初中数学人教版（2024）七年级上册第四章 几何图形初步4.3 角4.3.1 角第3课时练习

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分层作业
题型目录
考查题型一 求一个角的余角
考查题型二 求一个角的补角
考查题型三 与余角、补角有关的计算
考查题型四 同（等）角的余（补）角相等的应用
考查题型一 求一个角的余角
1．（22·23下·河源·二模）若一个角是，则这个角的余角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据余角的定义“如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角”，计算即可得出答案．
【详解】解：∵一个角是，
∴这个角的余角是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了余角的计算，掌握余角的定义是解题的关键．
2．（22·23上·西城·阶段练习）一个角的余角的倍比这个角的倍大，则这个角的余角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据余角的概念及计算，设这个角为，由此列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，设这个角为，
∴这个角的余角为，
∴，解得，，
∴这个角的余角为，
故选：．
【点睛】本题主要考查余角的概念及计算，掌握方程的运用，余角的计算是解题的关键．
3．（21·22下·哈尔滨·阶段练习）已知，则的余角等于 ．
【答案】
【分析】根据互余的两个角的和等于列式计算即可得解．
【详解】解：的余角等于，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是余角的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（23·24上·全国·课堂例题）如图，是直线上一点，平分平分，则与互余的角是 ．

【答案】
【分析】根据两角之和为，则这两角互余，进行求解作答即可．
【详解】解：∵平分平分，
∴，，
∴，
∴，
∴与互余，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线，互余．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
5．（22·23下·全国·课堂例题）如图，点A，O，B在同一条直线上，射线平分，射线在的内部，且，写出图中所有互为余角的角．

【答案】与，与，与，与
【分析】利用余角的定义直接数出结果即可．
【详解】解：∵射线平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中所有互为余角的角：与，与，与，与．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、平角及余角，熟练掌握角平分线的定义及余角是解题的关键．
考查题型二 求一个角的补角
1．（22·23下·宿州·期中）已知，则的补角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把原式化为，再计算即可.
【详解】解：∵，
则的补角的度数为，
故选：C
【点睛】本题考查了求一个角的补角，掌握角度的加减运算方法是解题的关键．
2．（21·22上·哈尔滨·阶段练习）下列说法（1）两个数比较．绝对值大的反而小；（2）0乘以任何数都得0；（3）两数相除，同号得正，异号得负；（4）等角的补角相等；（5）如果一个数的绝对值等于这个数本身，那么这个数是正数．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据有理数的大小比较法则，有理数乘法和除法法则，补角的性质和绝对值的性质逐一判断即可．
【详解】解：（1）两个负数比较．绝对值大的反而小，原说法错误；
（2）0乘以任何数都得0，说法正确；
（3）两数相除，同号得正，异号得负，说法正确；
（4）等角的补角相等，说法正确；
（5）如果一个数的绝对值等于这个数本身，那么这个数是正数或0，原说法错误．
综上，正确的说法有（2）（3）（4），共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数乘法和除法法则，补角的性质和绝对值的的性质等知识，掌握基本定义和性质是解题的关键．
3．（22·23上·宜昌·期末）若，则的补角
【答案】
【分析】根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴的补角，
故答案为：．
【点睛】本题考查了补角的计算，熟记互为补角的两个角的和等于是解题的关键．
4．（23·24上·全国·课堂例题）如图所示，是直线上的一个点，．
（1）写出图中互余的角和互补的角；
（2）若的余角的3倍比它的补角少，求的度数．
思维过程展现：
（1）观察图形，因为，所以 ，则图中互余的角为 与 ，互补的角为 与 ， 与 ．
（2）由“的余角的3倍比它的补角少”，可以设，由题意得 ，解得 ．所以 ．
【答案】 90 / / / / / / /57度 33
【分析】（1）根据互余和互补的概念求解即可；
（2）根据题意列出一元一次方程，进而求解即可．
【详解】（1）观察图形，因为，
所以，
则图中互余的角为与，互补的角为与，与；
（2）由“的余角的3倍比它的补角少”，
可以设，
由题意得，
解得，
所以．
故答案为：90，，，，，，，，，33．
【点睛】此题考查了补角和余角，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握补角和余角的概念．
5．（21·22上·江门·阶段练习）已知与互为补角．
(1)若，则的度数为________；
(2)若的余角比的三分之一多，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据补角的定义即可得出结论．
（2）设，则的余角为，为，根据题意列出方程即可得出结论．
【详解】（1）解：因为与互为补角，所以．
（2）解：设，则的余角为，为，
由题意得，
解得．
即．
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键．
考查题型三 与余角、补角有关的计算
1、（22·23上·红河·期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】互余的两个角和为，互补的两个角和为，再建立方程求解．
【详解】解：设这个角为度数，则，
解得；
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，补角的定义，余角的定义，根据题意建立方程是解题的关键．
2．（22·23下·淮安·开学考试）如图，相交于点，，则与的关系是（ ）

A．相等B．互余C．互补D．对顶角
【答案】B
【分析】根据题意得，即可得．
【详解】解：根据题意得，，
则，
∵，
∴，
∴与互余，
故选：B．
【点睛】本题考查了互余，解题的关键是理解题意，掌握互余．
3．（22·23下·淄博·期末）如图所示，，且与关系为 ．

【答案】互余
【分析】根据补角和余角的概念求解，即可得到答案．
【详解】，
，
与关系为互余，
故答案为：互余．
【点睛】本题考查了补角和余角，熟练掌握互余和互补的意义是解题关键．
4．（23·24上·全国·课堂例题）如图所示，是直线上一点，，则图中 互为余角， 互为补角．

【答案】 与与与与 与，与与与与
【分析】根据余角和补角的定义进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴与与与与互为余角；
∵，，，
∴，，
∵，
∴与，与与与与互为补角；
故答案为：①与与与与；②与，与与与与互为补角．
【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义，解题的关键是熟练掌握和为的两个角互为余角；和为的两个角互为补角．
5．（21·22下·哈尔滨·阶段练习）如图，已知直线和相交于点，（为锐角），点在直线上方，，平分．

(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，直接写出： °；
(3)若，过点O作射线OG，使，求的度数．
【答案】(1)
(2)45
(3)或
【分析】（1）根据角平分线性质，可得，再由，可得，即可得出答案；
（2）由已知条件得，，再由角平分线性质得，即可得到，计算即可得出答案；
（3）设，由题意可得，，再根据，代入式子，即可解得，即，再由角平分线性质可得，由邻补角定义得，再根据条件即可求出的值，然后分在上方和下方这两种情况讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：平分，
，
，
．
（2）解：，
，
又
．
（3）解：设，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵，
即，解得，
∴，
∴，
∴，
当射线在下方时，，
当射线在上方时，，
综上，的度数是或．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角的性质及角度的计算，熟练掌握角平分线的性质，补角的性质并灵活运用相关性质进行角度的计算是解题关键．
考查题型四 同（等）角的余（补）角相等的应用
1．（23·24上·全国·课堂例题）已知，，如果，那么，依据是( )
A．同角的余角相等B．同角的补角相等
C．等角的余角相等D．等角的补角相等
【答案】C
【分析】根据等角的余角相等进行解答．
【详解】解：∵，，
∴与互余，与互余，
又∵，
∴的余角与的余角相等，
即(等角的余角相等)．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等角或同角的余角相等的性质，熟记这个余角的性质是解题的关键．
2．（22·23下·保定·期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（题中所有角均指小于的角）．给出下列结论：①；②；③．其中结论一定正确的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】由根据等角的余角相等得到，而，即可判断①正确；由，而，即可判断②正确；由，而，即可判断③不正确．
【详解】解：∵，
∴，
而，
∴，所以①正确；
，所以②正确；
，而，所以③不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角，角度的计算，余角的性质，准确识图是解题的关键．
3．（22·23下·丹东·期末）如图，，分别交，于点P，F，过点P作，则图中与互余的角有 个．

【答案】3
【分析】由，得到，，因此，由平行线的性质得到，因此，于是得到图中与互余的角有3个．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
图中与互余的角有3个．．
故答案为：3
【点睛】本题考查平行线的性质，余角，关键是掌握余角的定义，平行线的性质．
4．（22·23下·长宁·期末）如图，，比大，与互余，则 ．

【答案】
【分析】设，表示出，根据与互余，，得出关于的等式，求解即可．
【详解】解：设，
比大，
，
与互余，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了互余的定义，一元一次方程，解题的关键是利用互余建立一元一次方程求解．
5．（23·24上·成都·期末）如图1，和都是直角．

(1)如果，求的度数；
(2)当变小时，则的度数______（填“变大”、“不变”或“变小”）；
(3)在图2中利用能够画直角的工具画一个与相等的角．
【答案】(1)
(2)变大
(3)见解析
【分析】（1）根据直角的定义得到，由此可得，则；
（2）仿照（1）的求解方法求出即可得到结论；
（3）根据同角的余角相等仿照图（1）画图即可．
【详解】（1）解：∵和都是直角，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵和都是直角，
∴，
∴，
∴，
∴当变小时，则的度数变大，
故答案为：变大；
（3）解：如图2所示：．

【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，同角的余角相等，灵活运用所学知识是解题的关键．
一、单选题
1．（22·23上·常州·期末）若与互余，与互补，则与的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由与互余，与互补可得，，由得：，由此即可得到答案．
【详解】解：与互余，与互补，
，，
由得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是要记住互为余角的两个角的和为，互为补角的两个角的和为．
2．（22·23下·烟台·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则互为补角
B．若是的补角，则一定是钝角
C．若是的余角，则一定是锐角
D．若是的余角，则一定小于
【答案】C
【分析】根据余角、补角的概念，逐项进行判断，即可解答，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．
【详解】解：A、是3个角，不符合互补的定义，故A错误；
B、若是的补角，则，
当时，，是锐角，故B错误；
C、若是的余角，
∴，
则一定是锐角，故C正确；
D、若是的余角，则，
当时，，故D错误；
故选B．
【点睛】考查了余角和补角，解题的关键是熟悉余角和补角的定义和性质．
3．（22·23下·威海·期中）已知是锐角，与互补，与互余，则的度数为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】由补角和余角的概念可得，，进一步求解即可．
【详解】解：是锐角，与互补，与互余，
，，
，，
，
故选：B
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，属于基础题目，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
4．（22·23上·临沂·期末）如图，是直线上的一点，是一条射线，平分，在内，且，．下列四个结论：①；②射线平分；③图中与互余的角有2个．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．①②
【答案】B
【分析】①根据平分， ，，以及平角是，求出，即可得出结论；②求出，即可得出结论；③根据，即可得出结论．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵ ，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，故①错误；
∵，，
∴，则，
∴射线平分，故②正确；
∵，
∴，
∴图中与互余的角有2个，故③正确；
综上，正确的是②③；
故选B．
【点睛】本题考查几何图形中角的计算．余角的定义，理清角之间的和差关系，是解题的关键．
5．（22·23上·深圳·期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：①；②；③；④若绕点顺时针旋转一周，其它条件都不变，若，则或15°，其中结论一定正确的有（ ）个．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】由根据等角的余角相等得到，而，即可判断①正确；由，而，即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③错误；根据，可得，从而得到，设，则，可得，再由，可得，再由，求出x，可得，故④错误，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∴，
根据题意无法确定与的大小关系，
∴不一定成立，故③错误；
∵，E、O、F三点共线，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即，故④错误．
所以，正确的结论有2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了余角和补角，角度的计算，余角的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．
二、填空题
6．（21·22下·哈尔滨·阶段练习）在同一平面内，，与互余，则是 度．
【答案】或
【分析】根据图形分情况讨论，即可求出的度数．
【详解】如图：

∵与互余，
∴；
如图：

∵与互余，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了角的计算，解题的关键是注意采用分类讨论的思想．
7．（22·23上·大连·期末）如图，若是直线上一点，，，则 ．
【答案】/80度
【分析】本题先由平角的定义得出，再由已和条件即可求出结果．
【详解】解：，，
，
，且，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平角的定义和角的计算，解答本题的关键是理解平角的概念．
8．（22·23下·安庆·期末）如图，直线，相交于点O，平分．
（1）若，则 ．（用含α的式子表示）
（2）若，，则 ．

【答案】 ； 或．
【分析】（1）根据补角的定义和对顶角相等得出，，根据角平分线的定义得出，进而根据即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义和对顶角相等得出，再分两种情况讨论得出或得出答案．
【详解】（1）∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）如图1：

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2：

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查补角的定义，角平分线的定义，对顶角，注意分两种情况是解题的关键．
9．（22·23下·南昌·期末）如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）

【答案】1或13或25
【分析】利用角平分线求出，，求出，，求出，由角平分线，求出，，再分平分，平分，平分三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
分情况讨论：
①当平分时，

∵，
∴，即：，
∴，
∴；
②平分时，

则：，
∴，
∴；
③当平分时：

则：，
∴，
∴点旋转的角度为：，
∴；
综上：的值为：1或13或25．
故答案为：1或13或25．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
10．（22·23下·哈尔滨·阶段练习）如图，长方形中，点、分别在边、上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，点在上，，，则为 度．

【答案】66
【分析】根据折叠的性质得到，由平均的定义得到，再根据，，可得，即可得答案．
【详解】解：由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了折叠的性质，余角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（21·22下·宁德·期中）如图，将一副三角板的两个直角顶点O重合在一起，放置成如图所示的位置．

(1)如图1，若，猜想______；
(2)小明推测：三角板绕重合的点O旋转（三角板保持不动），不论转动到哪个位置，“与始终互补”，你同意他的结论吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)同意，理由见解析
【分析】（1）根据三角板中角的度数和已知条件求解即可；
（2）根据题意分3种情况讨论，分别根据和角度的和差求解即可．
【详解】（1）∵一副三角板的两个直角顶点O重合在一起
∴
∵
∴
∴；
（2）同意，理由如下：
如图所示，当在内时，

∵
∴，
∴与互补；
如图所示，当在内时，

∵
∴
∴与互补；
如图所示，当在内时，

∵
∴，
∴与互补，
综上所述，不论转动到哪个位置，与始终互补．
【点睛】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握并利用角的和差运算以及分类讨论是解题的关键．
12．（22·23下·十堰·开学考试）如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，．
(1)如图1，若，则______°，______°，______°；
(2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)、、；
(2)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据给出的关系，依次求出、、、等度数，进而求得结果；
（2）根据，从而表示出分子，根据，进而得出结果．
【详解】（1）解：∵和互补， ，
∴，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，，
故答案为：、、；
（2）是定值，
理由如下： ∵平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数量关系．
四、问答题
13．（22·23上·石家庄·期中）如图，是的平分线，且．

(1)图中的余角是__________．
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余角的定义，即可求解．
（2）先求得，根据角平分线的定义求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵．
∴图中的余角是，
（2）解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了余角的定义，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
五、证明题
14．（22·23上·南通·期末）如图，、、在同一条直线上，射线平分，设．

(1)当时，求的度数；
(2)若在的内部画射线，使，求证：与互余；
(3)若与互余，求（可用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据邻补角的定义，得到，再根据角平分线的定义，得到，即可求出的度数；
（2）根据互余的性质，得到，再根据角平分线的定义，得到，即可证明结论；
（3）分两种情况讨论：①当射线在的内部时；②当射线在的外部时，根据余角和补角以及角平分线的定义分别求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
射线平分，
，
；
（2）证明：如图，在的内部画射线，，
，
射线平分，
，
，
即与互余；

（3）解：①如图，当射线在的内部时，

与互余，
，
射线平分，
，
，
；
②如图，当射线在的外部时，

与互余，
，
，
，
，
射线平分，
，
，
综上可知，的度数为或．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角度的计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
六、应用题
15．（22·23上·清远·期末）如图1，已知点O为直线上一点，，平分．

(1)若，则 °；
(2)若，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)在（2）题的基础上，如图2，在的内部作射线，使平分，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据即可；
（2）先根据，求出的度数，再根据角平分线的定义及邻补角的定义即可；
（3）先表示出，的度数，再列方程解方程即可．
【详解】（1）解：，，
，
故答案为：；
（2）解：，
平分，
，
；
（3）解：，
平分，
，
，
，
解得：，
．
故的度数为．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，一元一次方程的解法，根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．