中考数学一轮复习专题21 与圆有关的概念及性质（10个高频考点）（强化训练）（2份，原卷版+解析版）

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【考点1 圆的基本概念】
1．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）如图，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】弦AB等于⊙O的半径，可得△AOB是等边三角形，再由等边三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵弦AB等于⊙O的半径，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC⊥AB，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的基本性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________．
【答案】
【分析】连接，先根据点的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
点的坐标为，
，
由同圆半径相等得：，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），
又点位于轴正半轴，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
3．（2022·河北沧州·统考二模）如图，量角器的刻度线的两端，分别在轴正半轴与轴负半轴上滑动，点位于该量角器上刻度处．
（1）若点在靠近点处，连接，则______；
（2）当点与原点的距离最大时，______．
【答案】 83.5°
【分析】（1）取的中点，如图，利用量角器的读数得到，再根据圆周角定理的推论判断点在以为直径的圆上，即点和量角器在同一个圆上，则根据圆周角定理得到；
（2）当点、、共线时，点与原点的距离最大，利用邻补角计算出，然后根据圆周角定理得到．
【详解】解：（1）取的中点，如图，
根据题意得，
，
点在以为直径的圆上，即点和量角器在同一个圆上，
；
（2）当点、、共线时，点与原点的距离最大，
，
，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，90度的圆周角所对的弦是直径．
4．（2022·江苏扬州·校考二模）如图，在扇形中，D为上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为_________．
【答案】70
【分析】连接，根据，，设，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得，根据三角形内角和定理即可求得
【详解】解：如图，连接，

设，
在中，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，等角对等边，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022·河北承德·统考模拟预测）已知的半径和正方形的边长均为1，把正方形放在中，使顶点A，D落在上，此时点A的位置记为，如图1，按下列步骤操作：如图2，将正方形在中绕点A顺时针旋转，使点B落到上，完成第一次旋转；再绕点B顺时针旋转，使点C落到上，完成第二次旋转；……
(1)正方形每次旋转的度数为______°；
(2)将正方形连续旋转6次，在旋转的过程中，点B与之间的距离的最小值为______．
【答案】(1)30
(2)
【分析】（1）根据题意可知是等边三角形，每一次旋转可以转化为等边三角旋转60度，则正方形各顶点构成正六边形，边长为1，进而求得每次旋转的角度；
（2）在正方形的旋转过程中，第三次旋转过程中点B与之间的距离的最小值为的直径减去正方形的对角线的长度．
【详解】（1）解：∵的半径和正方形ABCD的边长均为1，
是正三角形，
根据旋转可得正方形各顶点构成正六边形，

即正方形每一次旋转的角度为30°，
故答案为：．
（2）如图，点的运动路径如图中部分，
∵正方形的边长为1，
正方形的对角线长为，
∵的半径为1，
最短距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，圆的性质，旋转的性质，正三角形的性质，找到正方形旋转的规律是解题的关键．
【考点2 垂径定理及其推论】
6．（2022·山东济宁·校考二模）如图，点是中弦的中点，过点作的直径，是上一点，过点作的切线，与的延长线交于，与的延长线交于点，连接与交于点．
(1)求证：；
(2)若点是的中点，，半径长为6，求长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，则：，得到，根据切线的性质，垂径定理的推论得到：，从而得到：，再根据对顶角相等，推出，即可得到；
（2）利用同角的余角相等，得到，利用，求出，利用勾股定理求出，进而得到的长，再利用，求出，利用，即可得解．
【详解】（1）证明：连接，则：，
∴
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵点是弦的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握切线垂直过切点的半径，平分弦（不是直径）的直径垂直弦，是解题的关键．
7．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，若点D是的中点，试画出的平分线；
(2)若，点D在弦上，在图2中画出一个含角的直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接并延长与圆O交于点E，连接即为所求；
（2）连接并延长交圆O于N，延长交圆O于M，连接，，则即为所求；
【详解】（1）解：如图所示，连接并延长与圆O交于点E，连接即为所求；
∵D是的中点，
∴，
∴，即平分；
（2）如图所示，连接并延长交圆O于N，延长交圆O于M，连接，则即为所求；
∵，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴是含的直角三角形．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理等等；解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．
8．（2022·浙江舟山·校考一模）如图，四边形是的内接四边形．平分，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平分，可得，再根据，可得，从而得到，即可．
（2）根据圆的内切四边形，对角互补，求出，再利用垂径定理，可得，可得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
，
，
∴，
，
，
平分，
．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理．
9．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F．
(1)求证：2OE=CD；
(2)若∠BAD+∠EOF=150°，AD=4，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)2π-
【分析】（1）连接BD，先证，，再根据垂径定理，证得，最后通过等量代换证得结论．
（2）将代入∠BAD+∠EOF=150°，结合，解得，，由，分别求得、、，计算即可．
【详解】（1）证明：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，B为圆上的点，
∴，
∵OE⊥AB，
∴，
∴，
∴，
∵AD是⊙O的直径，即O为AD的中点，
∴E为AB的中点，
∴．
∵AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点， BC⊥AD，
∴，
∴，即．
（2）解：∵，
又∵∠BAD+∠EOF=150°，
∴，即．
∵，
∴，
∴，．
如图，连接BD，
∵AD=4，AD是⊙O的直径，，
∴．
同理，，，，
∴，．
∵AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点， BC⊥AD，
∴．
∵AD=4，，
∴．
，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，中位线的判定及性质，扇形相关的阴影面积计算，综合运用以上知识是解题的关键．
10．（2022·河南信阳·统考三模）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮，竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮在水流的作用下利用竹筒将水运送到到点A处，水沿水槽AP流到田地，与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮的最低点到水面的距离为2米，连接AC，AB．
请解答下列问题，
(1)求证：．
(2)请求出水槽AP的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)米；
【分析】（1）连接AO并延长交圆于点E，根据切线的性质，圆周角定理，由角的等量代换即可证明；
（2）过O作OF⊥BC于F，延长OF交圆于点D，连接OC，Rt△OFC中，由勾股定理求得CF的长；再由△PAC∽△PBA，PA2=PB•PC，即可解答.
【详解】（1）证明：如图连接AO并延长交圆于点E，
PA是圆的切线，则∠EAP=90°，
∴∠EAC+∠PAC=90°，
AE是圆的直径，则∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠AEC=90°，
∵∠AEC=∠ABC，∴∠ABC=∠PAC，即；
（2）解：如图，过O作OF⊥BC于F，延长OF交圆于点D，连接OC，
BC为水平面，则D为圆的最低点，DF=2米，由垂径定理可得BC=2CF，
Rt△OFC中，OF=OD-DF=5-2=3米，OC=5米，则CF=米，
∴BC=2CF=8米，PB=32+8=40米，
∵∠P=∠P，∠PAC=∠PBA，∴△PAC∽△PBA，
∴PA∶PB=PC∶PA，即PA2=PB•PC，
∴PA=米.
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质；掌握相关性质和定理是解题关键．
【考点3 弧、弦、圆心角的关系】
11．（2022·江苏盐城·统考中考真题）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
【答案】见解析
【分析】根据命题的题设：垂直于弦的直径，结论：CD平分AB，CD平分 写出已知，求证，再利用等腰三角形的性质，圆心角与弧之间的关系证明即可．
【详解】已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为．
求证：，，．
证明：如图，连接、．
因为 ，，
所以，．
所以，．
所以．
【点睛】本题考查的是命题的证明，圆心角与弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，熟练的运用在同圆与等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是解本题的关键．
12．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图1，四边形ABCD内接于，BD为直径，上点E，满足，连接BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连接CE，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接CG，．若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，则，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先在中，解直角三角形和勾股定理可得，再根据可得，从而可得，然后根据解直角三角形和勾股定理分别求出的长，最后根据三角形的周长公式即可得．
（1）
证明：为的直径，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，即，
在和中，，
，
．
（2）
解：如图，连接，
，
设，则，
，解得，
，
，
，即，
，
由（1）已证：，
，
，
，
，，
，
则的周长为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．
13．（2022·上海虹口·统考二模）已知：如图，、是的两条弦，，点、分别在弦、上，且，，联结、．
(1)求证：；
(2)当为锐角时，如果，求证：四边形为等腰梯形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明即可；
（2）由可得，可得，再证明OM∥AC即可．
【详解】（1）∵、是的两条弦，，
∴
在和中
∴（SAS）
∴；
（2）∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，OM∥AC
∴
∴四边形为等腰梯形．
【点睛】本题考查圆的弧弦关系、全等三角形的证明、等腰梯形、相似三角形的性质与判定，解题的关键是由弦得到．
14．（2022·广西百色·统考二模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D，且交⊙O于点F，连结BC，CF，AC．
(1)求证：BC ＝CF；
(2)若，，求BE的长和的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)；
【分析】（1）如图，连接OC，由题意知OC⊥DE，则，，则，进而可证；
（2）在中，由勾股定理得，设，则，证明，则，即，求出、的值，进而可求、的值，根据，求正切值即可．
（1）
证明：如图，连接OC，
∵DE为过点C的切线，
∴OC⊥DE，
又∵AD⊥CE，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）
解：在中，由勾股定理得，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，弧、弦、圆周角的关系，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15．（2022·安徽宿州·宿州市第十一中学校考模拟预测）如图，点C，D分别是以为直径的半圆上的三等分点，，连接．
(1)填空：_________；（填“>”“=”或“