中考数学一轮复习专题13 二次函数的应用（10个高频考点）（强化训练）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc5948" 【题型1 图形面积或周长问题】
1．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【答案】(1)y＝x2＋8
(2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积 ＋≤P1横坐标≤
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
2.（2022·内蒙古锡林郭勒盟·校考模拟预测）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
【答案】（1）S=﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，理由见解析；（3）当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．
【分析】（1）由矩形的一边长为x、周长为16得出另一边长为8﹣x，根据矩形的面积公式可得答案；
（2）由设计费为24000元得出矩形面积为12平方米，据此列出方程，解之求得x的值，从而得出答案；
（3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况．
【详解】解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，
∴另一边长为（8﹣x）米，
∴S=x（8﹣x）=，其中0＜x＜8，
即（0＜x＜8）；
（2）能，理由如下：
∵设计费能达到24000元，
∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米），
即=12，解得：x=2或x=6，
∴设计费能达到24000元．
（3）∵，
∴当x=4时，S最大值=16，
∴当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．
3．（2022·河北廊坊·统考二模）如图1所示为某公司生产的型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长方形的长米，宽米，抛物线的最高点到的距离为4米．
(1)按如图1所示建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式．
(2)现将型活动板房改为型活动板房．如图2，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户框架，点、在上，点、在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设，且满足，当窗户框架的周长最大时，每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本＋一扇长方形窗户框架成本）
(3)根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)每个型活动板房的成本是450元
(3)销售单价（元）定为550元时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大，最大利润是20000元
【分析】（1）根据图形和平面直角坐标系可设该抛物线的解析式为，易得点D和点E坐标，代入 求解即可；
（2）根据点M、N的横坐标相等，求出点N的坐标，再根据长方形的周长公式和二次函数的性质求法解答即可；
（3）根据题意得到W与n的二次函数，根据二次函数的性质求解即可．
(1)
解：由题意，设该抛物线的解析式为，
∵长方形的长米，宽米，抛物线的最高点到的距离为4米，
∴OH=AB=3，OD=OA=2，OE=EH-OH=1，
∴E（0，1），D（2，0），
将E（0，1），D（2，0）代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
(2)
解： ∵M（m，0），∴N（m，），
由题意，MN=FG=，GM=FN=2OM=2m，
∴窗户框架的周长为2（2m+）=，
∵＜0，，
∴当m=1时，周长最大，最大值为5.5，
此时，每个型活动板房的成本是395+5.5×10=450元．
(3)
解：根据题意，得：
W=（
=
= ，
∵-2＜0，
∴当n=550时，W最大，最大值为20000，
故销售单价（元）定为550元时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大，最大利润是20000元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，正确列出二次函数的解析式并熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
4．（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．
【答案】(1) y＝－x2＋3x；(2) 当x＝3时，y有最大值，为4.5.
【详解】分析：（1）由矩形的周长为12，AB=x，结合矩形的性质可得BC=6-x，然后由E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点可得四边形EFGH的面积是矩形面积的一半，从而列出函数关系式；
（2）由关系式为二次函数以及二次项系数小于0可得四边形EFGH的面积有最大值，然后利用配方法将抛物线的解析式写成顶点式，从而得到x取什么值时，y取得最大值，以及最大值是多少.
详解：(1)∵矩形ABCD的周长为12，AB＝x，
∴BC＝×12－x＝6－x.
∵E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，
∴y＝x(6－x)＝－x2＋3x，
即y＝－x2＋3x.
(2)y＝－x2＋3x＝－ (x－3)2＋4.5，
∵a＝－＜0，
∴y有最大值，
当x＝3时，y有最大值，为4.5.
点睛：本题是一道有关二次函数应用的题目，解题的关键是依据矩形的性质结合已知列出二次函数关系式，然后利用二次函数的最值解决问题.
5．（2022·四川绵阳·统考二模）如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S.
(1)求养殖房的最大面积.
(2)该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？
【答案】(1)108平方米
(2)5种购买方案.
【分析】（1）根据矩形的面积列出函数解析式，再根据函数的性质求最大值；
（2）设买小鸡a只，小鹅b只，根据5a＋7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整数解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵﹣3＜0，
∴当x＝6时，S有最大值，最大值为108，
∴养殖房的最大面积为108平方米；
（2）设买小鸡a只，小鹅b只，
则5a+7b＝400，且a≥2b，
∴a＝＝80﹣≥2b，
则b≤，且b≥0，
又∵a，b都为非负整数，
∴b可为0，5，10，15，20，
此时a对应为80，73，66，59，52，
∴该养殖户共有5种购买方案：方案1：小鸡80只，小鹅0只；方案2：小鸡73只，小鹅5只；方案3：小鸡66只，小鹅10只；方案4：小鸡59只，小鹅15只；方案5：小鸡52只，小鹅20只．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据矩形的面积列出函数解析式．
\l "_Tc15806" 【题型2 图形运动问题】
6．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）如图，在中，，边上的高，，分别是边，上的两个动点（点不与点、重合），与交于点，且，以为边，在点的下方做正方形．
(1)当正方形的边在上时，求正方形的边长．
(2)设，与正方形重叠部分的面积为，则当为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)正方形的边长为；
(2)当时，y有最大值为15．
【分析】（1）由相似三角形的对应边成比例，可得，又由正方形的各边都相等，即可求得的长，即正方形的边长；
（2）①由正方形在的内部，可得与正方形重叠部分的面积为正方形的面积，根据正方形面积的求解方法，易得，s根据二次函数的性质求得此时y的最大值；②当正方形的一部分在的外部时，由，根据相似三角形对应边成比例，可得，根据二次函数的性质求得此时二次函数的最大值；比较后即可求得y的最大值．
【详解】（1）解：当正方形的边在上时，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解之得，
∴当正方形的边在上时，正方形的边长为；
（2）解：①当正方形在的内部时，与正方形重叠部分的面积为正方形的面积，
∵，
∴，
∵，
∴在对称轴的右侧，函数y的值随x的增大而增大，
∴当时，y取最大值为；
②当正方形的一部分在的外部时，
∵，
∴，
而，
∴，
解得．
所以，
即，
∵，且，
∴当时，y有最大值为15，
∵，
∴与正方形重叠部分的面积的最大值为15．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质与二次函数的性质．此题综合性很强，解题时要仔细分析．
7．（2022·安徽黄山·统考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝40cm，BC＝30cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动；动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是8cm/s，点Q的速度是4cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)当t＝3时，P、Q两点之间的距离是多少？
(2)若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
(3)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】(1)m
(2)
(3)秒或秒
【分析】(1)在中，当t＝3时，可求得，的长，利用勾股定理即可求解；
(2)已知点P、Q的运动速度和运动时间，又知、的长，可求得，的长，利用三角形的面积公式即可求解；
(3)应分两种情况进行求解：①；②，利用相似三角形的性质即可求解．
(1)
解：由题意得，，，则，
当时，，，
在中，，
∴当t＝3时，P、Q两点之间的距离是m．
(2)
解：由题意得，，，则，
∴；
(3)
解：由题意得，，，则，AC＝40，BC＝30，
若，则，即，解得；
若，则，即，解得，
综上可知，秒或秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用等，分类讨论的思想是解题的关键．
8．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t秒（0＜t≤4）．
（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）的函数关系式，当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
【答案】（1）S＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，S有最大值；（2）t＝或或．
【分析】（1）过点作，垂足为，从而得到，根据相似比例求出的长，可以得到用表示面积的函数解析式，再求最大值；
（2）分三种情况讨论三角形为等腰三角形，即，和，再分别求的值．
【详解】解：（1）矩形中，，
过点作，垂足为，
，
，
，
当时，有最大值；
（3）①当时，，
，
②当时，作，垂足为，
此时，，
即，
．
③当时，作，垂足为，
此时，，
即，
．
或或均使为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用和相似三角形的判定和性质，注意分情况讨论是解题关键．
9．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，AB＝，BD＝．动点P从点A出发，沿AB—BC向终点C运动，点P在AB上的运动速度是每秒个单位长度，在BC上的运动速度是每秒5个单位长度．当点P不与△ABC顶点重合时，以PB为角的一边作∠BPQ＝∠A，角的另一边交BC边或AB边于点Q，以PQ为一边在PQ的下方作正方形PQMN．设点P的运动时间为t秒，正方形PQMN与△ABC重合部分图形的面积为S．
（1）求∠C的正切值．
（2）用t的代数式表示PB的长．
（3）当点P在AB上运动时，求S的最大值以及S取得最大值时t的值．
（4）当正方形PQMN的顶点在边AC上时，直接写出t的值．
【答案】（1）2；（2）；（3）时，S有最大值为25；（4）或或
【分析】（1）利用勾股定理求出∠C的邻边，然后利用锐角三角函数定义求即可
（2）当时，求出AP=t，可得，当1＜t≤3时，可得即可；
（3）当点N在AC上时，由AB=AC，可得∠ABC=∠C，根据四边形OQMN为正方形，可证△PBQ∽△ABC，由性质解得；当0＜t＜时，可得S矩形PQGF，当≤t＜1时，可得， 求出最值比较即可；
（4）当点P在AB上时，由（2）得，当点P在BC上时，过Q作QR⊥BC于R，BP=5（t-1）=PQ，可证△BQP∽△BAC，可确，再证△QRP∽△BDA，可求，根据点M与点N的位置可分两种情况，点N在AC上，过N作NS⊥BC于S，△QRP≌△PSN（AAS），可确CS =19-9t，由三角函数tanC=，当点M在AC上，过P作PZ⊥AB于Z，MY⊥AB于Y，求出BZ=ZQ=,由勾股定理，可证△ZQP≌△YMQ（AAS），可确AY= ，根据三角函数tanA=即可求
【详解】解：（1）在Rt△ABD中
∵AB＝，BD＝．
由勾股定理
∴，
∴在Rt△BCD中，tanC=；
（2）∵AB=，AP=t，，当AP=AB时，即，t=，t=1，
在Rt△BDC中，由勾股定理，，
∴t=3，
当时，
∴，
当1＜t≤3时，；
（3）当点N在AC上时，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵四边形OQMN为正方形，
∴PQ∥AC，
∴∠BQP=∠C=∠PBQ，
∴PB=PQ=PN=ED，
∴△PBQ∽△ABC，
∴，
∵BE=BD-DE=-
∴，
解得；
当0＜t＜时，
∵sin∠BAD=，∠BPQ=∠BAC，
∴sin∠BPQ=，
∴，
∴DE=BD-BE=，
∴S矩形PQGF=DE·PQ=，
所以，当时，，
当≤t＜1时，，
所以，当时，，
由于 ，所以时，；
（4）当点P在AB上时，如图，
由（2）得，
当点P在BC上时，过Q作QR⊥BC于R，BP=5（t-1）=PQ，
∵∠BPQ=∠A，∠PBQ=∠CBA，
∴△BQP∽△BAC，
∴即，
∴，
∵∠BPQ=∠A，∠QRP=∠BDA=90°，
∴△QRP∽△BDA，
∴即，
分两种情况
点N在AC上，过N作NS⊥BC于S，
∵四边形PQMN为正方形，
∴PQ=PN=PB，∠QPN=90°，
∴∠RPQ+∠RQP=∠RPQ+∠NPS=90°，
∴∠RQP=∠SPN，
在△QRP和△PSN中，
，
∴△QRP≌△PSN（AAS），
∴QR=PS=，RP=SN=，
∴CS=BC-BP-PS=10-5-=19-9t，
∴tanC=，
∴，
当点M在AC上，过P作PZ⊥AB于Z，MY⊥AB于Y，
∵PB=PQ，PZ⊥AB，
∴BZ=ZQ=,
在Rt△ZPB中，
由勾股定理，
∵四边形PQMN为正方形，
∴PQ=PN=QM，∠MQP=90°，
∴∠ZPQ+∠ZQP=∠ZQP+∠MYQ=90°，
∴∠ZQP=∠YMQ，
在△ZQP和△YQM中，
，
∴△ZQP≌△YMQ（AAS），
∴PZ=QY=，QZ=YM，
∴AY=AB-BQ-QY=，
在Rt△AYM中tanA=，
解得，
∴当正方形PQMN的顶点在边AC上时， t的值为，，．
【点睛】本题考查勾股定理，锐角三角函数，用含t的式子表示线段，以及正方形与三角形重叠面积， 还考查三角形相似判定与性质，三角形全等判定与性质，分类讨论思想，掌握勾股定理，锐角三角函数，函数的性质， 三角形相似判定与性质，三角形全等判定与性质，分类讨论思想是解题关键．
10．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在矩形中，，，连接，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点．已知点从点开始，以的速度在线段上移动，设运动时间为．解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）连接，设的面积为，求与的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使恰好将分成面积比为的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；（2）；（3）或；（4）
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式得方程，求解即可；
（2）证明△，求得，分和两种情况，结合求解即可；
（3）根据列出方程求解即可；
（4）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可求解．
【详解】解：（1）∵
∴
∴
解得，
∴当时，；
（2）取AB的中点M，BC的中点N，连接OM，ON，如图①
∵
∴，，
∴∠，∠
∴四边形OMBN是矩形
∴∠
∴∠，∠
∴∠
∴△
∴
∵，
∴
①当时，，（如图①）
∴，
∴，
，
∴
=
=
∴；
②当时，如图②
此时，，，
∴
∴
∴
=
=
∴
综上所述，
（3）∵
∴
解得，
∴当或时，；
（4）当时，即，作，如图③
∵∠，∠
∴△
∴，则
∴，则
∵∠，∠
∴
∴，则
∴
∵
∴
解得，
当时，即，如图④，
同上可得，，
∵
∴
解得，
综上所述，
【点睛】本题是四边形综合题，考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，准学会正确寻找相似三角形是解决问题．
\l "_Tc13025" 【题型3 拱桥问题】
11．（2022·浙江绍兴·模拟预测）一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．
(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
(2)如图，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
【答案】(1)①抛物线解析式为：；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米；
(2)①圆的半径为米；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过米．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；
②根据题意得出时，求出x的值即可；
（2）①构造直角三角形利用，求出即可；
②在中，由题可知，，，根据勾股定理知：，求出即可．
【详解】（1）解：①设抛物线解析式为：，
∵桥下水面宽度是20米，高是4米，
∴A，B，D，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：；
②∵要使高为3米的船通过，
∴，则，
解得：，
∴米；
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过米；
（2）解：①设圆半径r米，圆心为W，
∵，
∴，
解得：；即圆的半径为米；
②在中，由题可知，，，
根据勾股定理知：，
即，
所以，
此时宽度米．
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过米．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、垂径定理以及勾股定理的应用等知识，利用图象上的点得出解析式是解决问题关键．
12．（2022·甘肃定西·统考模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是多少？
【答案】(1)
(2)在对称轴右边1m​处，桥洞离水面的高是m
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点，代入即可求解；
（2）根据对称轴为：，得出对称轴右边1m处为：，代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，
∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴这条抛物线所对应的函数关系式为：．
（2）解：对称轴为：，则对称轴右边1m处为：，
将代入，可得：，解得：，
答：在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
13．（2022·广西河池·统考二模）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽与桥面长均为24m，点E在上，，测得桥面到桥拱的距离为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱顶部O离水面的距离；
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆是形状相同的抛物线，，其最低点与桥面的距离均为1m．求拱桥抛物线与钢缆抛物线的垂直距离的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可；
（2）由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可；设拱桥抛物线与拱桥抛物线的垂直距离为，则，代入求值即可．
（1）
解：设拱桥为
将代入得
求得，

当时，，
桥拱顶部离水面高度为；
（2）
解：右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为
设其表达式为
将代入其表达式得，
解得
右边钢缆所在抛物线表达式为
注：同理可得左边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，表达式为
设拱桥抛物线与拱桥抛物线的垂直距离为
则

当时，
即拱桥抛物线与拱桥抛物线的垂直距离的最小值是
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．
14．（2022·河北唐山·统考二模）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；
（2）把：x =1，代入y=x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．
【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，
∴二次函数的解析式为：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；
（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，
答：他的头顶不会触碰到桥拱；
（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=x2-2x，
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-x2+2x，
∴新函数表达式为：，
∵将新函数图象向右平移个单位长度，
∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如图所示，
根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．
15．（2022·河南·模拟预测）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是．
【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标；
（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；
（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
【详解】解：（1）由题知点在抛物线上
所以，
解得，
∴，
∴当时，
∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））
当x=2或x=10时，，
所以可以通过；
（3）令，即，可得，解得
答：两排灯的水平距离最小是
\l "_Tc26096" 【题型4 销售问题】
16.（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当时，；当时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为
(2)这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，然后代值求解即可；
（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得，进而根据二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，由题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设每天获得的利润为w元，由（1）可得：
，
∵，且-10＜0，
∴当时，w有最大值，最大值为160；
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．
17．（2022·辽宁·统考中考真题）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126
(2)当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，然后根据总利润等于每千克的利润×销售量，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质．
18．（2022·辽宁营口·统考中考真题）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
(1)求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
(2)该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元．
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
(2)①B款纪念册销售量为(80-2m)本；②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【分析】（1）设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）①设A款纪念册每本降价m元，根据这两款纪念册每天销售总数不变，则B款纪念册销售量为(80-2m)本；
②先利用待定系数法求得B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式，再根据每周的利润=每本的利润×每周的销售数量，再根据二次函数的性质可得答案．
(1)
解：设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，
依题意得，
解得，
答：A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
(2)
解：①设A款纪念册每本降价m元，
则A款纪念册销售量为(40+2m)本，售价为(32-m)元，则每册利润为32-m-20=12-m（元），
∵这两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册销售量为(80-2m)本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=kx+n，
∴，
解得，
∴B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=-2x+124，
由①得：B款纪念册销售量为(80-2m)本，
售价为80-2m =-2x+124，即x=22+m(元)，则每本利润为22+m-14=8+m(元)，
设该店每天所获利润为w元，
则w=(40+2m)(12-m)+ (80-2m)(8+m)
=-4m2+48m+1120
=-4(m-6)2+1264，
∵-46.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．
22．（2022·河北保定·校考一模）图1是运动员训练使用的带有乒乓球发射机的乒乓球台示意图，水平台面的长和宽分别为和，中间球网高度为，发射机安装于台面左侧边缘，能以不同速度向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为．乒乓球（看成点）在发射点P获得水平速度v（单位：）后，从发射点向右下飞向台面，点Q是下落路线的某位置，忽略空气阻力，实验表明：P，Q的竖直距离h（单位：m）与飞出时间t（单位：s）的平方成正比，且当时，；P，Q的水平距离是（单位：m），如图2．
(1)设．用t表示点Q的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的函数关系式；（不必写x的取值范围）
(2)在（1）的条件下，①若发球机垂直于底线向正前方发球，根据（1）中的函数关系式及题目中的数据，判断这次发球能否过网？是否出界？并说明理由；
②若球过网后的落点是右侧台面内的点M（如图3，点M距底线，边线），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：）
(3)将乒乓球发射机安装于台面左侧底线的中点，若乒乓球的发射速度v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上（不接触中网和底线），请直接写出v的取值范围．（结果保留根号）
【答案】(1)，，
(2)①能，理由见解析；②发球点O在底线上距离边线的位置（即左上角）
(3)
【分析】（1）利用待定系数法分别求出v与t，h与t的函数，得出点Q的纵坐标为，从而推出y与x的函数关系式；
（2）①看图得出中网的坐标为，把x=1.4代入（1）抛物线的解析式求y值和0.15作比较；再读出底线的坐标为，把x=2.8代入抛物线的解析式求y值和0作比较即可判断；②分别过点O，M作底线，边线的平行线，交于点N，先求出ON长，然后把y=0代入抛物线解析式求出OM长，在中，根据勾股定理求出MN长，即可解决问题；
（3）根据题意得出，当垂直底线发球，恰巧过网，此时v值最小，当斜发球恰巧与右下底线与边线边缘相碰，此时v值最大．分别求出两种情况下的h长，利用h和t的函数分别求出时间，再分别求出球行走的水平距离，根据速度公式分别求两种速度，即可得出速度的范围．
(1)
解：（1）根据题意，当时，∵P，Q的水平距离为，
∴点Q的横坐标；
设，将代入得，
∵P，Q的竖直距离为，
∴点Q的纵坐标；
∴，
即．
(2)
解：①能过网，但出界 ，理由如下：
由（1）可知，
由题可知，中网在坐标系中可看成一个点且点的坐标为；
当时，；
底线可看成一个点且点的坐标为，当时，，
∴这次发球能过网，但出界了．
②如图，
分别过点O，M作底线，边线的平行线，交于点N，
在中，，
当时，，
解得或（根据题意舍去）
∴，
∴，
∴发球点O在底线上距离边线的位置（即左上角）．
(3)
解：当垂直底线发球，恰巧过网，此时v值最小，
∵中间球网高度为，
∴y=0.15m，
∴h=0.4-0.15=0.25m，
∴，
解得 或（舍去），
∵底线到中网的距离为1.4m ，
∴；
当斜发球恰巧与右下底线与边线边缘相碰，此时v值最大，如图，连接OA，作NB⊥底线于B点，
∴ ，
∵这时的h=0.4，
∴，
∴或（舍去），
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理的实际应用，以及行程问题，解题的关键是读懂题意，根据题干提供的数据建立函数关系式，以及确定球过网时速度最小和最大时的落点位置．
23．（2022·山东青岛·统考一模）北京2022年冬奥会跳台滑雪比赛在张家口赛区进行，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿段抛物线运动．
(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)在（1）的条件下，求运动员在落在小山坡上之前滑行的水平距离，并求出在滑行期间距离小山坡的最大高度是多少米？
(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过2.3米时，求b的取值范围．
【答案】(1)y=-x2+x+4；
(2)运动员运动的水平距离为(4+2)米时，运动员落在小山坡上；运动员在滑行期间距离小山坡的最大高度为米；
(3)b＞．
【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：y=-x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员落在小山坡上，依题意得：-m2+m+4=-m2+m+1，解出m即可；设运动员运动的水平距离为n米时，运动员在滑行期间距离小山坡的最大高度为h，依题意得：h=-n2+n+4-(-n2+n+1)，利用二次函数的性质即可求解；
（3）求出山坡的顶点坐标为（7，），根据题意即-×72+7b+4＞2.3+，再解出b的取值范围即可．
(1)
解：由题意可知抛物线C2：y=-x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y=-x2+x+4；
(2)
解：设运动员运动的水平距离为m米时，运动员落在小山坡上，
依题意得：-m2+m+4=-m2+m+1，
解得：m1=4+2，m2=4-2（舍去），
故运动员运动的水平距离为(4+2)米时，运动员落在小山坡上；
设运动员运动的水平距离为n米时，运动员在滑行期间距离小山坡的最大高度为h，
依题意得：h=-n2+n+4-(-n2+n+1)=-(n-4)2+，
∵-，
∴当n=4时，运动员在滑行期间距离小山坡的最大高度为米；
(3)
解：C1：y=-x2+x+1=-（x-7）2+，
当x=7时，运动员到达坡顶，
根据题意得：-×72+7b+4＞2.3+，
解得：b＞．
【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
24．（2022·河北承德·统考模拟预测）如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．
(1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
(2)场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
【答案】(1)
(2)①小丽的判断是正确的；②小明应向前走0.3m才能命中篮圈中心
(3)1.3米
【分析】(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4，4)，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可；
(2) ①求得当x = 7.3时的函数值，与3比较即可说明小丽判断的正确性；
②由题意可知出手的角度和力度都不变，小明向前走或向后退时，相当于抛物线的左右平移，故可设抛物线的解析式为，将(7.3， 3)代入求得m的值，根据抛物线左右平移时左加右减的特点，可得答案；
(3)将y=3.19代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4，4)，球出手时的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①抛物线的解析式为，
当x = 7.3时，，
，
小丽的判断是正确的；
②出手的角度和力度都不变，
设抛物线的解析式为，
将(7.3， 3)代入，得：，
解得：，(舍去)，
小明应向前走0.3m才能命中篮圈中心；
（3）解：抛物线的解析式为，
当y= 3.19时，，
解得：，(不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效)，
小亮应在小明前面1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（2022·山东青岛·统考二模）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）
【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；
（2）当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6＝8.4，即可求解．
【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；
当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝6＝8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.
\l "_Tc6085" 【题型6 喷水问题】
26．（2022·江西·模拟预测）如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表示的点A处弹出后，呈抛物线状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．
(1)根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．
(2)当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．
(3)若弹球经过n（n为正整数）次自由弹出后恰好落在数轴上的点B处，请用含n的代数式直接写出点B表示的数．
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意建立坐标系，根据函数解析式求出最大值即可；
（2）分别求出弹球第二次、第三次的解析式，以及落地见的距离，当落地之间距离为4时求出解析式即可．
（1）
解：根据弹球弹出的位置和函数解析式建立如图所示坐标系：
∵抛物线解析式为，
函数最大值为16，
弹球第一次弹出的最大高度为16；
（2）
当时，则，
解得：，，
第一次相邻两落点之间的距离为：，
设第二次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为，
当时，，
，
解得或（舍去），
所求抛物线的解析式为，
第二次相邻两落点之间的距离为，
设第三次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为，
当时，，
解得或（舍去），
所求抛物线的解析式为，
第三次相邻两落点之间的距离为，
相邻两落点之间的距离为4时，弹球下落抛物线的解析式为．
（3）
由（2）知，第一次相邻两落点之间的距离为8，
第二次相邻两落点之间的距离为= ，
第三次相邻两落点之间的距离为4= ，
……
第n次相邻两落点之间的距离为 ，
故点B表示的数为 ．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意建立坐标系，写出函数解析式．
27．（2022·北京昌平·统考二模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为．
与的几组对应值如下表：
(1)该喷枪的出水口到地面的距离为________；
(2)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出与的函数图像；
(3)结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________（精确到）
【答案】(1)1
(2)见解析
(3)3，18
【分析】(1)令x=0时，求得y值即可．
(2)按照描点，连线的基本步骤画函数图像即可．
(3)先确定直线y=kx+b，当x=8时，求得y=3，设抛物线解析式为，把(0，1)代入解析式，确定a=，得到抛物线解析式，令y=0，求得x的值即可．
【详解】（1）令x=0时，得y=1，
故答案为：1．
（2）根据题意，画图如下：
．
（3）设直线为y=kx+b，根据题意，得
，
解得，
故直线的解析式为，
当x=8时，
得(m)，
故抛物线的顶点坐标为(8，3)，
设抛物线解析式为，
把(0，1)代入解析式，
解得a=，
∴，
令y=0，得，
解得x=，或 x=（舍去），
且x=≈17.79≈18(m)，
故答案为：3，18．
【点睛】本题考查了一次函数图像的画法，待定系数法确定一次函数的解析式，顶点式确定抛物线的解析式，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，选择顶点式确定二次函数的解析式是解题的关键．
28．（2022·浙江台州·模拟预测）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm
【分析】（1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；
（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案；
（3）设垫高的高度为cm，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：(1)∵s2=4h(H-h)，
∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，
∴当h=10时，s2有最大值400，
∴当h=10时，s有最大值20cm．
∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
故答案为：最大射程是20cm.
(2) ∵s2=4h(20-h)，
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a(20-a)=4b(20-b)，
∴20a-a2=20b-b2，
∴a2-b2=20a-20b，
∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，
∴(a-b)(a+b-20)=0，
∴a-b=0或a+b-20=0，
∴a=b或a+b=20.
故答案为：a=b或a+b=20.
(3)设垫高的高度为cm，则
∴当时，
∴时，此时
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
29．（2022·山东临沂·统考一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌底部的距离）是1米，当喷射出的水流距离喷灌架水平距离为20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．
(1)求水流运行轨迹满足的函数关系式；
(2)若将喷灌向后移动5米，通过计算说明是否可避开对这棵石榴树的喷灌？
(3)设喷射水流与坡面OA之间的铅直高度为h，求h的表达式，并求出x为何值时，h有最大值，h最大值是多少？
【答案】(1)
(2)可避开对这棵石榴树的喷灌
(3)当x＝18时，h有最大值，最大值为9.1m
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+c，用待定系数法求得解析式；
（2）先写出喷灌移动后的函数解析式，再求x＝30时，y的值，求出点B的纵坐标进行比较即可；
（3）写出水流与坡面OA之间的铅直高度为h的函数解析式，再根据函数的性质求最值．
（1）
解：由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+k，
将（0，1），（20，11）分别代入，
得：，
解得：，
∴，
∴水流运行轨迹满足的函数关系式；
（2）
解：移动后的解析式为：
，
将x＝30代入得：y＝﹣×152+11＝11﹣5.625＝5.375（m），
∵坡度为1:10，
∴B点纵坐标为2.3+3＝5.3（m），
∵5.375m＞5.3m，
∴可避开对这棵石榴树的喷灌；
（3）
解：设点A的坐标为(x，y)，
∵坡度为1:10，即y:x=1:10，
∴直线OA的解析式为y＝0.1x，
设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，
则h＝﹣x2+x+1﹣0.1x

＝﹣（x﹣18）2+9.1，
∵﹣＜0，
∴当x＝18时，h有最大值，最大值为9.1m
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
30．（2022·北京门头沟·统考一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接．
(2)结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
(3)求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？
(4)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目．准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米．问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)2.5米；
(3)2.5米；
(4)水枪高度调节到2.1米以上，理由见解析．
【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
（2）直接由图像可得结果；
（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解即可；
（3）由题意知设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
（1）
以水枪与湖面的交点为原点，水枪所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：
（2）
由图象可知水柱最高点距离湖面的高度为2.5米；
（3）
根据图象设二次函数的解析式为h=a（d-2）2+2.5
将（1，2.1）代入h=a（d-2）2+2.5得a=-，
∴抛物线的解析式为，即，
令h=0，则，
解得：，
4.5-2=2.5，
∴水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是2.5米；
（4）
设水枪高度至少向上调节m米，
由题意知调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为，
当横坐标为2+=3.5时，纵坐标的值大于等于2 ++0.8=2.8，
∴，
解得：m≥1.2，
∴水枪高度至少向上调节1.2米
0.9+1.2=2.1
∴水枪高度调节到2.1米以上．
【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
\l "_Tc32418" 【题型7 增长率问题】
31．（2022·浙江丽水·校联考三模）你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2=B．x+2x=C．（1+x）2=D．1+2x=
【答案】C
【详解】解：设票股价的平均增长率x.
则
即
故选C
32．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______．
【答案】
【分析】设每次降价的百分率为x，由题意得，求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，由题意得
，
解得（舍去），
∴每次降价的百分率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题列方程的方法是解题的关键．
33．（2022·安徽·统考中考真题）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=________．
【答案】a（1+x）2
【详解】试题分析：∵一月份新产品的研发资金为a元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为，∴三月份的研发资金为．
故答案为．
考点：根据实际问题列二次函数关系式．
34．（2022春·江苏无锡·一模）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量y(吨)与月份x(月)之间的函数关系是y=－2x+50．
（1）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p(万元)与月份x(月)的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？
（2）受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）．
（参考数据：=7.14，=7.21，=7.28，=7.35）
【答案】(1)4000万；(2)a=13
【详解】试题分析：（1）根据图象可以知道利润p（万元）与月份x是一次函数关系，并且随着月份的增加利润也增加，首先根据图象确定利润p与x的函数关系，然后利用函数的增减性即可确定今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元；
（2）由于该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%．
试题解析：（1）根据图象知道当x=1，p=80，
当x=4，p=95，
设p=kx+b，
∴ ，解得，
∴p=5x+75；根据k＞0，y随x增大而增大，
∴当x=5时，p最大，p=5×5+75=100万元；
∴5月份的利润是：100万×40=4000万元；
（2）（2）∵该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，
而当x=5时，y=40，
∴6月份的二氧化碳排放量为40（1-a%），
7月份的二氧化碳排放量为40（1-a%）2，
5月份的利润为4000万元，
∴6月份的利润为100（1+50%）×40（1-a%），
7月份的利润为100（1+50%）×（1+50%）×40（1-a%）2，
∴100（1+50%）×40（1-a%）+100（1+50%）×（1+50%）×40（1-a%）2=3×4000，
∴a=13．
考点：二次函数的应用.
35．（2022秋·河北保定·九年级二模）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价 每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）
∴依题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
\l "_Tc24429" 【题型8 车过隧道问题】
36．（2022·安徽·校联考一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5m，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【答案】（1）所求抛物线的解析式为：；（2）两排灯的水平距离最小是米；（3）这辆特殊货车能安全通过隧道．
【分析】抛物线顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点B的坐标代入即可；
由图象可知，高度越高，两排灯间的距离越近，把代入所得解析式，求得一元二次方程的两个根，它们的差即为答案；
由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的纵坐标为，代入所得解析式，判断是够大于即可．
【详解】根据题意，顶点D的坐标为，点B的坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
即所求抛物线的解析式为：；
由图象可知，高度越高，两排等间的距离越近，
把代入得：
，
解得：，，
所求最小距离为：，
答：两排灯的水平距离最小是米；
根据题意，当时，
，
能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车能安全通过隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，理清题目中各量之间的关系解题的关键.注意数形结合思想的应用.
37．（2022·湖南邵阳·统考中考模拟）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？
【答案】（1），x的取值范围是；（2）能够通过此隧道．
【分析】（1）根据所建坐标系设解析式为y=ax2，由A点或B的坐标易求解析式，根据隧道口的有限性结合图象易知x的取值范围；
（2）能否通过是比较当x=1.4时[5-（-y）]的值与1的大小．
【详解】（1）设所求函数的解析式为．
由题意，得函数图象经过点B（3，-5），
∴-5=9a．
∴．
∴所求的二次函数的解析式为．
x的取值范围是．
（2）当车宽2.8米时，此时CN为1.4米，对应，
EN长为，车高米，∵，
∴农用货车能够通过此隧道．
38．（2022·安徽芜湖·校联考三模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
【答案】（1）M（12，0），P（6，6）；（2）y=x2+2x；（3）15米．
【详解】试题分析：确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点（0，0），就可以确定抛物线解析式；设OB=x，由对称性得CM=x，这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，为求三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值，提供依据．
试题解析：（1）M（12，0），P（6，6）
（2）∵顶点坐标（6，6）
∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）
又∵图象经过（0，0）
∴0=a（0﹣6）2+6
∴a=
∴这条抛物线的函数解析式为y=（x﹣6）2+6，即y=x2+2x；
（3）设A（x，y）
∴A（x，（x﹣6）2+6）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=（x﹣6）2+6，
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，
∴令L=AB+AD+DC=2[（x﹣6）2+6]+12﹣2x=x2+2x+12=（x﹣3）2+15．
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．
考点：二次函数的应用．
39．（2022·山东德州·统考二模）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度OM 为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使 C 、D 点在抛物线上，A、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
【答案】（1） M（12，0） ，P（6，6）；
（2）；
（3）当m=3时，AD+DC+CB有最大值为15米.
【分析】（1）根据所建坐标系易求M、P的坐标；
（2）可设解析式为顶点式，把O点（或M点）坐标代入求待定系数求出解析式；
（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．
【详解】(1)易知底部宽度为12米所以OM=12.则M(12，0)，最大高度为6米，所以P(6，6).
(2)设此函数关系式为：.
∵函数经过点(0，0)，
∴，即.
∴此函数解析式为：
.
(3)设A(m，0)，则
B(12-m，0)，C，D.
∴“支撑架”总长AD+DC+CB =
=.
∵此二次函数的图象开口向下.
∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．
点评：
本题难度在第（3）问，要分别求出三部分的表达式再求其和．关键在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．
40．（2022·江苏南京·统考二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2．5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明．
【答案】（1）y=-x2+2x．（0≤x≤12）；（2）不能行驶宽2．5米、高5米的特种车辆．
【详解】试题分析：（1）根据所建坐标系知顶点P和与X轴交点M的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是0≤x≤12；
（2）根据对称性当车宽2．5米时，x=3或9，求此时对应的纵坐标的值，与车高5米进行比较得出结论．
试题解析：（1）∵M（12，0），P（6，6）．
∴设这条抛物线的函数解析式为y=a（x-6）2+6，
∵抛物线过O（0，0），
∴a（0-6）2+6=0，解得a=-，
∴这条抛物线的函数解析式为y=-（x-6）2+6，
即y=-x2+2x．（0≤x≤12）；
（2）当x=6-0．5-2．5=3（或x=6+0．5+2．5=9）时
y=4．5＜5
故不能行驶宽2．5米、高5米的特种车辆．
考点：二次函数的应用．
\l "_Tc11930" 【题型9 行程问题】
41．（2022·江苏南通·统考二模）某人做跑步健身运动，每千米消耗的热量y（单位：kcal）与其跑步的速度x（单位：km/h）之间的函数关系如图所示，其中线段AB的表达式为y＝2x＋50（2.5≤x≤10），点C的坐标为（14，82），即步行速度为14 km/h时他每步行1 km的消耗热量是82 kcal．
（1）求线段BC的表达式；
（2）若从甲地到乙地全程为26 km，其中有6 km是崎岖路，他步行的最高速度是5km/h，20 km是平坦路，他步行的最高速度是12 km/h，那么在不考虑其他因素的情况下，他从甲地到乙地至多消耗多少kcal的热量？
【答案】（1）；（2）他从甲地到乙地至多消耗1880kcal的能量．
【分析】（1）由题意易得点B的坐标，则设线段BC的解析式为，进而把点B、C的坐标代入求解即可；
（2）分别求出x=5，x=12时y的值，即可求解．
【详解】解：（1）由图象可得：把x=10代入线段AB的解析式得：，
∴点，
设线段BC的解析式为，则由B、C的坐标可得：
，解得：，
∴线段BC的解析式为；
（2）x=5时，y=2×5+50=60，
x=12时，y=3×12+40=76，
∴60×6+76×20=1880（kcal），
答：他从甲地到乙地至多消耗1880kcal的热量．
【点睛】本题考查一次函数的应用，主要考查待定系数法求函数表达式的技能．
42．（2018·安徽蚌埠·统考中考模拟）台州人民翘首以盼的乐清湾大桥于2018年9月28日正式通车，经统计分析，大桥上的车流速度（千米/小时）是车流密度（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米的时候就造成交通堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为80千米/小时，研究证明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（1）求大桥上车流密度为50/辆千米时的车流速度；
（2）在某一交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于60千米/小时且小于80千米/小时，应把大桥上的车流密度控制在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量车流速度车流密度，求大桥上车流量的最大值．
【答案】（1）车流速度68千米/小时；（2）应把大桥上的车流密度控制在20千米/小时到70千米/小时之间；（3）车流量y取得最大值是每小时4840辆
【分析】（1）设车流速度与车流密度的函数关系式为v=kx+b，列式求出函数解析式，将x=50代入即可得到答案；
（2）根据题意列不等式组即可得到答案；
（3）分两种情况：、时分别求出y的最大值即可.
【详解】（1）设车流速度与车流密度的函数关系式为v=kx+b，由题意，得
，
解得，
∴当时，车流速度是车流密度的一次函数为，
当x=50时，（千米/小时），
∴大桥上车流密度为50/辆千米时的车流速度68千米/小时；
（2）由题意得，
解得201600，
∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆.
【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，一元一次不等式组的实际应用，二次函数最大值的确定，正确掌握各知识点并熟练解题是关键.
43．（2018·湖北襄阳·校联考中考模拟）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
【答案】（1）k=18，h=5t2；（2）x=5t+1，y=﹣5t2+18，y=，当y=13时，运动员在与正下方滑道的竖直距离是10米；（3）t=1.8，v乙＞7.5
【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；
（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．
【详解】（1）由题意，点A（1，18）代入y=，
得：18=，
∴k=18，
设h=at2，把t=1，h=5代入，
∴a=5，
∴h=5t2；
（2）∵v=5，AB=1，
∴x=5t+1，
∵h=5t2，OB=18，
∴y=﹣5t2+18，
由x=5t+1，
则t=（x-1），
∴y=﹣（x-1）2+18=，
当y=13时，13=﹣（x-1）2+18，
解得x=6或﹣4，
∵x≥1，
∴x=6，
把x=6代入y=，
y=3，
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）；
（3）把y=1.8代入y=﹣5t2+18
得t2=，
解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）
∴x=10
∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=上，
此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8），
由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5，
∴v乙＞7.5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用，综合性较强，有一定的难度，读懂题意，正确应用反比例函数和二次函数的知识解决问题是关键．本题也考查了函数图像上的临界点问题．
44．（2017·河北·模拟预测）我市某海域内有一艘渔船发生故障，海事救援船接到求救信号后立即从港口出发沿直线匀速前往救援，与故障渔船会合后立即将拖回．如图，折线段O－A－B表示救援船在整个航行过程中离港口的距离y（海里）随航行时间x（分钟）的变化规律．抛物线表示故障渔船在漂移过程中离港口的距离y（海里）随漂移时间x（分钟）的变化规律．已知救援船返程速度是前往速度的．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）救援船行驶了 海里与故障渔船会合；
（2）求救援船的前往速度；
（3）若该故障渔船在发出救援信号后40分钟内得不到营救就会有危险，请问求援船的前往速度每小时至少是多少海里，才能保证渔船的安全．
【答案】解：（1）16．
（2）救援船的前往速度为每分钟0.5海里．
（3）援船的前往速度每小时至少是海里
【详解】分析：（1）读图可知，点A的纵坐标16即为所求．
（2）根据图示，救援船的前往的时间等于返航的时间减16，据此列方程求解．
解：救援船的前往速度为每分钟V海里，则返航速度为每分钟V海里，
由题意得，解得V=0.5．
经检验，V=0.5是原方程的解．
答：救援船的前往速度为每分钟0.5海里．
（3）求出点A坐标，将A（32，16）和C（0，12）代入，求出抛物线解析式，从而得到距离，除以时间即得速度．
解：由（2）知，t=16÷0.5=32，则A（32，16）．
将A（32，16）和C（0，12）代入，得
，解得．
∴抛物线解析式为．
当t=40时，，．
∴援船的前往速度每小时至少是海里．
45．（2022·江苏宿迁·统考二模）大桥上正在行驶的甲车，发现正前方处沿同一方向行驶的乙车（此时）后，开始减速，减速后甲车行驶的路程（单位：）与速度（单位：）的关系式；甲车行驶的速度（单位：）与时间（单位：）的关系可以用一次函数表示，其图像如图所示．
(1)求当甲车减速时，它行驶的路程是多少？
(2)若乙车一直匀速行驶，经过多长时间两车相距的最近距离是？
【答案】(1)当甲车减速时，它行驶的路程是
(2)
【分析】（1）先求出从而得到据此求解即可；
（2）根据当时，两车之间的距离逐渐变小，当时，两车之间的距离逐渐变大，则当两车速度相等时，两车之间距离最小，由此建立方程求解即可．
（1）
解：设甲车行驶的速度（单位：）与时间（单位：）的关系式为，
∵一次函数经过、，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，，
答：当甲车减速时，它行驶的路程是．
（2）
解：∵当时，两车之间的距离逐渐变小，当时，两车之间的距离逐渐变大，
∴当两车速度相等时，两车之间距离最小；
根据题意，得：，
∴
化简，得：，
∴，（舍），
答：经过两车相距的最近距离是．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的应用，正确理解题意求出是解题的关键．
【考点10 其他问题】
46．（2022·浙江宁波·统考中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【答案】(1)（，且x为整数）
(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴（，且x为整数）；
（2）解：设每平方米小番茄产量为W千克，
．
∴当时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
47.（2022·河北唐山·统考三模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．
(1)当小张滑到离处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为米，则______，______．
(2)在（1）的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
【答案】(1)，4
(2)8米
(3)跳台滑出点的最小高度为米
【分析】(1)根据题意将点(0,4)和代入C2求出b、c的值即可；
(2)设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意列出方程，解出m即可；
(3)求出山坡的顶点坐标为，根据题意当时，运动员到达坡顶，即，可求得b的值，再由，根据题意可知，再解出c的取值范围即可解答．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线过点(0,4)和，
将其分别代入解析式得：，
解得
故答案为：，4；
（2）解：设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（舍去），
故运动员运动的水平距离为8米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；
（3）解：抛物线，
故当时，运动员到达坡顶，
即，解得，
，即，
解得：．即跳台滑出点的最小高度为米．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
48.（2022·山东·统考三模）如图，是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶到轴距离．从点处向右上方沿抛物线发出一个带光的点．
(1)求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上；
(2)当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求抛物线的表达式．
【答案】(1)点的横坐标为；作图见解析；点会落在台阶上
(2)
【分析】（1）由题意台阶的左边端点，右边端点的坐标，求出，6时的的值，即可判断；
（2）由题意抛物线，经过，最高点的纵坐标为11，构建方程组求出，，可得结论．
（1）
解：图形如图所示，
由题意台阶左边的端点坐标，右边的端点，
对于抛物线，
令，，解得或6，
，
点的横坐标为，
当时，，
当时，，
当时，，
解得或5，
抛物线与台阶有交点，设交点为，
点会落在台阶上；
（2）
解：由题意抛物线，经过，最高点的纵坐标为11，
，
解得或（舍弃），
抛物线的解析式为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
49.（2022·河北邯郸·校联考三模）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当时可近似用函数刻画；当时可近似用函数刻画．
(1)求h的值；
(2)按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系如表：
①请运用已学的知识，求m关于p的函数解析式；
②请用含t的代数式表示m．
(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度，在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市（一次售完），销售额可增加800元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润．（农作物上市后大棚暂停使用）
【答案】(1)
(2)①；②
(3)提前上市20天时增加的利润最大，最大值为19000元
【分析】（1）将代入，即可求得的值；
（2）①分析表格中的数据，可知是的一次函数，利用待定系数法进行求解；②将是的函数，是的函数，只需将后者代入前者，即可得到与的函数关系；
（3）先用待定系数法求出与的函数关系式，由此可写出增加的利润与的函数关系式，分析其最大值，并计算此时的值．
(1)
解：将代入，
得，
解得或，
∵，
∴；
(2)
解：①由表格可知，m是p的一次函数，设，
则，解得
∴；
②当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，
(3)
解：①当时，设，
将点，代入上式，
得，解得，
．
∴增加的利润为：，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，增加的利润最大，最大值为元；
②当时，，
增加的利润为．
∴当时，增加的利润最大，最大值为19000元，此时，．
综上，提前上市20天时增加的利润最大，最大值为19000元．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，解题的关键是理清题目中各变量之间的关系，从而建立等量关系，求出函数表达式，再结合题意进行分析．
50．（2022·江苏扬州·统考二模）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元．
(1)A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式；
(2)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件？
(3)从A城把该产品运往C、D两地的费用分别为2万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C、D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，求该公司在A、B两城将这批产品生产出来以及将产品运往C、D两地所花费的总成本的和的最小值．
【答案】(1)
(2)A城生产20件，B城生产80件
(3)当或时，该公司在A、B两城将这批产品生产出来以及将产品运往C、D两地所花费的总成本的和的最小值为6730万元
【分析】（1）先根据题意得出产品数量为0时，总成本也为0，再利用待定系数法即可求出的值；
（2）先根据（1）的结论得出与的函数关系式，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得；
（3）先设从A城运往C地的产品数量为m件，则从A城运往D地的产品数量为（x﹣m）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣m）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣x＋m）件，然后求生产成本（A城生产成本和B城生产成本）和各运费成本之和，即可得到关于的一元二次函数，求出最小值即可．
(1)
由题意得：当时，；当时，；当时，，则有：
，解得：．
∴A城生产产品的成本（万元）与产品数量（件）之间的函数关系式为：；
(2)
设A、B两城生产这批产品的总成本为w，
则，
由二次函数的性质可知，当时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．
∴A城生产20件，B城生产80件；
(3)
设从A城运往C地的产品数量为m件，则从A城运往D地的产品数量为（x﹣m）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣m）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣x＋m）件，该公司在A、B两城将这批产品生产出来以及将产品运往C、D两地所花费的总成本的和为p ，
∴，
整理得：p＝x2﹣39x＋7110，
∵对称轴为x＝19.5
∴当x＝18或20时，p最小为6730万元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解方程，巧妙地设出未知数，是解题的关键． 小鹅
0
5
10
15
20
小鸡
80
73
66
59
52
每千克售价x（元）
……
20
22
24
……
日销售量y（千克）
……
66
60
54
……
售价（元/本）
…
22
23
24
25
…
每天销售量（本）
…
80
78
76
74
…
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
（单位：）
0
1
2
3
4
…
（单位：）
1
2
…
（米）
0
1
2.0
3
…
（米）
1.6
2.1
2.5
2.1
0
…
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m（天）
0
5
10
15