距离公式，采用了“数形结合”的数学的思想是解决问题的关键．
38．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知x+1x=2，则代数式x+1x−2=______．
【答案】0
【分析】把x+1x=2直接代入所求的代数式中，即可求得结果的值．
【详解】x+1x−2=2−2=0
故答案为：0．
【点睛】本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．
39．（2022·河北·中考真题）已知：18−2=a2−2=b2，则ab=_________．
【答案】6
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】∵18−2=32−2=22
∴a=3,b=2
∴ab=6
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
40．（2022·湖南怀化·中考真题）计算：（3.14﹣π）0+|2﹣1|+（12）﹣1﹣8．
【答案】2-2
【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：（3.14﹣π）0+|2﹣1|+（12）﹣1﹣8
=1+2-1+2-22
=2-2．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．
【考点9 二次根式的混合运算】
41．（2022·青海西宁·中考真题）计算：(5+3)(5−3)−(3−1)2．
【答案】−8+23
【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案．
【详解】解：原式=(5−9)−(3−23+1)
=−8+23．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
42．（2013·山东滨州·中考真题）计算：33−(3)2+(π+3)0−27+|3−2|．
【答案】−33
【分析】针对二次根式化简，零指数幂，绝对值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式=3−3+1−33+2−3
=−33
43．（2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模）计算：27+23−1−|3−2|+(−2)0+(12)−1．
【答案】53+2
【分析】先进行二次根式的化简，绝对值运算，零指数幂，负整数指数幂运算，再算加减即可．
【详解】解：27+23−1−|3−2|+（−2）0+（12）−1
=33+3+1−（2−3）+1+2
=33+3+1−2+3+1+2
=53+2．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
44．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z=0，则有：1x2+1y2+1z2=1x+1y+1z（结论不需要证明）
例如：122+132+152=122+132+1(−5)2=12+13+1(−5)=1930
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
(1)求112+122+132的值；
【能力提升】
(2)设S=1+112+122+1+122+132+⋯+1+120192+120202，求S的整数部分．
【拓展升华】
(3)已知x+y+z=0(xyz≠0,x>0)，其中，且y+z=3yz．当1x2+1y2+1z2+1x−1y−1z取得最小值时，求x的取值范围．
【答案】(1)112+122+132=76
(2)S的整数部分2019
(3)代数式取得最小值时，x的取值范围是0【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分；
（3）将原式化简为1x+3+1x−3，再根据1x+3+1x−3||取最小值时，确定x的取值范围．
(1)
112+122+132=112+122+1(−32)=11+12−13=76
(2)
S=1+112+122+1+122+132+…+1+120192+120202
=112+112+1(−2)2+112+122+1(−3)2+112+132+1(−4)2+…+112+120192+1(−2020)2
=11+11+1−2+11+12+1−3+11+13+1−4+…+11+12019+1−2020
=1+1−12+1+12−13+1+13−14+…+1+12019−12020 =2019×1+1−12020，
∴S的整数部分2019；
(3)
由已知得：y+z=−x，且y+z=3yz，
1x2+1y2+1z2+1x−1y−1z
=1x+1y+1z+1x−1y−1z
=1x+zyz+yyz+1x−zyz−yyz
=1x+y+zyz+1x−y+zyz
=1x+3yzyz+1x−3yzyz
=1x+3+1x−3
=1+3xx+1−3xx，
∵x>0，
∴原式=1+3xx+1−3xx=|3x+1|+|3x−1|x，
当0<3x≤1时，
|3x+1|+|3x−1|=3x+1+1−3x=2；
当3x>1时，
|3x+1|+|3x−1|=3x+1+3x−1=6x>2；
∴当0<3x≤1，即0∴代数式取得最小值时，x的取值范围是：0【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点．
45．（2022·湖北宜昌·中考模拟）计算(a3b+ab3+ab)÷ab
【答案】a+b+ab或-a-b+a⋅b；
【详解】试题分析: 分两种情况讨论：①当a，b为正数时，②当a，b为负数时分别求解即可．
试题解析:
①当a,b为正数时,
原式 =（aab+bab+ab)÷ab=a+b+ab;
②当a,b为负数时,
原式=（−aab−bab+ab)÷ab=−a−b+ab.
点睛：本题考查的是二次根式的混合运算，根据已知条件，求一个代数的值，要注意条件或代数式的化简，有时条件和要求的代数式都需要化简，当把条件化简后，代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简．
【考点10 二次根式的化简求值】
46．（2022·福建省厦门第六中学二模）已知x=3−23+2，y=3+23−2，求xy2+yx2的值．
【答案】970
【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．
【详解】解：∵x=3−23+2=(3−2)(3−2)(3+2)(3−2)=5−26，y=3+23−2=(3+2)(3+2)(3−2)(3+2)=5+26，
∴原式=5−26(5+26)2+5+26(5−26)2
=5−2649+206+5+2649−206
=(5−26)(49−206)(49+206)(49−206)+(5+26)(49+206)(49−206)(49+206)
=245−1006−986+240+245+1006+986+240
=970．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．
47．（2022·四川·成都市三原外国语学校一模）已知x=110−3，y=110+3．
（1）求x2+2xy+y2的值．
（2）求x2−4x+4x(x−2)−y2+2y+1y(y+1)值．
【答案】（1）40；（2）−6
【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；
（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．
【详解】（1）∵x=110−3=10+3，
y=110+3=10−3，
∴x+y=210，x−y=6，
∴x2+2xy+y2=(x+y)2=(210)2=40．
（2）∵x=10+3，y=10−3，
∴x−2>0，y+1>0，
∴x2−4x+4x(x−2)−y2+2y+1y(y+1)
=x−2x(x−2)−y+1y(y+1)
=1x−1y
=110+3−110−3
=10−3−10−3
=−6．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及分母有理化的方法、完全平方公式的变形等知识点．
48．（2022·四川·东辰国际学校三模）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【答案】18﹣123．
【分析】首先根据二次根式有意义求出x 、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可．
【详解】解：∵x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，
∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，
解得：x＝14，
∴y＝13，
∴23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
＝2xx+2xy﹣xx﹣5xy
＝xx﹣3xy
＝1414﹣314×13
＝18−32．
【点睛】本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值．
49．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）已知：x=3−12，y=3+12，求下列各式的值：
（1）x2-xy+y2；
（2）yx+xy+2
【答案】（1）32；（2）6
【分析】（1）先计算出x+y，xy的值，再把x2-xy+y2变形为（x+y）2-3xy，然后利用整体代入的方法计算；
（2）把yx+xy+2变形为(x+y)2−2xyxy+2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（1）∵x=3−12，y=3+12，
∴x+y=3，xy=12，
∴x2-xy+y2=（x+y）2-3xy=（3）2-3×12=32；
（2）yx+xy+2=(x+y)2−2xyxy+2=(x+y)2xy=(3)212=6．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，这类题一定要先化简再代入求值．另外明确二次根式的乘除运算要与加减运算区分也是解答本题的关键．
50．（2022·湖北省黄梅县大河镇第一中学模拟预测）已知：x=a+1a（0＜a＜1），求代数式x2+x−6x÷x+3x2−2x−x−2+x2−4xx−2−x2−4x的值．
【答案】a2+2．
【详解】分析：根据题意得出x2﹣4x=（a﹣）2，然后将原分式进行化简，从而得出答案．
详解：解：∵， ∴x=a++2， x﹣2=a+，（x﹣2）2=（a+）2
即：x2﹣4x=a2+﹣2=（a﹣）2
∴原式==（x﹣2）2﹣=（a+）2﹣， ∵0＜a＜1，∴a﹣＜0，
∴原式===a2+2．
点睛：本题主要考查的是二次根式的化简法则以及分式的化简求值问题，难度较大．解决这个问题的关键就是要非常熟练的运用二次根式的化简法则．
【考点11 比较二次根式的大小】
51．（2022·福建泉州·中考模拟）设M=20172−2016×2018，N=20172−4034×2018+20182，则M与N的关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M=ND．M=±N
【答案】C
【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得．
【详解】解：∵M=20172−(2017−1)×(2017+1)=20172−20172+1=1，
N=(2017−2018)2=1，
∴M=N，
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质．
52．（2022·四川成都·一模）已知0＜a＜b，x=a+b−b，y=b−b−a，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x=yC．x＜yD．与a、b的取值有关
【答案】C
【详解】试题分析：x-y=a+b−b−b+b−a=a+b+b−a，
∵0＜a＜b，
∴(a+b+b−a)2=2b+2b2−a2＜4b
∴a+b+b−a−2b＜0，
∴x-y＜0．
故选C．
考点：二次根式的化简求值．
53．（2022·四川成都·二模）比较大小：7−6___6−5
【答案】＜
【分析】直接利用二次根式的性质分别变形，进而比较得出答案．
【详解】解：7−6=7−61=(7−6)(7+6)7+6=17+6
6−5=6−51=(6−5)(6+5)6+5=16+5
∵7+6＞6+5
∴17+6<16+5
∴7−6＜6−5
故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
54．（2022·河南·模拟预测）比较大小： 5−3_______5−22 (填“＞”“＜”或“＝”)
【答案】＜
【分析】先将5−3化成25−62，然后运用作差法比较25−6和5−2的大小即可．
【详解】解：∵5−3=25−62
∴ 25−62和5−22的分母都是2，
∴只需比较分子25−6和5−2的大小即可，
∵(25−6)−(5−2)=5−4=5−16<0，
∴5−3<5−22．
故答案为＜．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，灵活运用通分和作差法是解答本题的关键．
55．（2022·陕西·西安市第四中学中考模拟）比较大小：7−12 ________1（“>”“<”或“=”)．
【答案】＜
【分析】先根据7的取值范围去将7-1的差与2比大小，即可解答本题．
【详解】解：4<7<9，
∴2<7<3，
∴7-1<2，
∴7-12<1；
故答案为：＜．
【点睛】本题考查的是无理数的计算，要注意到4＜7＜9，掌握常见的平方数是解题的关键．
【考点12 二次根式的应用】
56．（2022·辽宁大连·一模）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝a2−b2,(a≥b)ab,(a【答案】415
【分析】先求方程组的解，再求出x◆y的值，再代入求出答案即可．
【详解】解：∵解方程组2x+3y=53x+2y=10得：x=4y=−1，则x＞y
∴x◆y＝4◆（﹣1）＝42−(−1)2＝15，
∵15<4，
∴（x◆y）◆x＝15◆4＝15×4＝415，
故答案为：415．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，实数的运算，解二元一次方程组等知识点，能求出x、y的值是解此题的关键．
57．（2022·甘肃白银·一模）观察下列各式：
1+112+122=1+11×2=1+1−12；
1+122+132=1+12×3=1+12−13；
1+132+142=1+13×4=1+13−14；
……
请利用你发现的规律，计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+12+120192+120202，其结果为_________．
【答案】201920192020
【分析】根据上述规律拆分每个根号，再正负相消即可得出答案．
【详解】根据题意可得：
原式=1+1−12+1+12−13+1+13−14+…+1+(12019−12020)
=2019+1−12020
=201920192020
故答案为201920192020．
【点睛】本题考查的是实数的运算，解题关键是根据示例找出规律将式子进行化简．
58．（2022·河北廊坊·中考模拟）已知a，b是正整数，且满足215a+15b是整数，则这样的有序数对a, b共有________对．
【答案】7
【分析】把2放在根号下，得出60a+60b，2 ( 15a+15b )是整数，a、b的值进行讨论，使60a和60b为整数或和为整数，从而得出答案．
【详解】∵2 ( 15a+15b )=60a+ 60b，
∴当a、b的值为15，60，135，240，540时，
当a=15，b=15时，即2 ( 15a+15b )=4；
当a=60，b=60时，即2 ( 15a+15b )=2；
当a=15，b=60时，即2 ( 15a+15b )=3；
当a=60，b=15时，即2 ( 15a+15b )=3；
当a=240，b=240时，即2 ( 15a+15b )=1；
当a=135，b=540时，即2 ( 15a+15b )=1；
当a=540，b=135时，即2 ( 15a+15b )=1；
综上可得共有7对．
故答案为7．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．
59．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校九年级模拟）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2=2+1；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③可得到点P3时，AP3=2+2…按此规律继续旋转，直至得到点P2026为止，则AP2016=____．
【答案】1344+6722##6722+1344
【详解】解：由等腰直角三角形的性质和已知条件得出
AP1=2，AP2=1+2，AP3=2+2；
AP4=2+22；AP5=3+22；AP6=4+22；
AP7=4+32；AP8=5+32；AP9=6+32；
∵2016=3×672，
∴AP2013=(2013−671)+6712=1342+6712
AP2014=1342+6712+2=1342+6722,
AP2015=1342+6722+1=1343+6722, AP2016=1343+6722+1=1344+6722,
故答案为：1344+6722．
60．（2022·广西·二模）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由5+5=25×5=10；13+13=213×13=23；0.4+0.4=20.4×0.4=0.8；15+5>215×5=2；0.2+3.2>20.2×3.2=1.6；12+18>212×18=12
猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）．
猜想证明：∵a−b2≥0．∴①当且仅当a−b=0，即a=b时，a−2ab+b=0，∴a+b=2ab；
②当a−b≠0，即a≠b时，a−2ab+b>0，∴a+b>2ab．
综合上述可得：若a>0，b>0，则a+b≥2ab成立（当日仅当a=b时等号成立）．
猜想运用：
(1)对于函数y=x+1xx>0，当x=______时，函数y的最小值为______．
变式探究：
(2)对于函数y=1x−3+xx>3，当x=______时，函数y的最小值为______．
拓展应用：
(3)疫情期间，为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（m2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)1，2
(2)4，5
(3)每间隔离房长为72米，宽为218米时，可使每间隔离房的面积S最大，最大面积为14716米2
【分析】（1）根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；
（2）将原式转换为y=1x−3+x−3+3，再根据材料中方法计算即可；
（3）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．
（1）
解：∵x>0，
∴1x>0，
∴y=x+1x≥2x⋅1x=2，
∴当x=1x时，ymin=2，
此时x2=1，
只取x=1，
即x=1时，函数y的最小值为2．
（2）
解：∵x>3，
∴x−3>0，1x−3>0，
∴y=1x−3+x−3+3≥21x−3⋅x−3+3=5，
∴当1x−3=x−3时，ymin=5，
此时x−32=1，
∴x1=4，x2=2（舍去），
即x=4时，函数y的最小值为5.
（3）
解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，依题意得：
9x+12y=63，
即3x+4y=21，
∵3x>0，4y>0，
∴3x+4y≥23x⋅4y，
即21≥23x⋅4y，
整理得：xy≤14716，
即S≤14716，
∴当3x=4y时Smax=14716，
此时x=72，y=218，
即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S的最大值为14716米2．
【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．32
2
3
1
6
3
2
【考点1 二次根式的定义】
1．（2022·河北邢台·模拟预测）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．5B．13C．x2+1D．2x
2．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）在式子x2（x＞0），2，33，x2+1，−3x（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
3．（2022·广东广州·二模）已知n是正整数，5n−1是整数，则n的值可以是（ ）
A．5B．7C．9D．10
4．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）在式子34 ，x2+y2+1 ,a−1 ,−2x ( x<0 ), x3+1中一定是二次根式的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A．x2y2B．x2+y2C．x+y2D．xy2
【考点2 二次根式有意义的条件】
6．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+1+x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>−1B．x⩾−1C．x⩾−1且x≠0D．x⩽−1且x≠0
7．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式x+1+1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
9．（2022·湖南常德·中考真题）使式子xx−4有意义的x的取值范围是______．
10．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是______．
【考点3 二次根式的性质与化简】
11．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−12+a−b2=______．
12．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2−c2+a2−b222．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
13．（2022·全国·四川成都·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE=1，则CD＝______．
14．（2022·广东广州·一模）若(x−1)2=1−x，则x的取值范围是__________．
15．（2022·上海普陀·二模）方程3−2x=x的根是___________．
【考点4 最简二次根式】
16．（2022·河南商丘·二模）已知n>0，若2n是最简二次根式，请写出一个符合条件的n的正整数值_______________．
17．（2022·四川·江油市小溪坝初级中学校一模）若二次根式3a+5是最简二次根式，则最小的正整数a=______
18．（2022·江苏无锡·模拟预测）在根式12，3，4，8中随机抽取一个，它是最简二次根式的概率为____．
19．（2022·湖南益阳·一模）把0.4化成最简二次根式为______．
20．（2022·山东青岛·二模）若最简二次根式2x−1与x+3能合并，则x=__________．
【考点5 二次根式的乘除】
21．（2022·天津红桥·三模）计算23+323−3的结果等于_______．
22．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）2×12=2×a3=ab，则a－b＝______．
23．（2022·山东聊城·二模）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
24．（2022·内蒙古通辽·中考真题）计算：2⋅6+41−3sin60°−12−1．
25．（2022·福建省福州屏东中学二模）计算：2×6−3−2−12−1
【考点6 分母有理化】
26．（2022·安徽·二模）阅读下列解题过程：
12+1＝2−1(2+1)(2−1)＝2-1；
13+2＝3−2(3+2)(3−2)＝3-2；
14+3＝4−3(4+3)(4−3)＝4-3＝2-3；
…
解答下列各题：
（1）110+9＝ ；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子1n−n−1＝ ．
（3）利用这一规律计算：（12+1+13+2+14+3+…+12021+2020）×（2021+1）．
27．（2022·浙江丽水·一模）把3a12ab化去分母中的根号后得( )
A．4bB．2bC．12bD．b2b
28．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）阅读材料：像（5+2）（5﹣2）＝3，a⋅a＝a（a≥0）、（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如3与3，2+1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：123=323×3=36；2+12-1=(2+1)2(2-1)(2+1)=3+22．解答下列问题：
(1)3﹣7与______互为有理化因式，将232分母有理化得______；
(2)①直接写出式子(12+1+13+2+14+3+⋯12019+2018)×(2019+1)
的计算结果______．
②比大小2020-2019______2019-2018（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
(3)已知有理数a、b满足a2+1+b2=-1+22，求a、b的值．
29．（2022·福建福州·二模）定义：我们将（a＋b）与（a－b）称为一对“对偶式”．因为（a＋b）（a－b）＝（a）2 －（b）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（a＋b）和（a－b）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如2+22−2＝(2+2)2(2−2)(2+2)＝3＋22．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)请直接写出7＋2的对偶式_________；
(2)已知m＝12−3，n＝12＋3，求m−nm2n＋mn2的值；
(3)利用“对偶式”相关知识解方程：20−x－4−x＝2，其中x≤4．
30．（2022·福建福州·一模）阅读材料：像5+25−2=3，7⋅7=7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如：123=323×3=36；2+12−1=2+122−12+1=3+22．
解答下列问题：
(1)请写出一个6−5的有理化因式；
(2)将3−73+7分母有理化；
(3)应用：当n为正整数时，通过计算比较式子n+1−n和n+2−n+1的大小．
【考点7 同类二次根式】
31．（2022·广东韶关·模拟预测）下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（ ）
A．3与18B．63与28C．0.5与23D．12与72
32．（2022·江苏南通·一模）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A．18B．13C．24D．0.3
33．（2022·重庆·模拟预测）估算50−412的结果最接近的整数是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
34．（2022·广东·二模）若二次根式2a+6与−33是同类二次根式，则整数a可以等于___________．（写出一个即可）
35．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知最简二次根式−343a2+2与27a2−2是同类二次根式，则a的值为_________．
【考点8 二次根式的加减法】
36．（2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模）计算：33−27=_____．
37．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1，3的点分别为A，B，且CA=2AB（C在A的左侧），则点C所表示的数是________．
38．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知x+1x=2，则代数式x+1x−2=______．
39．（2022·河北·中考真题）已知：18−2=a2−2=b2，则ab=_________．
40．（2022·湖南怀化·中考真题）计算：（3.14﹣π）0+|2﹣1|+（12）﹣1﹣8．
【考点9 二次根式的混合运算】
41．（2022·青海西宁·中考真题）计算：(5+3)(5−3)−(3−1)2．
42．（2013·山东滨州·中考真题）计算：33−(3)2+(π+3)0−27+|3−2|．
43．（2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模）计算：27+23−1−|3−2|+(−2)0+(12)−1．
44．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z=0，则有：1x2+1y2+1z2=1x+1y+1z（结论不需要证明）
例如：122+132+152=122+132+1(−5)2=12+13+1(−5)=1930
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
(1)求112+122+132的值；
【能力提升】
(2)设S=1+112+122+1+122+132+⋯+1+120192+120202，求S的整数部分．
【拓展升华】
(3)已知x+y+z=0(xyz≠0,x>0)，其中，且y+z=3yz．当1x2+1y2+1z2+1x−1y−1z取得最小值时，求x的取值范围．
45．（2022·湖北宜昌·中考模拟）计算(a3b+ab3+ab)÷ab
【考点10 二次根式的化简求值】
46．（2022·福建省厦门第六中学二模）已知x=3−23+2，y=3+23−2，求xy2+yx2的值．
47．（2022·四川·成都市三原外国语学校一模）已知x=110−3，y=110+3．
（1）求x2+2xy+y2的值．
（2）求x2−4x+4x(x−2)−y2+2y+1y(y+1)值．
48．（2022·四川·东辰国际学校三模）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
49．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）已知：x=3−12，y=3+12，求下列各式的值：
（1）x2-xy+y2；
（2）yx+xy+2
50．（2022·湖北省黄梅县大河镇第一中学模拟预测）已知：x=a+1a（0＜a＜1），求代数式x2+x−6x÷x+3x2−2x−x−2+x2−4xx−2−x2−4x的值．
【考点11 比较二次根式的大小】
51．（2022·福建泉州·中考模拟）设M=20172−2016×2018，N=20172−4034×2018+20182，则M与N的关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M=ND．M=±N
52．（2022·四川成都·一模）已知0＜a＜b，x=a+b−b，y=b−b−a，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x=yC．x＜yD．与a、b的取值有关
53．（2022·四川成都·二模）比较大小：7−6___6−5
54．（2022·河南·模拟预测）比较大小： 5−3_______5−22 (填“＞”“＜”或“＝”)
55．（2022·陕西·西安市第四中学中考模拟）比较大小：7−12 ________1（“>”“<”或“=”)．
【考点12 二次根式的应用】
56．（2022·辽宁大连·一模）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝a2−b2,(a≥b)ab,(a
1+112+122=1+11×2=1+1−12；
1+122+132=1+12×3=1+12−13；
1+132+142=1+13×4=1+13−14；
……
请利用你发现的规律，计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+12+120192+120202，其结果为_________．
58．（2022·河北廊坊·中考模拟）已知a，b是正整数，且满足215a+15b是整数，则这样的有序数对a, b共有________对．
59．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校九年级模拟）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2=2+1；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③可得到点P3时，AP3=2+2…按此规律继续旋转，直至得到点P2026为止，则AP2016=____．
60．（2022·广西·二模）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由5+5=25×5=10；13+13=213×13=23；0.4+0.4=20.4×0.4=0.8；15+5>215×5=2；0.2+3.2>20.2×3.2=1.6；12+18>212×18=12
猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）．
猜想证明：∵a−b2≥0．∴①当且仅当a−b=0，即a=b时，a−2ab+b=0，∴a+b=2ab；
②当a−b≠0，即a≠b时，a−2ab+b>0，∴a+b>2ab．
综合上述可得：若a>0，b>0，则a+b≥2ab成立（当日仅当a=b时等号成立）．
猜想运用：
(1)对于函数y=x+1xx>0，当x=______时，函数y的最小值为______．
变式探究：
(2)对于函数y=1x−3+xx>3，当x=______时，函数y的最小值为______．
拓展应用：
(3)疫情期间，为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（m2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
32
2
3
1
6
3
2
专题04 二次根式（12个高频考点）（强化训练）
【考点1 二次根式的定义】
1．（2022·河北邢台·模拟预测）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．5B．13C．x2+1D．2x
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的定义即可解答．
【详解】解：A、5是二次根式，故此选项不合题意；
B、13是二次根式，故此选项不合题意；
C、x2+1是二次根式，故此选项不合题意；
D、2x，不是二次根式，故此选项符合题意．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，一般形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式，正确把握二次根式的定义是解答本题的关键．
2．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）在式子x2（x＞0），2，33，x2+1，−3x（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如a的代数式叫做二次根式，其中a≥0．
【详解】解：式子x2（x＞0），2，33，x2+1，−3x（x＞0）中，
二次根式有：x2（x＞0），2，x2+1，共3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如a的代数式叫做二次根式，其中a≥0．
3．（2022·广东广州·二模）已知n是正整数，5n−1是整数，则n的值可以是（ ）
A．5B．7C．9D．10
【答案】D
【分析】将选项代入逐一验证即可．
【详解】A. 当n=5时，5n−1=24=26，不是整数，故该选项错误；
B. 当n=7时，5n−1=34，不是整数，故该选项错误；
C. 当n=9时，5n−1=44=211，不是整数，故该选项错误；
D. 当n=10时，5n−1=49=7，是整数，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）在式子34 ，x2+y2+1 ,a−1 ,−2x ( x<0 ), x3+1中一定是二次根式的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义，对每个式子进行判断即可.
【详解】解：根据题意，
∵x2+y2+1>0；当x<0时，−2x>0；
∴x2+y2+1，−2x(x<0)一定是二次根式，
则二次根式有2个；
故选择：B.
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式中被开方数大于等于0是解题的关键.
5．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A．x2y2B．x2+y2C．x+y2D．xy2
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．x，y的指数分别为2，2，此选项错误；
B．x2+y2的指数为1，此选项正确；
C．x＋y的指数为2，此选项错误；
D．x，y的指数分别为1，2．此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，分清因数和指数是解答此题的关键．
【考点2 二次根式有意义的条件】
6．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+1+x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>−1B．x⩾−1C．x⩾−1且x≠0D．x⩽−1且x≠0
【答案】C
【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；
【详解】解：由题意得：x+1≥0且x≠0，
∴x≥-1且x≠0，
故选： C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．
7．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，求出不等式的解集，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意知，x−2≥0，
解得x≥2，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件．
8．（2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式x+1+1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】x≥−1且x≠0
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥−1且x≠0，
故答案为：x≥−1且x≠0．
【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．
9．（2022·湖南常德·中考真题）使式子xx−4有意义的x的取值范围是______．
【答案】x>4
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意，得：x−4≥0x−4≠0，
解得：x>4，
故答案为：x>4．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为0．
10．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是______．
【答案】12
【分析】根据二次根式的定义可得x−2≥02−x≥0，解得：x=2，即可求出y的值，即可求出x⋅y的值.
【详解】解：∵由二次根式的定义得x−2≥02−x≥0，解得：x=2，
∴y=0+0+18，即：y=18，
∴x⋅y=2×18=2×18=14=12.
故答案为：12.
【点睛】本题主要考查二次根式的定义以及二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义以及二次根式的乘除的运算法则即可.
【考点3 二次根式的性质与化简】
11．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−12+a−b2=______．
【答案】2
【分析】利用数轴可得出−1
∴a+1−b−12+a−b2
=|a+1|−|b−1|+|a−b|
=a+1−(b−1)−(a−b)
=a+1−b+1−a+b
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
12．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2−c2+a2−b222．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
【答案】315
【分析】根据周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，求得a=8,b=6,c=4，代入公式即可求解．
【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，设a=4k,b=3k,c=2k
∴4k+3k+2k=18
解得k=2
∴ a=8,b=6,c=4
∴ S=14c2a2−c2+a2−b222
=1442×82−42+82−6222
=141024−484
=135
= 315
故答案为：315
【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
13．（2022·全国·四川成都·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE=1，则CD＝______．
【答案】6
【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明AE=BE,AD=BD, 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．
【详解】解：∵ CE=13AE=1，
∴AE=3,AC=4,
如图，连结BE,
由作图可得：MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=3,AD=BD,
∵∠ACB=90°,
∴BC=32−12=22,
∴AB=42+(22)2=26,
∴CD=12AB=6.
故答案为：6
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．
14．（2022·广东广州·一模）若(x−1)2=1−x，则x的取值范围是__________．
【答案】x≤1
【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即1-x≥0．
【详解】解：由于二次根式的结果为非负数可知，
1-x≥0，解得x≤1，
故答案为：x≤1．
【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围．
15．（2022·上海普陀·二模）方程3−2x=x的根是___________．
【答案】x=1
【分析】先根据二次根式的性质两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再根据原方程中x的取值范围进行取舍即可得出结果．
【详解】解：∵3−2x=x，∴3-2x≥0且x≥0，解得0≤x≤32．
原方程两边同时平方，整理得，x2+2x-3=0，
∴(x-1)(x+3)=0，∴x1=1，x2=-3．
又0≤x≤32，∴x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及解一元二次方程，掌握基本概念和解法是解题的关键．
【考点4 最简二次根式】
16．（2022·河南商丘·二模）已知n>0，若2n是最简二次根式，请写出一个符合条件的n的正整数值_______________．
【答案】1
【分析】根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．
【详解】解：∵n＞0且2n是最简二次根式，
∴n=1，
故答案为：1(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键．
17．（2022·四川·江油市小溪坝初级中学校一模）若二次根式3a+5是最简二次根式，则最小的正整数a=______
【答案】2
【详解】解：因为a为正整数，当a=1时,5a+3=8=22
不是最简二次根式，当a=2时，5a+3=13
是最简二次根式，所以二次根式5a+3是最简二次根式，
则最小的正整数a为2
故答案为：2．
【点睛】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
18．（2022·江苏无锡·模拟预测）在根式12，3，4，8中随机抽取一个，它是最简二次根式的概率为____．
【答案】14
【详解】解：12=22，4=2，8=22，则最简二次根式为3，
则在根式12，3，4，8中随机抽取一个，它是最简二次根式的概率为14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查概率的计算、最简二次根式．
19．（2022·湖南益阳·一模）把0.4化成最简二次根式为______．
【答案】105
【分析】根据题意先化成分数，再根据二次根式的性质进行化简即可得出答案．
【详解】解：0.4=25=105，
故答案为：105．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，注意掌握最简二次根式必须满足两个条件即被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
20．（2022·山东青岛·二模）若最简二次根式2x−1与x+3能合并，则x=__________．
【答案】4
【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，2x−1=x+3，
移项合并：x=4，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
【考点5 二次根式的乘除】
21．（2022·天津红桥·三模）计算23+323−3的结果等于_______．
【答案】3
【分析】利用平方差公式解答．
【详解】解：23+323−3 =232−32=12−9=3
故答案为：3．
【点睛】本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
22．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）2×12=2×a3=ab，则a－b＝______．
【答案】-4
【分析】首先进行二次根式的乘法运算，根据相等求出a和b的值，代入代数式求值．
【详解】解：∵2×12=2×23=26=ab ，
∴a=2，b=6，
则a－b=2-6=-4；
故答案为-4．
【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
23．（2022·山东聊城·二模）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
【答案】62
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到66，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是66，即可求解．
【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：32×2×3=66，
设第二行中间数为x，则1×x×6=66，解得x=6，
设第三行第一个数为y，则y×3×2=66，解得y=23，
∴2个空格的实数之积为xy=218=62．
故答案为：62．
【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
24．（2022·内蒙古通辽·中考真题）计算：2⋅6+41−3sin60°−12−1．
【答案】4
【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝23+43−1×32−2
=23+6−23−2
=4
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．
25．（2022·福建省福州屏东中学二模）计算：2×6−3−2−12−1
【答案】33−4
【分析】按照二次根式的乘法、绝对值的化简、负整数指数幂等运算法则计算，再计算加减混合运算即可．
【详解】2×6−3−2−12−1
=23−2−3−2
=23−2+3−2
=33−4.
【点睛】此题考查了二次根式的加法和乘法、绝对值的化简、负整数指数幂等，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点6 分母有理化】
26．（2022·安徽·二模）阅读下列解题过程：
12+1＝2−1(2+1)(2−1)＝2-1；
13+2＝3−2(3+2)(3−2)＝3-2；
14+3＝4−3(4+3)(4−3)＝4-3＝2-3；
…
解答下列各题：
（1）110+9＝ ；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子1n−n−1＝ ．
（3）利用这一规律计算：（12+1+13+2+14+3+…+12021+2020）×（2021+1）．
【答案】（1）10−3；（2）n+n−1；（3）2020
【分析】（1）把分子分母都乘以10−9，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（2）把分子分母都乘以n+n−1，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】（1）110+9
＝10−910+910−9
＝10−9
＝10−3
故答案为：10−3；
（2）1n−n−1
=n+n−1n−n−1n+n−1
=n+n−1
故答案为：n+n−1；
（3）（12+1+13+2+14+3+…+12021+2020）×（2021+1）
＝（2−1+3−2+4−3+…+2021−2020）×（2021+1）
＝（2021−1）×（2021+1）
＝2021−1
＝2020．
【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．
27．（2022·浙江丽水·一模）把3a12ab化去分母中的根号后得( )
A．4bB．2bC．12bD．b2b
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：3a12ab=3×a23×a×b=12b=b2b．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法运算．熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键．
28．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）阅读材料：像（5+2）（5﹣2）＝3，a⋅a＝a（a≥0）、（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如3与3，2+1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：123=323×3=36；2+12-1=(2+1)2(2-1)(2+1)=3+22．解答下列问题：
(1)3﹣7与______互为有理化因式，将232分母有理化得______；
(2)①直接写出式子(12+1+13+2+14+3+⋯12019+2018)×(2019+1)
的计算结果______．
②比大小2020-2019______2019-2018（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
(3)已知有理数a、b满足a2+1+b2=-1+22，求a、b的值．
【答案】(1)3+7，23
(2)2018，<
(3)a=1，b=2
【分析】（1）根据互为有理化因式的式子特征即可写出3-7的有理化因式，将232分子、分母同时乘2即可；
（2）①将该式分母有理化，然后化简即可；
②2020-2019=2020-2019×2020+20192020+2019,
2019-2018=2019-2018×2019+20182019+2018，然后化简即可；
（3）将该式分母有理化，然后等式左右对比即可得出a、b的关系式，求解即可．
【详解】（1）解：根据互为有理化因式的定义可知，3-7与3+7互为有理化因式；
232=2×232×2=23，
故答案为：3+7，23；
（2）解：①∵1n+1+n=n+1-nn+1+nn+1-n=n+1-n，
∴(12+1+13+2+14+3+⋯12019+2018)×(2019+1)
=2-1+3-2+4-3+⋯+2019-2018×(2019+1)
=(2019-1)×(2019+1)
=2018；
②∵2020-2019=2020-2019×2020+20192020+2019=12020+2019
2019-2018=2019-2018×2019+20182019+2018=12019+2018
∵2020+2019>2019+2018>0
∴12019+2018>12020+2019
∴2020-2019<2019-2018
故答案为：2018，<；
（3）解：∵a2+1+b2
=2-1·a2-12+1+2·b2×2=2-1·a+2·b2=a+b2×2-a
∴a+b2×2-a=22-1
又∵a、b都是有理数，
∴a+b2=2，-a=-1
解得：a=1，b=2．
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握分母有理化因式的定义和将分母有理化是解决此题的关键．
29．（2022·福建福州·二模）定义：我们将（a＋b）与（a－b）称为一对“对偶式”．因为（a＋b）（a－b）＝（a）2 －（b）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（a＋b）和（a－b）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如2+22−2＝(2+2)2(2−2)(2+2)＝3＋22．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)请直接写出7＋2的对偶式_________；
(2)已知m＝12−3，n＝12＋3，求m−nm2n＋mn2的值；
(3)利用“对偶式”相关知识解方程：20−x－4−x＝2，其中x≤4．
【答案】(1)7−2
(2)32
(3)x=−5
【分析】（1）由定义直接可得答案；
（2）先化简m、n，求出m+n、m-n，mn，再将所求式子变形，代入即可算得答案；
（3）方程的两边同时乘以20−x+4−x，得到20−x+4−x=8，两式相加即可求解．
（1）
解：7＋2的对偶式是7−2，
故答案为：7−2；
（2）
解：∵m=12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+3,
n=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3,
∴m+n=4,m−n=23,mn=1,
∴m−nm2n＋mn2=m−nmn(m+n)
=231×4
=32；
（3）
解：∵20−x−4−x=2①，
∴20−x−4−x20−x+4−x=220−x+4−x，
∴20−x+4−x=8②，
①+②得：220−x=10,
20−x=5,
20-x=25，
∴x=-5，
经检验，x=-5是原方程的解，
∴原方程的解是x=-5．
【点睛】本题考查二次根式的及相关的运算，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
30．（2022·福建福州·一模）阅读材料：像5+25−2=3，7⋅7=7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如：123=323×3=36；2+12−1=2+122−12+1=3+22．
解答下列问题：
(1)请写出一个6−5的有理化因式；
(2)将3−73+7分母有理化；
(3)应用：当n为正整数时，通过计算比较式子n+1−n和n+2−n+1的大小．
【答案】(1)6+5
(2)8−37
(3)n+1−n > n+2−n+1
【分析】（1）利用平方差公式，根据有理化因式的定义即可求解；
（2）把分子分母都乘以3−7，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；
（3）根据分母有理化求得两个式子的倒数，然后比较其倒数即可求解．
（1）
∵ 6−56+5=6−5=1
6−5的一个有理化因式为6+5；
（2）
解：原式＝3−723+73−7
=9+7−679−7
=8−37；
（3）
∵ n+1−n=1n+1+n，n+2−n+1=1n+2+n+1，
∵n+2+n+1>n+1+n>0，
∴ 1n+1+n > 1n+2+n+1，
∴ n+1−n > n+2−n+1．
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
【考点7 同类二次根式】
31．（2022·广东韶关·模拟预测）下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（ ）
A．3与18B．63与28C．0.5与23D．12与72
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断．
【详解】解：A、∵18=32，
∴3与18不属于同类二次根式；
B、∵63=37，28=27，
∴63与28属于同类二次根式；
C、∵0.5=12=22，23=63，
∴0.5与23不属于同类二次根式；
D、∵12=23，72=62，
∴12与72不属于同类二次根式，
故选：B．
【点睛】本题考查同类二次根式，涉及最简二次根式、分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
32．（2022·江苏南通·一模）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A．18B．13C．24D．0.3
【答案】B
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
【详解】解：A、18=32，与3不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B、13=33，与3，是同类二次根式，故该选项符合题意；
C、24=26，与3不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D、0.3=310=3010，与3不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式，解题的关键是正确化简二次根式．
33．（2022·重庆·模拟预测）估算50−412的结果最接近的整数是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先化简二次根式得32，再由2≈1.414，即可求出32≈4.242，从而得出答案．
【详解】50−412=52−4×22=52−22=32，
∵2≈1.414，
∴32≈4.242，
∴估算50−412的结果最接近的整数是4．
故选B．
【点睛】本题主要考查化最简二次根式和二次根式的减法运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
34．（2022·广东·二模）若二次根式2a+6与−33是同类二次根式，则整数a可以等于___________．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可．
【详解】解：∵二次根式2a+6与−33是同类二次根式，
∴可设2a+6=23，
则2a+6=12，
∴2a+6=12，
解得a=3，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
35．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知最简二次根式−343a2+2与27a2−2是同类二次根式，则a的值为_________．
【答案】±1
【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
3a2+2=7a2−2，
解得：a=±1，
故答案为：±1．
【点睛】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
【考点8 二次根式的加减法】
36．（2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模）计算：33−27=_____．
【答案】−23
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】解：原式=3−33=−23
故答案为：−23
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
37．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1，3的点分别为A，B，且CA=2AB（C在A的左侧），则点C所表示的数是________．
【答案】3−23
【分析】根据数轴上两点之间的距离公式，由CA=2AB列式即可求出点C所表示的数．
【详解】解：设点C所表示的数为c，
∵点A、B所表示的数分别是1、3，且由图知B在A的右侧，
∴AB=3−1，
∵点A、C所表示的数分别是1、c，且由图知C在A的左侧，
∴CA=1−c，
∵ CA=2AB，
∴1−c=2(3−1)，解得c=3−23，
∴点C所表示的数是3−23，
故答案为：3−23．
【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系及数轴上两点之间的距离公式，采用了“数形结合”的数学的思想是解决问题的关键．
38．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知x+1x=2，则代数式x+1x−2=______．
【答案】0
【分析】把x+1x=2直接代入所求的代数式中，即可求得结果的值．
【详解】x+1x−2=2−2=0
故答案为：0．
【点睛】本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．
39．（2022·河北·中考真题）已知：18−2=a2−2=b2，则ab=_________．
【答案】6
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】∵18−2=32−2=22
∴a=3,b=2
∴ab=6
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
40．（2022·湖南怀化·中考真题）计算：（3.14﹣π）0+|2﹣1|+（12）﹣1﹣8．
【答案】2-2
【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：（3.14﹣π）0+|2﹣1|+（12）﹣1﹣8
=1+2-1+2-22
=2-2．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．
【考点9 二次根式的混合运算】
41．（2022·青海西宁·中考真题）计算：(5+3)(5−3)−(3−1)2．
【答案】−8+23
【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案．
【详解】解：原式=(5−9)−(3−23+1)
=−8+23．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
42．（2013·山东滨州·中考真题）计算：33−(3)2+(π+3)0−27+|3−2|．
【答案】−33
【分析】针对二次根式化简，零指数幂，绝对值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式=3−3+1−33+2−3
=−33
43．（2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模）计算：27+23−1−|3−2|+(−2)0+(12)−1．
【答案】53+2
【分析】先进行二次根式的化简，绝对值运算，零指数幂，负整数指数幂运算，再算加减即可．
【详解】解：27+23−1−|3−2|+（−2）0+（12）−1
=33+3+1−（2−3）+1+2
=33+3+1−2+3+1+2
=53+2．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
44．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z=0，则有：1x2+1y2+1z2=1x+1y+1z（结论不需要证明）
例如：122+132+152=122+132+1(−5)2=12+13+1(−5)=1930
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
(1)求112+122+132的值；
【能力提升】
(2)设S=1+112+122+1+122+132+⋯+1+120192+120202，求S的整数部分．
【拓展升华】
(3)已知x+y+z=0(xyz≠0,x>0)，其中，且y+z=3yz．当1x2+1y2+1z2+1x−1y−1z取得最小值时，求x的取值范围．
【答案】(1)112+122+132=76
(2)S的整数部分2019
(3)代数式取得最小值时，x的取值范围是0
（2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分；
（3）将原式化简为1x+3+1x−3，再根据1x+3+1x−3||取最小值时，确定x的取值范围．
(1)
112+122+132=112+122+1(−32)=11+12−13=76
(2)
S=1+112+122+1+122+132+…+1+120192+120202
=112+112+1(−2)2+112+122+1(−3)2+112+132+1(−4)2+…+112+120192+1(−2020)2
=11+11+1−2+11+12+1−3+11+13+1−4+…+11+12019+1−2020
=1+1−12+1+12−13+1+13−14+…+1+12019−12020 =2019×1+1−12020，
∴S的整数部分2019；
(3)
由已知得：y+z=−x，且y+z=3yz，
1x2+1y2+1z2+1x−1y−1z
=1x+1y+1z+1x−1y−1z
=1x+zyz+yyz+1x−zyz−yyz
=1x+y+zyz+1x−y+zyz
=1x+3yzyz+1x−3yzyz
=1x+3+1x−3
=1+3xx+1−3xx，
∵x>0，
∴原式=1+3xx+1−3xx=|3x+1|+|3x−1|x，
当0<3x≤1时，
|3x+1|+|3x−1|=3x+1+1−3x=2；
当3x>1时，
|3x+1|+|3x−1|=3x+1+3x−1=6x>2；
∴当0<3x≤1，即0
45．（2022·湖北宜昌·中考模拟）计算(a3b+ab3+ab)÷ab
【答案】a+b+ab或-a-b+a⋅b；
【详解】试题分析: 分两种情况讨论：①当a，b为正数时，②当a，b为负数时分别求解即可．
试题解析:
①当a,b为正数时,
原式 =（aab+bab+ab)÷ab=a+b+ab;
②当a,b为负数时,
原式=（−aab−bab+ab)÷ab=−a−b+ab.
点睛：本题考查的是二次根式的混合运算，根据已知条件，求一个代数的值，要注意条件或代数式的化简，有时条件和要求的代数式都需要化简，当把条件化简后，代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简．
【考点10 二次根式的化简求值】
46．（2022·福建省厦门第六中学二模）已知x=3−23+2，y=3+23−2，求xy2+yx2的值．
【答案】970
【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．
【详解】解：∵x=3−23+2=(3−2)(3−2)(3+2)(3−2)=5−26，y=3+23−2=(3+2)(3+2)(3−2)(3+2)=5+26，
∴原式=5−26(5+26)2+5+26(5−26)2
=5−2649+206+5+2649−206
=(5−26)(49−206)(49+206)(49−206)+(5+26)(49+206)(49−206)(49+206)
=245−1006−986+240+245+1006+986+240
=970．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．
47．（2022·四川·成都市三原外国语学校一模）已知x=110−3，y=110+3．
（1）求x2+2xy+y2的值．
（2）求x2−4x+4x(x−2)−y2+2y+1y(y+1)值．
【答案】（1）40；（2）−6
【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；
（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．
【详解】（1）∵x=110−3=10+3，
y=110+3=10−3，
∴x+y=210，x−y=6，
∴x2+2xy+y2=(x+y)2=(210)2=40．
（2）∵x=10+3，y=10−3，
∴x−2>0，y+1>0，
∴x2−4x+4x(x−2)−y2+2y+1y(y+1)
=x−2x(x−2)−y+1y(y+1)
=1x−1y
=110+3−110−3
=10−3−10−3
=−6．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及分母有理化的方法、完全平方公式的变形等知识点．
48．（2022·四川·东辰国际学校三模）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【答案】18﹣123．
【分析】首先根据二次根式有意义求出x 、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可．
【详解】解：∵x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，
∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，
解得：x＝14，
∴y＝13，
∴23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
＝2xx+2xy﹣xx﹣5xy
＝xx﹣3xy
＝1414﹣314×13
＝18−32．
【点睛】本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值．
49．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）已知：x=3−12，y=3+12，求下列各式的值：
（1）x2-xy+y2；
（2）yx+xy+2
【答案】（1）32；（2）6
【分析】（1）先计算出x+y，xy的值，再把x2-xy+y2变形为（x+y）2-3xy，然后利用整体代入的方法计算；
（2）把yx+xy+2变形为(x+y)2−2xyxy+2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（1）∵x=3−12，y=3+12，
∴x+y=3，xy=12，
∴x2-xy+y2=（x+y）2-3xy=（3）2-3×12=32；
（2）yx+xy+2=(x+y)2−2xyxy+2=(x+y)2xy=(3)212=6．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，这类题一定要先化简再代入求值．另外明确二次根式的乘除运算要与加减运算区分也是解答本题的关键．
50．（2022·湖北省黄梅县大河镇第一中学模拟预测）已知：x=a+1a（0＜a＜1），求代数式x2+x−6x÷x+3x2−2x−x−2+x2−4xx−2−x2−4x的值．
【答案】a2+2．
【详解】分析：根据题意得出x2﹣4x=（a﹣）2，然后将原分式进行化简，从而得出答案．
详解：解：∵， ∴x=a++2， x﹣2=a+，（x﹣2）2=（a+）2
即：x2﹣4x=a2+﹣2=（a﹣）2
∴原式==（x﹣2）2﹣=（a+）2﹣， ∵0＜a＜1，∴a﹣＜0，
∴原式===a2+2．
点睛：本题主要考查的是二次根式的化简法则以及分式的化简求值问题，难度较大．解决这个问题的关键就是要非常熟练的运用二次根式的化简法则．
【考点11 比较二次根式的大小】
51．（2022·福建泉州·中考模拟）设M=20172−2016×2018，N=20172−4034×2018+20182，则M与N的关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M=ND．M=±N
【答案】C
【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得．
【详解】解：∵M=20172−(2017−1)×(2017+1)=20172−20172+1=1，
N=(2017−2018)2=1，
∴M=N，
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质．
52．（2022·四川成都·一模）已知0＜a＜b，x=a+b−b，y=b−b−a，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x=yC．x＜yD．与a、b的取值有关
【答案】C
【详解】试题分析：x-y=a+b−b−b+b−a=a+b+b−a，
∵0＜a＜b，
∴(a+b+b−a)2=2b+2b2−a2＜4b
∴a+b+b−a−2b＜0，
∴x-y＜0．
故选C．
考点：二次根式的化简求值．
53．（2022·四川成都·二模）比较大小：7−6___6−5
【答案】＜
【分析】直接利用二次根式的性质分别变形，进而比较得出答案．
【详解】解：7−6=7−61=(7−6)(7+6)7+6=17+6
6−5=6−51=(6−5)(6+5)6+5=16+5
∵7+6＞6+5
∴17+6<16+5
∴7−6＜6−5
故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
54．（2022·河南·模拟预测）比较大小： 5−3_______5−22 (填“＞”“＜”或“＝”)
【答案】＜
【分析】先将5−3化成25−62，然后运用作差法比较25−6和5−2的大小即可．
【详解】解：∵5−3=25−62
∴ 25−62和5−22的分母都是2，
∴只需比较分子25−6和5−2的大小即可，
∵(25−6)−(5−2)=5−4=5−16<0，
∴5−3<5−22．
故答案为＜．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，灵活运用通分和作差法是解答本题的关键．
55．（2022·陕西·西安市第四中学中考模拟）比较大小：7−12 ________1（“>”“<”或“=”)．
【答案】＜
【分析】先根据7的取值范围去将7-1的差与2比大小，即可解答本题．
【详解】解：4<7<9，
∴2<7<3，
∴7-1<2，
∴7-12<1；
故答案为：＜．
【点睛】本题考查的是无理数的计算，要注意到4＜7＜9，掌握常见的平方数是解题的关键．
【考点12 二次根式的应用】
56．（2022·辽宁大连·一模）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝a2−b2,(a≥b)ab,(a
【分析】先求方程组的解，再求出x◆y的值，再代入求出答案即可．
【详解】解：∵解方程组2x+3y=53x+2y=10得：x=4y=−1，则x＞y
∴x◆y＝4◆（﹣1）＝42−(−1)2＝15，
∵15<4，
∴（x◆y）◆x＝15◆4＝15×4＝415，
故答案为：415．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，实数的运算，解二元一次方程组等知识点，能求出x、y的值是解此题的关键．
57．（2022·甘肃白银·一模）观察下列各式：
1+112+122=1+11×2=1+1−12；
1+122+132=1+12×3=1+12−13；
1+132+142=1+13×4=1+13−14；
……
请利用你发现的规律，计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+12+120192+120202，其结果为_________．
【答案】201920192020
【分析】根据上述规律拆分每个根号，再正负相消即可得出答案．
【详解】根据题意可得：
原式=1+1−12+1+12−13+1+13−14+…+1+(12019−12020)
=2019+1−12020
=201920192020
故答案为201920192020．
【点睛】本题考查的是实数的运算，解题关键是根据示例找出规律将式子进行化简．
58．（2022·河北廊坊·中考模拟）已知a，b是正整数，且满足215a+15b是整数，则这样的有序数对a, b共有________对．
【答案】7
【分析】把2放在根号下，得出60a+60b，2 ( 15a+15b )是整数，a、b的值进行讨论，使60a和60b为整数或和为整数，从而得出答案．
【详解】∵2 ( 15a+15b )=60a+ 60b，
∴当a、b的值为15，60，135，240，540时，
当a=15，b=15时，即2 ( 15a+15b )=4；
当a=60，b=60时，即2 ( 15a+15b )=2；
当a=15，b=60时，即2 ( 15a+15b )=3；
当a=60，b=15时，即2 ( 15a+15b )=3；
当a=240，b=240时，即2 ( 15a+15b )=1；
当a=135，b=540时，即2 ( 15a+15b )=1；
当a=540，b=135时，即2 ( 15a+15b )=1；
综上可得共有7对．
故答案为7．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．
59．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校九年级模拟）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2=2+1；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③可得到点P3时，AP3=2+2…按此规律继续旋转，直至得到点P2026为止，则AP2016=____．
【答案】1344+6722##6722+1344
【详解】解：由等腰直角三角形的性质和已知条件得出
AP1=2，AP2=1+2，AP3=2+2；
AP4=2+22；AP5=3+22；AP6=4+22；
AP7=4+32；AP8=5+32；AP9=6+32；
∵2016=3×672，
∴AP2013=(2013−671)+6712=1342+6712
AP2014=1342+6712+2=1342+6722,
AP2015=1342+6722+1=1343+6722, AP2016=1343+6722+1=1344+6722,
故答案为：1344+6722．
60．（2022·广西·二模）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由5+5=25×5=10；13+13=213×13=23；0.4+0.4=20.4×0.4=0.8；15+5>215×5=2；0.2+3.2>20.2×3.2=1.6；12+18>212×18=12
猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）．
猜想证明：∵a−b2≥0．∴①当且仅当a−b=0，即a=b时，a−2ab+b=0，∴a+b=2ab；
②当a−b≠0，即a≠b时，a−2ab+b>0，∴a+b>2ab．
综合上述可得：若a>0，b>0，则a+b≥2ab成立（当日仅当a=b时等号成立）．
猜想运用：
(1)对于函数y=x+1xx>0，当x=______时，函数y的最小值为______．
变式探究：
(2)对于函数y=1x−3+xx>3，当x=______时，函数y的最小值为______．
拓展应用：
(3)疫情期间，为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（m2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)1，2
(2)4，5
(3)每间隔离房长为72米，宽为218米时，可使每间隔离房的面积S最大，最大面积为14716米2
【分析】（1）根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；
（2）将原式转换为y=1x−3+x−3+3，再根据材料中方法计算即可；
（3）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．
（1）
解：∵x>0，
∴1x>0，
∴y=x+1x≥2x⋅1x=2，
∴当x=1x时，ymin=2，
此时x2=1，
只取x=1，
即x=1时，函数y的最小值为2．
（2）
解：∵x>3，
∴x−3>0，1x−3>0，
∴y=1x−3+x−3+3≥21x−3⋅x−3+3=5，
∴当1x−3=x−3时，ymin=5，
此时x−32=1，
∴x1=4，x2=2（舍去），
即x=4时，函数y的最小值为5.
（3）
解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，依题意得：
9x+12y=63，
即3x+4y=21，
∵3x>0，4y>0，
∴3x+4y≥23x⋅4y，
即21≥23x⋅4y，
整理得：xy≤14716，
即S≤14716，
∴当3x=4y时Smax=14716，
此时x=72，y=218，
即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S的最大值为14716米2．
【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．32
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